離散型隨機(jī)變量的期望與方差 2

1、 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差(1)（5.2） 高二（ ）班姓名 一、知識與方法：1離散型隨機(jī)變量的分布列：性質(zhì)：；且_ 。2離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：_，它反映隨機(jī)變量取值的平均水平。3離散型隨機(jī)變量的方差：_，反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度：越小，取值越集中，越大，取值越分散。4的算術(shù)平均數(shù)叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作。5性質(zhì)：_；_。6提示：（1）在實際中經(jīng)常用期望來比較平均水平，當(dāng)平均水平相近時，再用方差比較穩(wěn)定程度；（2）注意離散型隨機(jī)變量的期望、方差與樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的聯(lián)系。二、例題分析：例1甲盒子內(nèi)有3個正品元件和4個次品元件，乙盒子內(nèi)有5個正品元件和4

2、個次品元件，現(xiàn)從兩個盒子內(nèi)各取出2個元件. （1）求取得的4個元件均為正品的概率；（2）取得正品元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.例2、兩隊進(jìn)行籃球決賽，共五局比賽，先勝三局者奪冠，且比賽結(jié)束。根據(jù)以往成績，每場中隊勝的概率為，設(shè)各場比賽的勝負(fù)相互獨立. （1）求隊奪冠的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示比賽結(jié)束時的場數(shù)，求.1已知隨機(jī)變量的分布列如下，則_；_；_。 0122 隨機(jī)變量的分布列為，其中1、2、3、4、5、6，則 為_，_。 3從簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽中，任意取3支，設(shè)為這3支簽的號碼之中最大的一個。則的的數(shù)學(xué)期望為_。 4某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二

3、天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.（1）求第一天通過檢查的概率；（2）求前兩天全部通過檢查的概率；（3）若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分.求該車間在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望.5兩個排球隊進(jìn)行比賽采用五局三勝的規(guī)則，即先勝三局的隊獲勝，比賽到此也就結(jié)束，較強(qiáng)隊每局取勝的概率為，設(shè)比賽結(jié)束時的局?jǐn)?shù)為，求.（計算結(jié)果保留三個有效數(shù)字） 6甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結(jié)束游戲，已知甲每次投中的概率為，

4、乙每次投中的概率為（1）乙投籃次數(shù)不超過次的概率；1.3.5（2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.7甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為。（1）求該題被乙獨立解出的概率。（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。8某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響.已知某學(xué)生只選修甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.（1）設(shè)事件 表示“函數(shù)為偶函數(shù)”，求事件的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.9某小組有7個同學(xué)，其中4個同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動

5、，3個同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動.（1）現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率；（2）若從該小組隨機(jī)選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動，則活動結(jié)束后，求該小組沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個數(shù)數(shù)學(xué)期望.10旅游公司為個旅游團(tuán)提供條旅游線路，每個旅游團(tuán)任選其中一條.（1）求個旅游團(tuán)選擇條不同的線路的概率；（2）求恰有條線路沒有被選擇的概率；（3）求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的期望.11甲盒有標(biāo)號分別為、的三個紅球；乙盒有標(biāo)號分別為、的個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽取到紅球號、黑球號的概率為。（1）求；（2）現(xiàn)從甲、乙兩盒

6、各隨機(jī)抽取個小球，抽得紅球的得分為其標(biāo)號數(shù)；抽得黑球，若標(biāo)號數(shù)為奇數(shù)，則得分為，若標(biāo)號數(shù)為偶數(shù)，則得分為零，設(shè)被抽取的個小球得分之和為，求的數(shù)學(xué)期望. 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差(1)（5.3） 高二（ ）班姓名 12一個口袋中裝有大小相同的個白球和個黑球，每次從袋中任意摸出一個球。 （1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率； （2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的期望和方差.13在一個盒子里放有張卡片，上面標(biāo)有數(shù)字、，現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩片.（1）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于的概率；（2）在每次取

7、出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值是否相等？請說明理由.14袋中裝著標(biāo)有數(shù)字、的小球各個，從袋中任取個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的個小球上的最大數(shù)字，求： （1）取出的個小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。15編號、的三位學(xué)生隨意入坐編號為、的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.2007051516有編號為、的個學(xué)生，入座編號為、的個座位，每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為，已知時，共有6種做法，（1）求的值；（2）求隨機(jī)變

8、量的數(shù)學(xué)期望. 17、兩點之間有六條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為，.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量.（1）設(shè)選取的三條網(wǎng)線由到可通過的信息總量為，當(dāng)時，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率；（2）求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望. 18如圖所示，質(zhì)點在正方形的四個頂點上按逆時針方向前進(jìn). 現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個、兩個、兩個一共六個數(shù)字. 質(zhì)點從點出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體玩具的上底面出現(xiàn)的數(shù)字是，質(zhì)點前進(jìn)一步（如由到）；當(dāng)正方體玩具的上底面出現(xiàn)的數(shù)字是，質(zhì)點前兩步（如由到），當(dāng)正方體玩具的上底面出現(xiàn)的數(shù)字

9、是，質(zhì)點前進(jìn)三步（如由到）. 在質(zhì)點轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若質(zhì)點恰好轉(zhuǎn)一圈或超過一圈，則投擲終止.（1）求點恰好返回到點的概率；CDAB（2）在點轉(zhuǎn)一圈恰好能返回到點的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量表示點恰能返回到點的投擲次數(shù)，求。19. 設(shè)是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求值，并求101P20(2009山東卷理)(本小題滿分12分) 在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為025，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃

10、訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為02345 P0.03P1P2P3P4（1） 求q的值； （2） 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E；（3） 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差答案例1解：（1）從甲盒中取兩個正品的概率； 從乙盒中取兩個正品的概率為。故取得的4個元件均為正品的概率。 （2）取得正品元件個數(shù)的分布列為01234例2（1）隊連勝3場的概率為，打4場勝3場的概率為，打5場勝3場的概率為故隊獲勝的概率為， （2）；故的分布列為（略）練習(xí)1。 ， 2.， 3.4.解：（1）第一天有9件正品，故第一天通過檢查的概率為 （

11、2）第一天有8件正品，第二天通過檢查的概率為，又第一天，第二天是否通過檢查相互獨立。所以，兩天全部通過檢查的概率為（3）記得分為，則的值分別為0，1，2， ，；故的分布列為（略），因此5.解：比賽結(jié)束時的局?jǐn)?shù)為的取值為，. ，的概率分布為（略）故 =30.2800+40.3744+50.3456 = 4.0656.6.解：（1）“乙投籃次數(shù)不超過次”的對立事件是“乙投籃次”，所以，所求的概率是 = （2）甲、乙投籃總次數(shù)的取值，則，1.3.5 ，。 的分布列（略），數(shù)學(xué)期望為。7.解：（1）記甲獨立解出此題的事件為、乙獨立解出此題的事件為，則，依題意得，即，解得，（2），。8.解：（1）設(shè)該學(xué)

12、生選修甲、乙、丙的概率分別為、依題意得，即 ，解得，若函數(shù)為偶函數(shù)，則=0，故事件表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選，（2）的數(shù)學(xué)期望為。9.解：（1）記“隨機(jī)選2個同學(xué)，恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動”為事件，其概率為 （2）， 。10解：（1）個旅游團(tuán)選擇條不同的線路的概率為；（2）恰有兩條線路沒有被選擇的概率為；（3）設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為，則的取值為， ， ， 的分布列為（略），期望11解：（1）由，得， （2）是被抽取的個小球得分之和，則的取值為、，則有， ，概率分布表（略），故，12.解：（1）“有放回摸取”可看作獨立重復(fù)實驗，每次摸出一球得白球的概率為，記“有放回摸

13、兩次，顏色不同”為事件，其概率為；（2）設(shè)摸得白球的個數(shù)為，則的取值為、，的概率分布表（略），13解：（1）取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于的事件的概率. （2）若每次取出后不再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字隨機(jī)變量的取值為、，則，的概率分布表（略）， 若每次取出后再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字是隨機(jī)變量的取值為、.則，的分布列（略） 。 在每次取出后再放回和每次取出后不再取回這兩種取法中，得到的兩張卡上的數(shù)字中最大數(shù)字的期望值不相等.14解：（1）記 “一次取出的個小球上的數(shù)字互不相同”的事件，則； （2）由題意得，有可能的取值為：、.，20070212，所以隨機(jī)變量的概率

14、分布為（略）因此的數(shù)學(xué)期望為15解：與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)的取值為、，。 概率分布列為（略），故，16解： 當(dāng)時，有種坐法，由，即， ，解得，或（舍去） （2）學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為的取值是、，則， ， ， 的概率分布列為（略）， 17解：（1）由，得；（2）由，得，由，得，由，得，線路信息暢通的概率；（2）由，得，由，得， 選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的分布列（略）， 。18解：（1）投擲一次正方體玩具，每個數(shù)字在正方體玩具的上底面的出現(xiàn)都是等可能的，其概率，因為只投擲一次不可能返回到點；若投擲兩次點就恰好能返回到點，兩次投擲則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為、三種結(jié)果，其概率為，若投擲三次點恰能返回到點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：、三種結(jié)果，其概率為，若投擲四次點恰能返回到點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為其概率為， 點恰好返回到點的概率為；（2）在點轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點的所有結(jié)果共有以上問題中的種，故的分布列（略），19分析：根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)，先確定q的值，當(dāng)分布列確定時，只須按定義代公式即可解： 離散型隨機(jī)變量的分布滿足（1）（2）所以有解得 故的分布列為101P小結(jié)：解題時不能忽視條件時，否則取了的值后，辛辛苦苦計算得到的是兩個毫無用處的計算20解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)