第15章 達朗伯原理

1、第十五章第十五章 達朗伯原理達朗伯原理 達朗伯原理達朗伯原理 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 引引 言言 前面介紹的動力學(xué)普遍定理，為解決質(zhì)點系前面介紹的動力學(xué)普遍定理，為解決質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了一種普遍的方法。達朗伯原理動力學(xué)問題提供了一種普遍的方法。達朗伯原理為解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了另一種普為解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點是：遍的方法。這種方法的特點是：用靜力學(xué)研究平用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題，因此，因此這種方法又叫這種方法又叫動靜法動靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題。由于靜力學(xué)研究

2、平衡問題的方法比較簡單，也容易掌握，因此動靜法在工的方法比較簡單，也容易掌握，因此動靜法在工程中被廣泛使用。程中被廣泛使用。15.1達 朗 伯 原 理 一、質(zhì)點的達朗伯原理一、質(zhì)點的達朗伯原理 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 的質(zhì)點的質(zhì)點M，沿圖示軌跡運動，在某瞬，沿圖示軌跡運動，在某瞬時作用于質(zhì)點時作用于質(zhì)點M上的主動力為上的主動力為 ，約束反力為，約束反力為 ，其，其加速度為加速度為 。mFNaMFgFNa 根據(jù)動力學(xué)基本方程有根據(jù)動力學(xué)基本方程有NFam將上式改寫成將上式改寫成0)(amNF令令amFg于是，假想于是，假想 是一個力，稱之為質(zhì)點的是一個力，稱之為質(zhì)點的慣性力慣性力。 的的大小等于質(zhì)點的

3、質(zhì)量與其加速度大小的乘積，方向與大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與其加速度大小的乘積，方向與其加速度的方向相反其加速度的方向相反。gFgF則有則有0gFNF即：即：在質(zhì)點運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點上的主動在質(zhì)點運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點上的主動力、約束反力和假想加在質(zhì)點上的慣性力構(gòu)成形式力、約束反力和假想加在質(zhì)點上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系上的平衡力系。這就是。這就是質(zhì)點的達朗伯原理質(zhì)點的達朗伯原理。15.1達 朗 伯 原 理 例例1MFgFgmNrO 球磨機的滾筒以勻角速度 繞水平軸O轉(zhuǎn)動，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁

4、半徑為 ，試求鋼球的脫離角 。r 解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對象，受力如圖。 鋼球未脫離筒壁前，作圓周運動，其加速度為0a2ran慣性力 的大小為gF2mrFg 假想地加上慣性力，由達朗伯原理0nF0cosgFmgN15.1達 朗 伯 原 理 例例1解得：)cos(2grmgN 這就是鋼球在任一位置 時所受的法向反力，顯然當鋼球脫離筒壁時， ，由此可求出其脫離角 為0N)arccos(2gr15.1達 朗 伯 原 理 二、質(zhì)點系的達朗伯原理二、質(zhì)點系的達朗伯原理 設(shè)非自由質(zhì)點系由設(shè)非自由質(zhì)點系由 個質(zhì)點組成，其中第個質(zhì)點組成，其中第 個個質(zhì)點的質(zhì)量為質(zhì)點的質(zhì)量為 ，其加速度為，其加速度

5、為 ，作用在此質(zhì)點上，作用在此質(zhì)點上的外力的合力為的外力的合力為 ，內(nèi)力的合力為，內(nèi)力的合力為 。在該質(zhì)點上。在該質(zhì)點上假想地加上慣性力假想地加上慣性力 ，則由質(zhì)點的達朗伯，則由質(zhì)點的達朗伯原理，有原理，有niimiaiiFeiFiigiamF0giiieiFFF), 2 , 1(ni 0giiieiFFF0)()()(giOiiOeiOFmFmFm 對整個質(zhì)點系來講，有對整個質(zhì)點系來講，有 個這樣的力系，將這個這樣的力系，將這些力系疊加，將構(gòu)成一個任意力系，此任意力系亦些力系疊加，將構(gòu)成一個任意力系，此任意力系亦為平衡力系。由靜力學(xué)知，任意力系的平衡條件是為平衡力系。由靜力學(xué)知，任意力系的平

6、衡條件是力系的主矢和對任意點力系的主矢和對任意點O的主矩分別等于零，即的主矩分別等于零，即n15.1達 朗 伯 原 理 二、質(zhì)點系的達朗伯原理二、質(zhì)點系的達朗伯原理 因為質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，并且彼此等因為質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，并且彼此等值反向，因此有值反向，因此有 和和 ；而剩下的；而剩下的外力系又可分為作用在質(zhì)點系上的主動力系和外約外力系又可分為作用在質(zhì)點系上的主動力系和外約束反力系。設(shè)束反力系。設(shè) 、 分別為作用在第分別為作用在第 個質(zhì)點上的個質(zhì)點上的主動力的合力和外約束反力的合力，于是的得主動力的合力和外約束反力的合力，于是的得0iiF0)(iiOFmiFiNi0giiiFNF

7、0)()()(giOiOiOFmNmFm即：即：在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點系上在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點系上的所有主動力系，約束反力系和假想地加在質(zhì)點的所有主動力系，約束反力系和假想地加在質(zhì)點系上的慣性力系構(gòu)成形式上的平衡力系系上的慣性力系構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是。這就是質(zhì)點系的達朗伯原理質(zhì)點系的達朗伯原理。15.1達 朗 伯 原 理 例例2 重P長 的等截面均質(zhì)細桿AB，其A端鉸接于鉛直軸AC上，并以勻角速度 繞該軸轉(zhuǎn)動，如圖。求角速度 與角 的關(guān)系。lACBydnagFdABAXAYPgFd 解：以桿AB為研究對象，受力如圖。 桿AB勻速轉(zhuǎn)動，桿上距A點 的微元段 的加

8、速度的大小為d2)sin(na 微元段的質(zhì)量 。在該微元段虛加慣性力 ， 的大小為dglPdm gFdgFddglPdglPadmdFngsin)sin(2215.1達 朗 伯 原 理 例例2 于是整個桿的慣性力的合力的大小為ABAXAYPgFdsin2sin202lgPdglPdFFlgg 設(shè)力 的作用點到點A的距離為 ，由合力矩定理，有g(shù)FdlggdFdF0)cos()cos(即llgPdglPdl32sin2sin2022 假想地加上慣性力，由質(zhì)點系的達朗伯原理0)(FmA0sin2coslPdFg15.1達 朗 伯 原 理 例例2代入 的數(shù)值，有g(shù)F0) 1cos32(sin22glP

9、l故有或0)23arccos(2lg15.2剛體慣性力系的簡化 下面用靜力學(xué)力系簡化理論研究剛體運動時慣下面用靜力學(xué)力系簡化理論研究剛體運動時慣性力系的簡化結(jié)果。性力系的簡化結(jié)果。 首先研究慣性力系的主矢。設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)首先研究慣性力系的主矢。設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)點點 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，加速度為，加速度為 ，剛體的質(zhì)量為，剛體的質(zhì)量為M，質(zhì)心的加速度為質(zhì)心的加速度為 ，則慣性力系的主矢為，則慣性力系的主矢為iMimiaCaiiiigigamamFF)(由質(zhì)心的矢徑表達式知由質(zhì)心的矢徑表達式知 ，將其兩邊對時，將其兩邊對時間求兩階導(dǎo)數(shù)，有間求兩階導(dǎo)數(shù)，有CiirMrmCiiaMam于是有于是有Cga

10、MF此式表明：無論剛體作什么運動，此式表明：無論剛體作什么運動，慣性力系的主慣性力系的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，方矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反向與質(zhì)心加速度的方向相反。15.2剛體慣性力系的簡化 對于慣性力系的主矩，一般來說，除與剛體對于慣性力系的主矩，一般來說，除與剛體運動形式有關(guān)外，還與簡化中心的位置有關(guān)。下運動形式有關(guān)外，還與簡化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動討論慣性力面就剛體平動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動討論慣性力系的簡化結(jié)果。系的簡化結(jié)果。 一、剛體作平動一、剛體作平動irCiMCaiagFgiF 如圖所示，將慣性力

11、系向剛體的如圖所示，將慣性力系向剛體的質(zhì)心質(zhì)心C簡化，慣性力系的主矩為簡化，慣性力系的主矩為CCCiiiiigCarMarmamrM)()(Cr式中，式中， 是質(zhì)心是質(zhì)心C的矢徑，由于的矢徑，由于C為簡化中心，顯為簡化中心，顯然然 ，于是有，于是有0Cr0gCM綜上可得結(jié)論：綜上可得結(jié)論：平動剛體的慣性力系，可以簡化為平動剛體的慣性力系，可以簡化為一個通過質(zhì)心的合力一個通過質(zhì)心的合力 ，合力，合力 的大小等于剛體的的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反度的方向相反。gFgF15.2剛體慣性力系的簡化 二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)

12、動二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 如圖所示，具有質(zhì)量對稱面且如圖所示，具有質(zhì)量對稱面且繞垂直于質(zhì)量對稱面的軸轉(zhuǎn)動的剛繞垂直于質(zhì)量對稱面的軸轉(zhuǎn)動的剛體。其上任一點的慣性力的分量的體。其上任一點的慣性力的分量的大小為大小為OgOMCCanCaiMianiaginFgiFgFgnFirginFiiiigirmamF2iiniiginrmamF方向如圖所示。該慣性力系對轉(zhuǎn)軸方向如圖所示。該慣性力系對轉(zhuǎn)軸O的主矩為的主矩為)()(giOginOgOFmFmM由于由于 通過通過O點，則有點，則有 ，所以，所以ginF0)(ginOFm)()()(2iiiiiigigiOgOrmrrmrFFmM故OgOJM15.2剛體

13、慣性力系的簡化 綜上可得結(jié)論：綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系，可以簡定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系，可以簡化為通過轉(zhuǎn)軸化為通過轉(zhuǎn)軸O的一個慣性力的一個慣性力 和一個慣性力偶和一個慣性力偶 。力力 的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶 的矩的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。gFgFgOMgOM 現(xiàn)在討論以下三種特殊情況：現(xiàn)在討論以下三種特殊情況： 2、當剛體作勻速

14、轉(zhuǎn)動時，、當剛體作勻速轉(zhuǎn)動時， ，若轉(zhuǎn)軸不過，若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心，慣性力系簡化為一慣性力質(zhì)心，慣性力系簡化為一慣性力 ，且，且 ，同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。0gFCgaMF0gF 1、當轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心、當轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時，時， ， ， 。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。0CaCgCJM 3、當剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心、當剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時，時， ， ，慣性力系自成平衡力系。，慣性力系自成平衡力系。 0gF0gCM15.2剛體慣性力系的簡化 三、剛體作平面運動三、剛體作平面運動CagFgCM 如圖所示，設(shè)剛體作平面運動，如圖所示，設(shè)剛

15、體作平面運動，取質(zhì)心取質(zhì)心C為基點，這時可將剛體的作平為基點，這時可將剛體的作平面運動分解為隨同質(zhì)心的平動和繞質(zhì)面運動分解為隨同質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。將隨同質(zhì)心平動部分的慣心的轉(zhuǎn)動。將隨同質(zhì)心平動部分的慣性力系向質(zhì)心性力系向質(zhì)心C簡化，得簡化，得0gCgMaMF平動平動和將繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動部分的慣性力系向質(zhì)心將繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動部分的慣性力系向質(zhì)心C簡化，注簡化，注意到轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，得意到轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，得CggJMF轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動和0 將以上兩式合并，即為剛體作平面運動時，慣將以上兩式合并，即為剛體作平面運動時，慣性力系向質(zhì)心性力系向質(zhì)心C簡化的結(jié)果簡化的結(jié)果CgggaMFFF轉(zhuǎn)動平動CgggCJMMM轉(zhuǎn)

16、動平動15.2剛體慣性力系的簡化綜上可得結(jié)論：綜上可得結(jié)論：平面運動剛體的慣性力系，平面運動剛體的慣性力系，可以簡化為通過質(zhì)心可以簡化為通過質(zhì)心C的一個慣性力的一個慣性力 和一和一個慣性力偶個慣性力偶 。力。力 的大小等于剛體的質(zhì)量的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶速度的方向相反；力偶 的矩等于剛體對過的矩等于剛體對過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積，質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。gFgFgCMgCM 在用達朗伯原理求解剛體動力學(xué)問題時，在用達朗

17、伯原理求解剛體動力學(xué)問題時，應(yīng)首先分析剛體的運動形式，正確虛加慣應(yīng)首先分析剛體的運動形式，正確虛加慣性力和慣性力偶，然后再列平衡方程求解。性力和慣性力偶，然后再列平衡方程求解。15.2剛體慣性力系的簡化 例例3amh1lABD30 如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量 ，長 ，A點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦，當小車以加速度 向左運動時，求D處和鉸A處的約束反力。kgm40ml4215sma 解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。ABDgFagmDNxyAXAY 桿作平動，慣性力的大小為 。maFg 假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達朗伯原理0)(FmA030sin2230cos2lFlNlmggD

18、于是得)30sin30cos(agmND15.2剛體慣性力系的簡化 例例3ABDgFagmDNxyAXAY0 X030sinDgANFX0Y030cosmgNYDA代入數(shù)據(jù)，解之得：NXA9 .617NYA82.357NND47.3915.2剛體慣性力系的簡化 例例4ABMlC 均質(zhì)懸臂梁AB長l，重W，B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶，借助于細繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。BMCGPaBXBYgBMgCF 解：先以輪和重物為研究對象，受力如圖。 輪的慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，則agGrrargGJMBgB2212 物體C的慣性力的大小為agPFgC方向

19、如圖所示。 假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達朗伯原理15.2剛體慣性力系的簡化 例例4BMCGPaBXBYgBMgCF0)(FmB0)(gCgBFPrMM 將 ， 代入，解之得gBMgCFgPGrrPMa)2()(2 再以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。BMCGPaAXBYgBMgCFAAMW 假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達朗伯原理0 X0AX0Y0gCAFPGWY0)(FmA0)(2rlFPMMGllWMgCgBA15.2剛體慣性力系的簡化 例例4 將 ， 及 代入，解得gBMgCFaPPGrrPMPGWYA)2()(2PPGrMrGrlGPGrPMMGWlMA)2(2)()2()

20、()2(15.2剛體慣性力系的簡化 例例5 質(zhì)量為 ，長為 的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為 的圓盤邊緣上，如圖。今圓盤以角加速度 繞其中心O轉(zhuǎn)動。求圓盤開始轉(zhuǎn)動時，AB桿上焊接點A處的約束反力。mlrrABlO 解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。 桿AB作定軸轉(zhuǎn)動，在開始轉(zhuǎn)動的瞬時，質(zhì)心的加速度為22)2(lrOCaaCC 將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，慣性力的大小為ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF15.2剛體慣性力系的簡化 例例522)2(lrmmaFCg 慣性力偶的矩為ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF)31()4(121)(222222mrmllrmmlmOCJJ

21、MCOgO方向如圖所示。 假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達朗伯原理0 X0singAFX0Y0cosmgFYgA15.2剛體慣性力系的簡化 例例5ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF0)(FmA0sin2rFlmgMMggOA由幾何關(guān)系4sin22lrr42cos22lrl將已知數(shù)值代入以上三式，解之得mrXAmlmgYA223121mlmglMA15.2剛體慣性力系的簡化 例例6Cr 重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為 的斜面向下滾動。求輪心C的加速度，并求圓輪不滑動的最小摩擦系數(shù)。 解：以圓輪為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。CrPNFCagFgCMxy 圓輪作平面運動，輪

22、心作直線運動，則raC 將慣性力系向質(zhì)心簡化，慣性力和慣性力偶矩的大小為rgPFg22rgPMgC方向如圖所示。15.2剛體慣性力系的簡化 例例6 假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達朗伯原理CrPNFCagFgCMxy0 X0cosPN得cosPN 0Y0singFFP0)(FmC0gCMFr解之得sin32gaCsin3PF 由于圓輪沒有滑動，則 ，即fNF cossin3PfP由此得tgf31所以，圓輪不滑動時，最小摩擦系數(shù)tgf31min15.2剛體慣性力系的簡化 例例7 均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為2l，一端放在光滑地面上，并用兩軟繩支持，如圖所示。求當BD繩切斷的瞬時，B點的加速度

23、AE繩的拉力及地面的反力。 解：以AB桿為研究對象，在BD繩切斷的瞬時，受力如圖，建立如圖坐標。30ABEDCBaBaCBa30ABECTgmNxygeFgrFgCM 桿AB作平面運動，如圖，以B點為基點，則C點的加速度為nCBCBBCaaaa其中l(wèi)aCB02lanCB 將慣性力系向質(zhì)心C簡化，得一慣性力 ，其中 ， 和一慣性力偶，其力偶的矩為grgegFFFBgemaFmlFg15.2剛體慣性力系的簡化 例例730ABECTgmNxygeFgrFgCM2231)2(121mllmJMCgC方向如圖所示。 假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達朗伯原理0 X030cosggeFFT0Y03

24、0sinmgFNg即030sinmgmlN（2）0)(FmC030sin30cosgCMNlTl即030cosmlmaTB（1）即03130sin30cos2mlNlTl（3）15.2剛體慣性力系的簡化 例例730ABBaBaAaABa 以B為基點，則A點的加速度為nABABBnAAaaaaa其中02AEvaAnA022lanAB 將上式投影到本 軸上得30cos0ABBaa 即30cos2laB（4）聯(lián)立求解（1）（4）式，得ggaB833302sin43lglaB8330cos2mgmaTB163321mgamtgmgNB1613302115.2剛體慣性力系的簡化 例例8ABrRO 如圖所

25、示，均質(zhì)桿AB長為l，重為Q，上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l ），下端A以鉸鏈和均質(zhì)圓輪中心A相連，圓輪重P，半徑為r，放在粗糙的地面上，由靜止開始滾動而不滑動。若運動開始瞬時桿與水平線所成夾角 ，求此瞬時A點的加速度。45 解：設(shè)系統(tǒng)運動的初瞬時，圓輪中心的加速度為 ，角加速度為 ；AB桿的角加速度為 ，質(zhì)心C的加速度為 、 。如圖。AaraAACxaCya 輪和桿均作平面運動，將慣性力系分別向質(zhì)心簡化，則慣性力和慣性力偶的矩的大小分別為ABrROCAaACxaCyaBa15.2剛體慣性力系的簡化 例例8 ABrROCAaACxaCyaAgAagPFrargPMAgA221CxgCxagQFCygCyagQF2121lgQMgC 先以整體為研究對象，受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達朗伯原理ABCAaACxaCyaFANKBNPQgAFgAMgCyFgCxFgCM0)(FmK0)sin2(cos2cos2)sin(gAgAgCgCxgCyBMrFMlrFlQlFrlN(1)15.2剛體慣性力系的簡