大學高數(shù)公式

1、高等數(shù)學公式考前必備平方關(guān)系：sin2( a )+cosA2( a )=1 tanA2( a )+ 仁secA2( a )C0tA2( a )+仁CSCA2(a )積的關(guān)系：sina=ta na*cosacosa=cota*sinatana=si na*secacota=cosa*cscaseca=ta na*cscacsca=seca*cota倒數(shù)關(guān)系:tanacota=1sinacsca=1cosaseca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角 A的對邊比斜邊 余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊，兩角和與差的三角函數(shù):C0S( a + 3 )=cosa -sincos 3 s

2、in 3cos( -a )=cos a - cos 3 +sin a - sin 3sin( a3 )=s inacos 3 士 cos asin 3tan( a + 3 )=(tana +tfean a )/(1ta n 3 )tan( -0 )=(tan-taa 3 )/(1+tan a - tan 3 )三角和的三角函數(shù):sin( a + 3 + y )=sin a cos cos 丫 +cos a sincossiY +cos sin Bcos $n ysin 丫COS( a + 3 + Y )=cos acoscoB a CosiY-sisinaY， cos B -sisinay s

3、in $ cos 丫tan( a + 3 + y )=(tana +tdnn 3a+tartaY 3 tartaY (1 tatanB 3，tatany 丫 tan a )輔助角公式:As in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)s in(a +t)，其中si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2) cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tan t=B/AAs in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)cost), tan t=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos a =2/(tana +cot a )cos(2 a )=cosA2

4、si門人2() a )=2cosA2=1-a9i門人2(a )tan(2 a )=2tan -tanA2l(a )三倍角公式sin(3 a )=3s4sinA3( a ) cos(3 a )=4cosA33coa )半角公式:sin( a /2)= 土 vcosia )/2)cos( a /2)= V (1+cos a )/2)tan( a /2)= -c(osi a )/(1+cos a )=sina /(1-ccoss a )/s)=(1 a降幕公式sinA2( a -cos(2 a )/2=versin(2a )/2 cosA2( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2

5、a )/2 tanA2( a )=os(2 a )/(1+cos(2 a )萬能公式:sin a =2tan( a /2)/1+ta門人2(a /2)cos a =tlanA2(a /2)/1+ta門人2(a /2)tan a =2tan( a /20/112(a /2)積化和差公式:sin a cos 3 =(1/2)sin(a 供)+sin(acos a sin 3 =(1/2)sin(-sin( -a+旳)cos a cos 3 =(1/2)cos(a-3)D+cos(asin a sin-(132)cos(-cos)和差化積公式：sin a +sin 3 =2sin(a + 3 3/2

6、/os(asin -sin 3 =2cos( a + 3 )/28射2acos a +cos 3 =2cos(a + 3 -)/2)os (acos -cos 3 =sin( a + 3 )/2s3)/2 a推導(dǎo)公式tan a +cot a =2/sin2atan -cot a-2cot2 a1+cos2 a =2cosA2 a1-cos2 a =2sinA2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)A2三角函數(shù)的角度換算公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等sin( 2kn +a)=sinacos( 2kn +a)=cosatan( 2kn +a)=tan

7、acot( 2kn +a)=cota公式二:設(shè)a為任意角，n 三角函數(shù)值與 a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin (n + a)=sin acos (n + a)=cos atan (n + a)= tan acot (n + a)= cot a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin ( a)= sin aCOS (a)= COS atan ( a)= tan aCOt (a)=COt a公式四:利用公式二和公式三可以得到 sin(n a)= sin aCOS(n a)=COsatan(n a)=tanaCOt(n a)=COtan a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:公式五:利用公式一

8、和公式三可以得到 sin ( 2 n a)= sin aCOs ( 2 n a)= COs atan ( 2 n a)=tan aCOt ( 2 n a)=COt a2 na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:公式六:n /2 土及3 n /2 土與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(n/2 +a)=cosacos(n/2 +a)= sin atan(n/2 +a)=COt aCOt(n/2 +a)= tan asin(n/2 a)=cosacos(n/2 a)=sinatan(n/2 a)=COtaCOt(n/2 a)=tanasin(3n /2 +a)=COs acos( 3n/2+a)= sin

9、atan( 3n/2+ a)=COtaCOt( 3n/2+ a)=tanasin( 3n/2a)=cosaCOS ( 3 n 12 a)= sin atan ( 3 n 12 a)= cot aCOt ( 3 n 12 a)= tan a (以上k Z)高等數(shù)學公式(arcsin x)(arccos x) (arctgx)(arcctgx)1廠x21Cx211 x11 x2(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex) cscx ctgx (ax) ax lna1(log ax)xl na導(dǎo)數(shù)公式：tgxdx In cosx C ctgxdx In

10、sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx1ax廠2 arctgCaxaa卓那么a Cxa2a|x adx22a x丄ln2a a xdxx2x arcsinadxse& xdx tgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin2 xsecxtgxdxsecx Ccscxctgxdxcscx Caxdxx aCshxdxIn achxCchxdxshxCdxln( xx2 a2)Cx22 a2I n sinn xdxo x2 a2dxa2 x2dx2cosn xdxInx - x22a2x a222M|n(x- x2 a2)

11、2a22一 In x V x a22axarcs in C2a根本積分表:三角函數(shù)的有理式積分:2usin x 2, cosx1 u1 u2dx2du1 u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦:shx雙曲余弦：chx雙曲正切:thxxxe e2xxe e2shx exchx exsin x lim1x 0 xlim(1丄廣x xx ex earshxarchx2ln(x x1)ln(xx2 1)arthx三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：函數(shù)角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 -acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ct

12、g 0-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180 + a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg o-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:和差化積公式:si n()sincoscossinsinsin2si n _ ecu22cos()cossinsincostg()tgtgsinsin2 cos-2-sin 一21 tgtgcoscos2cos-ctg()Ctgctg

13、12cos2ctgctgcoscos2 sin -sin -2 2弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg倍角公式:co平s均曲率:針2cos22cos| s 1 1 2sin-ctg21M點的曲率 lim2ctg:從M點到M點，cos1 1 ld 1y|I s|lds|；(Ty2)3tg3s 0切線斜率的傾角變 化量；s. MM弧長 sinsi n3e ecos3直線2 K3Sih 4sin4 cos33 cos3tgtg33tg2半徑為a的圓：K-半角公式:1cossind22tg1cos1 cossintg2.1cossin1 cos-正弦定理:cos2;1coscos2ctg 1

14、 cos1 cossinsin1 cosa bsin A sin Bsin C2R2 2 2-余弦定理： cab 2abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì):arcs in xarccosxarctgx arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leib niz)公式:(uv)(n)nC：u(n k)v(k)(n)vnu(n 1)vn(n2!u(n 2)vn(n 1) (n k 1) k) (k) k!uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄包型丄aF(b) F(a) F ()當F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率：定積分的

15、近似計算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ayn ib a.、(y。 yiynJnb a1(yo yn) yin 2b拋物線法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F為引力系數(shù)f(x)dxr函數(shù)的平均值：y均方根：(b廠dt.b aa空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d皿1皿2住2 xjjkaxayaz C bxbybz (y2 y 1)2 (Z2 Zj2向量在軸上的投影：PrjuAB 卜片cos ,是AB與u軸的夾角。Pr j u(a1 a?)Pr ja1 Prja?a b a b CO

16、Sax bxay by az bz ,是- -個數(shù)量兩向量之間的夾角：COSaxbxay byazbz2222ayazbxbybza b sin .例：線速度：v w r.向量的混合積:abc(a b) c代表平行六面體的體積。axayazbxbybzc c cxyzabc cos為銳角時,平面的方程:AxBy Cz0D1 點法式：Ax x0 Byy。Cz z。0,其中 n A B, C, Mx。，y。, z。2、一般方程：Ax By Cz D3、截距世方程：X y Z 1 a b c平面外任意一點到該平 面的距離：d空間直線的方程:x Xmy ynzz0pt,其中sx m n, p;參數(shù)方程

17、：yzXy0z0mtntPt二次曲面:1、橢球面:x22y22z221abc222、拋物面：xyz,p,q同號2p2q3、雙曲面：x2y 2z2單葉雙曲面:xyz1a2b2c2x2y 2z2雙葉雙曲面:x: 2 ay b2z2 c1馬鞍面多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)u z x當u u(x,y), v v(x, y)時， du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dv隱函數(shù)F(x,y) 0,dydx隱函數(shù) F(x,y,z) 0,隱函數(shù)方程組：(x，y，u，v)G(

18、x,y,u,v)1J1J(F,G)(x,v)(F,G)(y,v)y微分法在幾何上的應(yīng)用:du udx dy dzy zfy(x,y) yxfx(x, y) xuzvtvtz u z udxxdy yFx可FxFz1J1Jd2y dx2(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)fz(F,G)(u,v)dxF,GFvGvx空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0, Zq )處的切線方程:(t)x Xq(ty yzzq(to)在點M處的法平面方程:(to)(x Xq)(to)(y yo)(to)(ZZq)0假設(shè)空間曲線方程為:F (x, y,z) 0g(x鳥0,那么切向量TFyGyIf Gx，G

19、xG z Gz G x GxFyGy曲面 F (x, y,z) 0 上一點 M(xo,yo,zo),那么: 1、 過此點的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, Zq), Fz(x, yo,z。)Zq)2、 過此點的切平面方程 :Fx(xo,yo,zo)(x Xq) Fy(xo,yo,zo)(y yo) Fz(Xq, yo ,Zq)(z3、過此點的法線方程:x Xqy yoZ ZqFx(xo,yo,zo) Fy(xo, yo,zo) Fz(xo, yo,zo)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z f (x, y)在一點p(x,y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為： f cos sinl xy其中為x

20、軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x,y) e,其中e cos i sinj，為I方向上的單位向量f是gradf (x, y)在I上的投影設(shè) fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0，令:fxx(xo, yo) A, fxy(xo, yo)ACB20時，AO,(xo,yo)為極大值A(chǔ)O,(xo,yo)為極小值那么：ACB20時，無極值A(chǔ)CB20時,不確定多元函數(shù)的極值及其求法：B,fyy(Xo,yo) C重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rd

21、rdDD曲面z f (x, y)的面積Adxdy平面薄片的重心：x匹Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量： 對于X軸I X平面薄片(位于xoy平面)y2 (x, y)d ,D對Z軸上質(zhì)點M (0,0, a), (ay (x,y)dD(x, y)dD對于y軸I y0)的引力:(x,y)xdx3，222至(x y a )柱面坐標和球面坐標：Fy(x, y)yd2 2(x yFzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD / 2(x3a2)2x r cos柱面坐標：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F

22、(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv,2d0M轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)(t)f(x,y)ds f (t),L: 2 2(t)h (t) (t)dtr(,)F(r,0)r2 sin其中Mdrdvdv,Iz(x2y2) dv),那么:特殊情況:(t)P(x,y)dx

23、Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系：Pdx Qdy (PcosLLL上積分起止點處切向量 的方向角。Qcos)ds其中和分別為QP格林公式：()dxdy Pdx Qdy格林公式：Q(P)dxdy:Pdx Qdyd xylDxyL當P y,Q x,即：Q P 2時，得到D的面積:Adxdy -xdyydx高數(shù) 復(fù)習 公式 第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)： 設(shè)L的參數(shù)方程為，貝歸y x yd 2l平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個單連通區(qū)域；Q p2、 P(x,y), Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且一=

24、一。注意奇點，如(0,0)，應(yīng)x y減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：在衛(wèi)=時，Pdx Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x y 0(xo，yo)曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)Rl z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy對坐標的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正 號；DxyP(x,

25、y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前側(cè)時取正號；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy 匚(P cos Qcosxyz高斯公式的物理意義通量與散度:的流體質(zhì)量，假設(shè)Rcos )dsdiv0,那么為消失通量：A ndsAmds(PcosQ cosRcos)ds,因此，咼斯公式又可寫成div Advo Ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：R QPRQ

26、P()dydz (-)dzdx()dxdy$ PdxQdyyzz xxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：RQPRQ Fyzzxx y散度：divxyijkRdzR，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生z旋度：rotA向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx QdyRdz : A tds常數(shù)項級數(shù):n1 q1 q等差數(shù)列：11)n21是發(fā)散的n級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法(柯西判 別法)：1時，級數(shù)收斂設(shè)：limnUn，那么1時，級數(shù)發(fā)散1時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設(shè)： lim仏，那么1時，級數(shù)發(fā)散n U

27、n1時，不確定3、定義法：sn u1 u2un;lim sn存在，那么收斂；否那么發(fā) 散。n交錯級數(shù)U1U2U3U4(或U1U2U3,Un0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足UnUn 1limun 0,那么級數(shù)收斂且其和s U1,其余項rn的絕對值口山1絕對收斂與條件收斂:(1) u1 U2 Un ，其中Un為任意實數(shù)；(2) 5U2 U3Un如果(2)收斂，那么(1)肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果(2)發(fā)散，而 收斂，那么稱(1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而(1)收斂;nn級數(shù)：12收斂；np級數(shù)：np (:黑幕級數(shù)：1 x X2X 1時，收斂于1 X對于級數(shù)(3)a0a

28、ixa2X2anXn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，那么必存x R時收斂在R,使x R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。X R時不定求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1an，其中an， an 4是(3)的系數(shù)，那么0時，R 0時，R時，R 0X 1時，發(fā)散函數(shù)展開成幕級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x)f(x0)(x x0) -x0)2(x x0 )n2!n!余項：Rn亠(x(n 1)!x)n1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的 充要條件是：limnRnX00時即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f(O)x 堺xn!些函數(shù)展開成幕級數(shù):m(1 x)2!m(m 1) (m n 1) n

29、Xn!1)sinx x3X3!5 X5!1)n2n 11(2n 1)!歐拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix eixe2ixixe e2三角級數(shù):a0 f(t) A0ApSin(n t n)(ancosnx bn sin nx)n 12 n 1其中， ao aAo，an An sin n， bn An cos n，t X。正交性:l,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意兩個不同項的乘積 在,上的積分=0。傅立葉級數(shù)：f(x)ao2(an cosnx bnsinnx), 周期n 11an f (x)cosnxdx (n 0,1,2)其中1bn f (x)sinnxdx(n 1,2,3 )丄丄丄2242622(相加)62一(相減)12正弦級數(shù)：an0, bn2f (x)