2021高考數(shù)學必修四第一章知識點大全

1、20212021 高考數(shù)學必修四第一章知識點大全高考數(shù)學必修四第一章知識點大全數(shù)學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具，是一些現(xiàn)象的根源。數(shù)學是不變的，是客觀存在的，接下來小編在這里給大家分享一些關于數(shù)學必修四第一章知識點，供大家學習和參考，希望對大家有所幫助。 數(shù)學必修四第一章知識點 【一】 重點難點講解： 1.回歸分析： 就是對具有相關關系的兩個變量之間的關系形式進行測定，確定一個相關的數(shù)學表達式，以便進行估計預測的統(tǒng)計分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學表達式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。 2.線性回歸方程 設 x 與 y 是具有相關關系的兩個變量，且相應于 n 組觀測值的

2、 n 個點(xi,yi)(i=1,.,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。 其中。 3.線性相關性檢驗 線性相關性檢驗是一種假設檢驗，它給出了一個具體檢驗 y 與 x 之間線性相關與否的辦法。 在課本附表 3 中查出與顯著性水平 0.05 與自由度 n-2(n 為觀測值組數(shù))相應的相關系數(shù)臨界值 r0.05。 由公式，計算 r 的值。 檢驗所得結(jié)果 如果|r|r0.05，可以認為 y 與 x 之間的線性相關關系不顯著，接受統(tǒng)計假設。 如果|r|r0.05，可以認為 y 與 x 之間不具有線性相關關系的假設是不成立的，即 y 與 x 之間具有線性相關關系。 典型例題講解： 例 1.

3、從某班 50 名學生中隨機抽取 10 名，測得其數(shù)學考試成績與物理考試成績資料如表：序號 12345678910 數(shù)學成績 54666876788285879094，物理成績61806286847685828896 試建立該 10 名學生的物理成績對數(shù)學成績的線性回歸模型。 解：設數(shù)學成績?yōu)?x，物理成績?yōu)?，則可設所求線性回歸模型為， 計算，代入公式得所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。 說明：將自變量 x 的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應的因變量的估計值，由回歸模型知：數(shù)學成績每增加 1 分，物理成績平均增加 0.74 分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數(shù)學、化學成績進行分

4、析。 例 2.假設關于某設備的使用年限 x 和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0 若由資料可知 y 對 x 成線性相關關系。試求： (1)線性回歸方程;(2)估計使用年限為 10 年時，維修費用是多少? 分析：本題為了降低難度，告訴了 y 與 x 間成線性相關關系，目的是訓練公式的使用。 解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.049162536 于是 b=,。線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。 (2)當 x=10 時，=1.2310+0

5、.08=12.38(萬元)即估計使用 10 年時維修費用是 12.38 萬元。 說明：本題若沒有告訴我們 y 與 x 間是線性相關的，應首先進行相關性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。 例 3.某省七年的國民生產(chǎn)總值及社會商品零售總額如下表所示：已知國民生產(chǎn)總值與社會商品的零售總額之間存在線性關系，請建立回歸模型。年份國民生產(chǎn)總值(億元) 社會商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.5219

6、89700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18 合計 4333.012194.24 解：設國民生產(chǎn)總值為 x，社會商品零售總額為 y,設線性回歸模型為。 依上表計算有關數(shù)據(jù)后代入的表達式得：所求線性回歸模型為 y=0.445957x+37.4148,表明國民生產(chǎn)總值每增加1 億元，社會商品零售總額將平均增加 4459.57 萬元。 例 4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量 xkg 與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量 yt 之間的關系有如下數(shù)據(jù)：年份 19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929

7、095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0 年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求 x 與 y 之間的相關系數(shù)，并檢驗是否線性相關; (2)若線性相關，求蔬菜產(chǎn)量 y 與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥 150kg 時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。 分析：(1)使用樣本相關系數(shù)計算公式來完成;(2)查表得出顯著水平 0.05 與自由度 15-2 相應的相關系數(shù)臨界值r0.05 比較，若 rr0.05，則線性

8、相關，否則不線性相關。 解：(1)列出下表，并用科學計算器進行有關計算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0 xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關系數(shù)：r=由于 n=15，故自由度 15-2=13。由相關系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯著水平 0.05 及自由度 13 相關系數(shù)臨界

9、值 r0.05=0.514，則 rr0.05，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關關系。 (2)設所求的回歸直線方程為=bx+a，則回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。 當 x=150 時，y 的估值=0.0931150+0.7102=14.675(t)。 說明：求解兩個變量的相關系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細心謹慎計算，如果會使用含統(tǒng)計的科學計算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計算機中有關應用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進行處理。 【二】 問題提出 1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,如果當一個變

10、量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數(shù)關系. 2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好,那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法,似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關系,我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量,那么這兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎? 3.我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少,學習興趣、學習時間、教學水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變量是有一定關系的,它們之間是一種不確定性的關系.類似于這樣的兩個變量之間的關系,有必要從理論上作些探討,如果能通過數(shù)學成績對物理成績進行

11、合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義. 知識探究(一)：變量之間的相關關系 思考 1:考察下列問題中兩個變量之間的關系: (1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費; (2)糧食產(chǎn)量與施肥量; (3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎? 思考 2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數(shù)關系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關系的成語嗎? 思考 3:上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系,稱之為相關關系,那么相關關系的含義如何? 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系

12、，叫做相關關系. 1、球的體積和球的半徑具有() A 函數(shù)關系 B 相關關系 C 不確定關系 D 無任何關系 2、下列兩個變量之間的關系不是 函數(shù)關系的是() A 角的度數(shù)和正弦值 B 速度一定時，距離和時間的關系 C 正方體的棱長和體積 D 日照時間和水稻的畝產(chǎn)量 AD 練:知識探究(二)：散點圖 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù): 其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù). 思考 1:對某一個人來說,他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著

13、年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化? 思考 2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系,我們需要對數(shù)據(jù)進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以 x 軸表示年齡,y 軸表示脂肪含量,你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎? 思考 3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎? 在平面直角坐標系中，表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖. 思考 4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關系? 思考 5：在上面的散點圖中,這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為正相關.一般地,如果兩個變量成正相關

14、，那么這兩個變量的變化趨勢如何? 思考 6：如果兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何?其散點圖有什么特點? 一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域. 一般情況下兩個變量之間的相關關系成正相關或負相關，類似于函數(shù)的單調(diào)性. 知識探究(一)：回歸直線 思考 1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點圖中樣本點的中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎? 思考 2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的點是雜亂分布的,有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點? 這些點大致分布在一條直線附近.

15、 思考 3:如果散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關關系的兩個變量,其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎? 思考 4:對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù),你認為其回歸直線是一條還是幾條? 思考 5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線?借助計算機怎樣畫出回歸直線? 知識探究(二)：回歸方程 在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估

16、計. 思考 1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系? 整體上最接近 思考 2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法? 思考 4：為了從整體上反映 n 個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關系來刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫 之間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了某 6 天 賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對照表： 如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些 數(shù)據(jù)預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎? 實例探究 為了了解熱茶銷量與 氣溫的大致關系,我們 以橫坐標 x 表示氣溫， 縱坐標 y 表示熱茶銷量， 建立直角坐標系.將表 中數(shù)據(jù)構(gòu)成的 6 個數(shù)對 表示的點在坐標系內(nèi) 標

17、出，得到下圖。 你發(fā)現(xiàn)這些點有什么規(guī)律? 今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot). 建構(gòu)數(shù)學 所以,我們用類似于估計平均數(shù)時的 思想,考慮離差的平方和 當 x=-5 時，熱茶銷量約為 66 杯 線性回歸方程： 一般地,設有 n 個觀察數(shù)據(jù)如下：當 a,b 使 2.三點(3,10),(7,20),(11,24)的 線性回歸方程是()D11.69 二、求線性回歸方程 例 2：觀察兩相關變量得如下表： 求兩變量間的回歸方程解 1：列表： 閱讀課本 P73 例 1 EXCEL 作散點圖 利用線性回歸方程解題步驟： 1、先畫出所給數(shù)據(jù)對應的散點圖; 2、觀察散點，如果在一條直線附近，則說明

18、所給量具有線性相關關系 3、根據(jù)公式求出線性回歸方程，并解決其他問題。 (1)如果 x=3,e=1,分別求兩個模型中 y 的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性 模型還是隨機模型. 模型 1：y=6+4x;模型 2：y=6+4x+e. 解(1)模型 1：y=6+4x=6+43=18; 模型 2：y=6+4x+e=6+43+1=19.C 線性相關與線性回歸方程小結(jié) 1、變量間相關關系的散點圖 2、如何利用“最小二乘法”思想求直線的回歸方程 3、學會用回歸思想考察現(xiàn)實生活中變量之間的相關關系 數(shù)學必修四學習方法 學會看題 高中比初中有更多的相關材料。高考是全社會關注的問題。因此，在高中的實踐尤其

19、多，一些學生購買更多的材料。因此，如何利用主題來掌握我們學習的知識，擴大我們所學的知識是學習的關鍵。我認為我們應該看更多的話題，更多的思考，看看解決材料中問題的方法，思考方法中的原因，這樣我們就可以從更多的方法中學習。 有很多方法來消化它們。因此，我們將不得不選擇去做這個問題，用一半的努力達到兩倍的結(jié)果。我建議每天練習一次，每周做一組完整的試題，看 2 到 3 組試題，從中找出這段時間數(shù)學學習的關鍵知識，這些是我們常用來解決問題的方法，以及可以用來優(yōu)化解題的方法。 課后鞏固 很多學生在課后的學習過程中不注重鞏固，只是覺得課堂上的一些知識就足夠了，其實這是錯誤的。高中數(shù)學知識豐富，不像初中數(shù)學那么簡單，卻有著豐富的內(nèi)涵。如果它不能進一步挖掘，那么它只是掌握這些知識的表面。因此，我不知道如何理解，也不能使用這些知識時，我做我的練習。 做練習是必要的，但有些學生只是做練習，而不是鞏固這些知識，把知識擴展到做練習，經(jīng)常是在練習完成后完成練習。這和中學問題沒有什么區(qū)別。事實上，我們也應該把在這個練習中使用的知識聯(lián)系起來，這樣我們才能理解正在使用的知識，并且能