微分方程模型--人口的預(yù)測(cè)(2)

1、第第5章章 微分方程模型微分方程模型5.6 人口的預(yù)測(cè)人口的預(yù)測(cè)（Malthus模型與模型與Logistic模型）模型）微分方程模型微分方程模型 在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題.求出方程的解求出方程的解 求出未知函數(shù)的解析表達(dá)式求出未知函數(shù)的解析表達(dá)式 利用各種數(shù)值解法、數(shù)值軟件（如利用各種數(shù)值解法、數(shù)值軟件（如MatlabMatlab）求

2、）求近似解近似解不必求出方程的解不必求出方程的解 根據(jù)微分方程的理論研究某些性質(zhì)，或它的根據(jù)微分方程的理論研究某些性質(zhì)，或它的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì) 為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)?？刂粕鷳B(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)。 本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單模下這方面的問(wèn)題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單模型的復(fù)合來(lái)研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自型的復(fù)合來(lái)研究，大家若

3、有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。行建立相應(yīng)的模型。 美麗的大自然 種群的數(shù)量本應(yīng)取種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值離散值，但由于種群數(shù)，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作數(shù)量看作連續(xù)變量連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。由此引起的誤差將是十分微小的。 離散化為連續(xù)，方離散化為連續(xù)，方便研究便研究 5.6 5.6 人口的預(yù)測(cè)人口的預(yù)測(cè) 5.6 5.6 人口的預(yù)測(cè)人口的預(yù)測(cè)世界人口世界人口年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口（億）人口（

4、億） 5 10 20 30 40 50 60中國(guó)人口中國(guó)人口年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000人口（億）人口（億） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)控制人口過(guò)快增長(zhǎng)做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào) 建立人口數(shù)學(xué)模型建立人口數(shù)學(xué)模型 最簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型最簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型常用公式常用公式kkrxx)1 (0記今年人口為記今年人口為 x0, , k 年后人口年后人口為為 xk,，年增長(zhǎng)率為年增長(zhǎng)率為 r則則模型模型1 1 馬爾薩斯（馬爾薩斯（MalthusMalthus）模型模型1798

5、1798年提出年提出假設(shè)假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。0( )rtx tx e （2） （1）的解為的解為：符號(hào)：符號(hào)：00 x(t )txt 時(shí)刻時(shí)的人口，可微函數(shù)時(shí)刻時(shí)的人口，可微函數(shù)時(shí)的人口時(shí)的人口()( )( )x ttx trx tt 則則00( )dxrxdtxx （1） 于是于是x（t）滿(mǎn)足如下微分方程：滿(mǎn)足如下微分方程：r-人口增長(zhǎng)率（常數(shù)）人口增長(zhǎng)率（常數(shù)）（可分離變量微分方程）（可分離變量微分方程）單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量 馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需

6、的時(shí)種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T(mén)，則有：，則有： 002rTxx e 2lnTr 故故0( )rtx tx e （2） 當(dāng)當(dāng)r0時(shí)，表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)，因此又稱(chēng)為時(shí)，表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)，因此又稱(chēng)為人人口指數(shù)模型?？谥笖?shù)模型。0( )(e )rtx txtrx)1 (0與常用公式的一致與常用公式的一致模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 用用P164P164給給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（以百萬(wàn)出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（以百萬(wàn)作單位），對(duì)模型作檢驗(yàn)。作單位），對(duì)模型作檢驗(yàn)。0( )rtx tx e 參數(shù)估計(jì)：

7、參數(shù)估計(jì)：0,rxr，x0可用已知數(shù)據(jù)利用線(xiàn)性可用已知數(shù)據(jù)利用線(xiàn)性最小二乘法最小二乘法進(jìn)行估計(jì)進(jìn)行估計(jì)（2） （2 2）式兩邊取對(duì)數(shù)，得：）式兩邊取對(duì)數(shù)，得：00ln ( )ln(ln ( ),ln)yartx txrtyx t ax （3） 以以17901900年的數(shù)據(jù)擬合年的數(shù)據(jù)擬合（3 3）式，用）式，用MatlabMatlab軟件計(jì)算得：軟件計(jì)算得：r r0.2743/10年，年，所有散點(diǎn)到曲線(xiàn)的距所有散點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離平方和最小離平方和最小Matlab計(jì)算示范計(jì)算示范00ln ( )ln(ln ( ),ln)yartx txrtyx t ax 以以1790-1900年共計(jì)年共計(jì)12個(gè)數(shù)

8、據(jù)為例進(jìn)行擬合：個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：t=0：11； %輸入數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76;plot (t, x, o); %畫(huà)散點(diǎn)圖畫(huà)散點(diǎn)圖y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（3） 0.2743 1.4323p 輸出結(jié)果：輸出結(jié)果：001 43234 1884ln.xx0 27434 1884.( ).tx te0 27431 4323.yt表示：表示：以以1790-19001790-1900年共計(jì)年共計(jì)1212個(gè)數(shù)據(jù)為例畫(huà)出擬合圖形：個(gè)數(shù)據(jù)為例畫(huà)出擬合圖形：t=0:11;x=3.9 5

9、.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76;y=log(x);p=polyfit(t,y,1); % 一次函數(shù)的最小二乘擬合一次函數(shù)的最小二乘擬合f = polyval(p,t); % 計(jì)算所擬合函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算所擬合函數(shù)的函數(shù)值ff = exp(f); % 因?yàn)槭孪纫驗(yàn)槭孪热∪∵^(guò)對(duì)數(shù)過(guò)對(duì)數(shù)plot(t,x,o,t,ff,-)axis(0 12 0 100)以以1790-2000年共計(jì)年共計(jì)12個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：r =0.20743/10年，年，x0 =4.1884r =0.2022/10年，年，x0 =6.0450

10、以以1790-2000年共計(jì)年共計(jì)22個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：0510152025010020030040050019502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人馬 爾 薩 斯 模 型 人 口 預(yù) 測(cè)模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè) 假如人口數(shù)真能保持每假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)年，人口達(dá)21014個(gè)，個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，平方英尺的活動(dòng)范圍

11、，而到而到2670年，人口達(dá)年，人口達(dá)361015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。肩上排成二層了。 故故馬爾薩斯模型是不完善的。馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)MalthusMalthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生物群體的各成員之間由于有限的生存存空間，有限的自然資源及食生存存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。現(xiàn)象。所以所以MalthusMalthus模型假設(shè)的人口模型假設(shè)的人口凈凈增

12、長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合. 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代. 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè). 不符合不符合1919世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律. . 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程. .1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降)

13、 )模模型型2 2 阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型邏輯斯蒂邏輯斯蒂(Logistic)(Logistic)模模型型人人口增口增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(x) 從而有從而有：00( )( )dxr x xdtxx （4）r( (x x) )是未知函數(shù)，但根是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求擬合方法來(lái)求 。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模在建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法

14、。單的方法。 r(x)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)） 對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令），令此時(shí)得到微分方程：此時(shí)得到微分方程： ()dxrsx xdt(1)mdxxrxdtx或或（5）（5 5）可改寫(xiě)成：可改寫(xiě)成： ()mmdxrxx xdtx（6）r-固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率( ( x 很小時(shí)很小時(shí)) )xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）mxr

15、s 0)(mxr (2.6)式還有另一解釋?zhuān)捎诳臻g和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限式還有另一解釋?zhuān)捎诳臻g和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為的種群數(shù)量的上界為xm（近似地將（近似地將xm看成常數(shù)），看成常數(shù)），x表示當(dāng)前的種群數(shù)量，表示當(dāng)前的種群數(shù)量，xm-x恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（，（2.6

16、）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（2.6）也被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。也被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 （2.5）被稱(chēng)為被稱(chēng)為L(zhǎng)ogisticLogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（生物學(xué)家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。數(shù)量很大時(shí)，會(huì)

17、對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。()dxrsx xdt(1)mdxxrxdtx或或（5）()mmdxrxx xdtx（6）dx/dtxOxmxm/2對(duì)對(duì)（6 6）分離變量：分離變量：11mdxrdtxxx 兩邊積分并整理得：兩邊積分并整理得： 1mrtxxCe 令令x(0)=x0，求得：，求得： 0001mmxxxCxx 故故（6 6）的滿(mǎn)足初始條件的滿(mǎn)足初始條件x(0)=x0的解為：的解為： 011( )()mrtmxx txex （7）易見(jiàn)：易見(jiàn)： lim( )mtx tx x(t)的圖形請(qǐng)看的圖形請(qǐng)看圖圖2txOxmx0 xm/2S形曲線(xiàn)形曲線(xiàn)x增加先快后慢增加先快后慢dd

18、xrxtd( )dxr x xtdx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()(mxxrxr指數(shù)增指數(shù)增長(zhǎng)模型長(zhǎng)模型Logistic 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長(zhǎng)規(guī)律經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長(zhǎng)規(guī)律( (耐用消費(fèi)品的售量耐用消費(fèi)品的售量) )，新產(chǎn)品的推廣，新產(chǎn)品的推廣. . 種群數(shù)量模型種群數(shù)量模型 ( (魚(yú)塘中的魚(yú)群魚(yú)塘中的魚(yú)群, , 森林中的樹(shù)木森林中的樹(shù)木).).S形曲線(xiàn)形曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)先估計(jì)模型參數(shù)先估計(jì)模型參數(shù) r, xm . .模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)

19、模型d(1)dmxxrxtxsxryd /d,mxtxrysxx tx由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用線(xiàn)性最小二乘法線(xiàn)性最小二乘法作參數(shù)估計(jì)作參數(shù)估計(jì)例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)(百萬(wàn)百萬(wàn)) t 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年實(shí)際實(shí)際人口人口計(jì)算人口計(jì)算人口(指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型)計(jì)算人口計(jì)算人口 (阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型)17903.96.03.918005.37.45.01960179.31

20、88.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型用模型計(jì)算用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口年美國(guó)人口/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx誤差約誤差約2.5%與實(shí)際數(shù)據(jù)比較與實(shí)際數(shù)據(jù)比較(2000年年281.4)=274.5模型的檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)模型的檢驗(yàn)和預(yù)報(bào) 為作為作模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)在參數(shù)估計(jì)時(shí)未用在參數(shù)

21、估計(jì)時(shí)未用2000年實(shí)際數(shù)據(jù)年實(shí)際數(shù)據(jù)加入加入2000年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)美國(guó)美國(guó)2010年人口年人口 美國(guó)人口普查局美國(guó)人口普查局2010年年12月月21日公布：截止到日公布：截止到2010年年4月月1日美國(guó)總?cè)丝跒槿彰绹?guó)總?cè)丝跒?.087億億.預(yù)報(bào)誤差不到預(yù)報(bào)誤差不到1%！MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的總結(jié)模型的總結(jié) MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均為對(duì)微分方程均為對(duì)微分方程（4）所）所作的模擬近似方程。前

22、一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，為一常數(shù)，（r被稱(chēng)為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只被稱(chēng)為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。因，對(duì)模

23、型進(jìn)行修改。 MalthusMalthus模型與模型與LogisticLogistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。即可。 新產(chǎn)品的推廣新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷(xiāo)速經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷(xiāo)速度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界出一些有

24、用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷(xiāo)售模型。大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷(xiāo)售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記，記t時(shí)刻已銷(xiāo)售出的時(shí)刻已銷(xiāo)售出的電飯煲數(shù)量為電飯煲數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為，則尚未使用的人數(shù)大致為Kx(t)，于是由統(tǒng)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：計(jì)籌算律： ()dxx Kxdt記比例系數(shù)為記比例系數(shù)為k k，則則x(t)滿(mǎn)足：滿(mǎn)足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解為：模型，解為： ( )1KktKx tCe還有兩個(gè)奇解還有兩個(gè)奇解: x=0和和x=K

25、 對(duì)對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：求一階、兩階導(dǎo)數(shù)： 22( )(1)KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eCex tCe容易看出，容易看出，x(t)0，即，即x(t)單調(diào)增加。單調(diào)增加。由由x(t0)=0，可以得出，可以得出 =1，此時(shí)，此時(shí)， 。0RKtCe2)(0Ktx當(dāng)當(dāng)t0，x(t)單調(diào)增加，而當(dāng)單調(diào)增加，而當(dāng)tt0時(shí)，時(shí)，x(t)0，x(t)單調(diào)減小。單調(diào)減小。實(shí)際調(diào)查表明，銷(xiāo)售曲線(xiàn)與實(shí)際調(diào)查表明，銷(xiāo)售曲線(xiàn)與LogisticLogistic曲線(xiàn)曲線(xiàn)十分接近，尤其是在銷(xiāo)售后期，兩者幾乎完全吻合。十分接近，尤其是在銷(xiāo)售后期，兩者幾乎完全吻合

26、。 在銷(xiāo)出量小于最大需求量的一在銷(xiāo)出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的，半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的，銷(xiāo)出量達(dá)到最大需求量的一半銷(xiāo)出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，接著銷(xiāo)時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，接著銷(xiāo)售速度將開(kāi)始下降。售速度將開(kāi)始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有以廣告宣傳；從有20%20%用戶(hù)到有用戶(hù)到有80%80%用戶(hù)這段時(shí)期，應(yīng)該大批量用戶(hù)這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。 定義定義 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (或微分或微分

27、) 的方程，的方程，稱(chēng)為稱(chēng)為微分方程微分方程. 定義定義 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端相等，則稱(chēng)此函數(shù)為兩端相等，則稱(chēng)此函數(shù)為微分方程的解微分方程的解.通解通解 特解特解22,2yxC yxxy2例如例如 ，都是微分方程，都是微分方程的解的解.xey yy 是微分方程是微分方程的解，因?yàn)榈慕猓驗(yàn)?xeyy附：微分方程簡(jiǎn)介附：微分方程簡(jiǎn)介一、可分離變量微分方程一、可分離變量微分方程( , ,)0F x y y 一階微分方程的一般形式是：一階微分方程的一般形式是：如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成( )( )g y dyf x dx形式，

28、即能把微分方程寫(xiě)成一端只含形式，即能把微分方程寫(xiě)成一端只含 y 的函數(shù)和的函數(shù)和 dy，4252dyx ydx4252,ydyx dx例如例如定義定義另一端只含另一端只含x 的函數(shù)和的函數(shù)和dx，則原方程就稱(chēng)為，則原方程就稱(chēng)為可分離變可分離變量的微分方程量的微分方程.yxxy23dd的通解的通解. .分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即31|xCye31Cxye e 3xeCy 1CeC令( ( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) )或或( ( 此式含分離變量時(shí)丟失的解此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ) )例例1 求微分方程

29、求微分方程解解:(0)y說(shuō)明說(shuō)明: : 在求解過(guò)程中每在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形一步不一定是同解變形, ,因此可能增、減解因此可能增、減解.標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程稱(chēng)為未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程稱(chēng)為一階線(xiàn)一階線(xiàn)( )( )P xxdyyxQddydx的系數(shù)是的系數(shù)是y( ),P x( )Q x( )P xydydx都是已知函數(shù)都是已知函數(shù).如果如果稱(chēng)為稱(chēng)為一階一階齊次齊次線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程.( )0Q x ( )0yP x y性微分方程性微分方程. 它的標(biāo)準(zhǔn)形式中它的標(biāo)準(zhǔn)形式中二、一階線(xiàn)性微分方程二、一階線(xiàn)性微分方程的系數(shù)是的系數(shù)是1，和和都

30、在方程的左邊，都在方程的左邊，和和，則方程變?yōu)椋瑒t方程變?yōu)槿绻绻?則稱(chēng)為則稱(chēng)為一階一階非齊次非齊次線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程.( )0Q x 1. 一階線(xiàn)性微分方程的概念一階線(xiàn)性微分方程的概念方程兩邊積分后得方程兩邊積分后得1ln |( )yP x dxC 即即 P x dxyCe 為齊次方程的通解為齊次方程的通解.（ C 為常數(shù)）為常數(shù)）( )0dyP x ydx分離變量后得分離變量后得將一階齊次線(xiàn)性微分方程將一階齊次線(xiàn)性微分方程( )dyP x dxy 2. 一階齊次線(xiàn)性微分方程的通解一階齊次線(xiàn)性微分方程的通解常數(shù)變易法常數(shù)變易法作變換作變換( )( ),P x dxyC x e求解一階非

31、齊次線(xiàn)性微分方程求解一階非齊次線(xiàn)性微分方程則則( )d( )eP xxC x )(xP( )d( )eP xxC x )(xQ( )d( )( )eP xxP x C x 即即( ) d( )( )P xxC xQ xe( )( )( )P x dxC xQ x edxC兩邊積分，得兩邊積分，得( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxC故非齊次線(xiàn)性微分方故非齊次線(xiàn)性微分方方程的通解為方程的通解為dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解把齊次方程通解中的把齊次方程通解中的常數(shù)常數(shù)變變易為易為待定函數(shù)

32、待定函數(shù)的方法的方法.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解：解：例例1 1二、伯努利（二、伯努利（Bernoulli）方程）方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: :)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求出此方程通解后, ,換回原變量即得伯努利方程的通解換回原變量即得伯努利方

33、程的通解.除方程兩邊除方程兩邊 , , 得得解法解法: :( (線(xiàn)性方程線(xiàn)性方程) )2)ln(ddyxaxyxy的通解的通解. .解解: : 令令,1 yz則方程變形為則方程變形為xaxzxzlndd其通解為其通解為ez將將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 例例1 1 求方程求方程四、二階線(xiàn)性微分方程四、二階線(xiàn)性微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x時(shí)時(shí), , 稱(chēng)為稱(chēng)為非齊次方程非齊次方程; ; 0)(xf時(shí)時(shí), , 稱(chēng)為稱(chēng)為齊次方程齊次方程. .0)(xf1122( )(

34、 )*( )yC y xC yxyx)()(xyxY齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)線(xiàn)性無(wú)關(guān)）線(xiàn)性無(wú)關(guān)）12( )( )y xyx（其其中中和和),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根: :21, rr(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 通解為通解為xrxrCCy21ee2121rr(2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 通解為通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 通解為通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r二階二階常常系數(shù)系數(shù)齊次齊次線(xiàn)性線(xiàn)性微分方程微分方程,02qrpr特征方程特征方程: :xmxPyqypye)(.

35、 1 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根, ,xmkxQxye)(*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1 )重根重根, , ixkxye*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmm二階二階常常系數(shù)系數(shù)非齊次非齊次線(xiàn)性線(xiàn)性微分方程微分方程xxyyy2e65 求方程的通解的通解. . 解解: : 本題本題特征方程為特征方程為,0652 rr其根為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù)比較系數(shù), , 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解為因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解為所求通解為xxC