競賽數(shù)學(xué)典型問題解決----數(shù)列與遞推關(guān)系(新)

1、數(shù)列與遞推關(guān)系數(shù)列與遞推關(guān)系第三節(jié)第三節(jié)數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).數(shù)列的有關(guān)問題往往圍繞通項(xiàng)與求和問題展開, 數(shù)列問題涉及數(shù)列的通項(xiàng)、求和、數(shù)列的性質(zhì) (如單調(diào)性、周期性、整除性、取值范圍等等);另外,還常與函數(shù)迭代、 集合分拆、 初等數(shù)論等其它知識交織成綜合題. 由于其中不少問題可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為遞推數(shù)列問題, 因此這里主要介紹遞推數(shù)列.一一.遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式例1 已知 ,23, 2, 01210nnnaaaaa求 na的表達(dá)式. 解一 (輔助數(shù)列法) ),( 2112nnnnaaaa令 ,1nnnaab則 nb是 20b首項(xiàng) 且公比為2的等比數(shù)列, .21nnb故 ., 2 , 1 ,

2、0,211naannn疊加得 ,2222221210nnnnaa因此, .221nna解二 (特征方程法) 解特征方程 , 232 xx得 . 2, 121 xx可設(shè) 有.21nnnxxa由 , 2, 010aa,220得 解得 .22所以 .221nna解三 (母函數(shù)法) 設(shè) na的母函數(shù)為 222210)(nnnnxaxaxaxaaxf則 2112103333)(3nnnnxaxaxaxaxxf22312022222)(2nnnnxaxaxaxaxfx三式相加,并注意到 , 02312nnnaaa得 , 0)3()()231 (0102xaaaxfxx, 0)3()()231 (0102x

3、aaaxfxx即)21)(1 (2)(xxxxfxx21212由于 ,110nnxx故 00)2(22)(nnnnxxxf.)22(01nnnx因此, .221nna例2 設(shè)函數(shù) ,),()(,12)(111Nnxffxfxxfnn記 ,2) 2 (1) 2 (nnnffa則 (2003年,“希望杯”高一第1試) .99a解 (不動點(diǎn)法) ,1)(2)(1xfxfnn令 12xx得不動點(diǎn) .2, 121 xx于是 ,1)(1)(1)(1xfxfxfnnn.1)() 2)( 22)(1xfxfxfnnn相比得 ,2)(1)(212)(1)(21xfxfxfxfnnnn即 ,211nnaa由 81

4、1a及等比數(shù)列通項(xiàng)公式得 .)21(2nna所以 .)21(10199a例3 已知 求 表達(dá)式.),3(3, 2, 1211321naaaaaaannnnna分析 對非齊次遞推式,有時可采用齊次化方法簡化遞推關(guān)系,達(dá)到解決問題的目的. 解 ,3121nnnnaaaa .3213nnnnaaaa兩式相加,并整理得 .23111nnnnnnaaaaaa令 ,11nnnnaaab上式說明 nb的奇數(shù)項(xiàng)相等,偶數(shù)項(xiàng)也相等. 而 , 3, 332 bb故 ),2( 3nbn即 ) 2(311naaannn) 2(311naaannn解特征方程 132 xx得 ,253,25321xx可設(shè) .21nnnx

5、xa由 121aa得 22212111xxxx解得 55255525于是 .)553(5525)553(5525nnna例4 已知數(shù)列 na滿足 , 30a,18)6)(3 (1nnaa 則 niia11的值為 .(2004年全國高中)解 顯然 , 06na于是 631nnnaaa由 30a易見 及歸納法. 0na從而 31211nnaa因此 31211nnaa3132231312 2222nnaa31) 1222 (1nn3121n )1()222(311221nannii) 32 (313nn “九連環(huán)”是中國先人創(chuàng)造的智力游戲. 在2002 年北京世界數(shù)學(xué)家大會期間, 這個古老的游戲引起

6、了與會數(shù)學(xué)家們的濃厚興趣.該游戲依賴以下兩個原則: (1)第1個環(huán)任何情況下,可下也可上; (2)如果某一環(huán)在上,而它前面所有環(huán)都在下, 則這個環(huán)的后一個環(huán)可上也可下. 記上“ 連環(huán)”總共需要 步； nnS當(dāng) “ 連環(huán)”完成 n后接著完成“ 連環(huán)”1n1n個環(huán)需要 1nS步, 由原則(2)知先卸下前再上第 1n個環(huán)要1步, 再裝上前 1n個環(huán)要 1nS步, 所以, 新增加的步驟數(shù)為，1na注意第n個環(huán)可上也可下. 1211nnSa又 , 2, 121SS因此“ n象為數(shù)學(xué)問題就是 連環(huán)”問題抽, 2, 121 SS九連環(huán) 設(shè)數(shù)列 na前 已知 例5 n項(xiàng)之和為 ,nS. 1211nnSa求 .

7、nS解 因?yàn)?,1211nnSa所以 ,1211nnnSSS) 1(2111nnnnSSSS由等比數(shù)列通項(xiàng)公式,有 nnnSS211整理得 整理得 )21232(2123211nnnnSS由等比數(shù)列通項(xiàng)公式,有 11)21()21232(21232nnnSS故 ) 1(326112nnnS11)21()21232(21232nnnSS注： 30n時, 715827882)42(613230S(次). 若每秒完成次,每天做12小時,則億多次需要90.8年.多么驚人的數(shù)字！和 例6 函數(shù) f定義在正整數(shù)集上,且滿足 2002) 1 (f)() 2() 1 (nfff),1()(2nnfn則 )20

8、02(f的值是 .(2002年,上海市高中) 解 依題意,有 )()() 2() 1 (2nfnnfff) 1() 1() 1() 2() 1 (2nfnnfff相減得 )(2) 1(nfnnnf故 ) 1(112)(2) 1(nfnnnnnfnnnf) 1 () 1)(2(2fnn所以, 20032)2002(f二.利用遞推數(shù)列的性質(zhì)解題 1.求值問題 且解 設(shè)實(shí)數(shù) 721,xxx滿足 ,12381644936251691264493625169414936251694765432176543217654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx求 722212200720022001

9、xxx的值. (第6屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題改編) 例7 好鄰居 記 ,)6() 1(722212naxnxnxn則 123,12, 1321aaa為求 ，2001a注意到有相鄰系數(shù)關(guān)系,設(shè) 2222) 1() 2() 3(cnnbnan展開并比較系數(shù)得 , 1, 3, 3cba故 2222) 1( 3) 2( 3) 3(nnnn所以 nnnnaaaa12333解特征方程 ，13323xxx得 11x(三重). 可設(shè) ,)(1nnxnPa 其中 nnnP2)(由 ,123,12, 1321aaa得 3912324121解得 9013950所以 90139502nnan故 1999220012001

10、a注： 時即為第6屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題. 4n例8 已知 ,) 2() 3(, 3, 11221nnnananaaa若 nm時 ma的值都能被9整除,求 n南省高中) 的最小值. (2002年湖解一 (先特殊后一般) 計(jì)算知數(shù)列前幾項(xiàng)為1, 3, 9, 33, 153, 873, ,注意到 873,15365aa是9的倍數(shù), 由遞推關(guān)系知 第5項(xiàng)后各項(xiàng)都是9的倍數(shù), 故 n的最小值為5 解二 (先求通項(xiàng)公式,再考察其規(guī)律) 由條件得 ，)(2(112nnnnaanaa反復(fù)使用此式可得，!)(34) 1(121naannaann于是 ! 1! 2)!1(!nnan注意 ! 1! 2)!1(!nn

11、an6n時 ，!9n而計(jì)算知前5項(xiàng)只有 5a倍數(shù),是9的故 的最小值為5. n例9 已知 nnnaaaaa2, 121221求證:對一切非零自然數(shù), n總有 na為整數(shù).(1963年,莫斯科) 解 ,2212nnnaaa 22213nnnaaa兩式相減,并整理得 令 ,12nnnnaaab上式說明 12213nnnnnnaaaaaanb為常數(shù)列.而 ,4, 313ba,121 aa故 ，124nnnaaa即 nnnaaa124至此,用數(shù)學(xué)歸納法不難證明結(jié)論成立. 2.考察數(shù)列的性質(zhì)例10 求證:滿足 ) 0()453 (21, 1210naaaannn的數(shù)列是整數(shù)數(shù)列.(2001年,英國(第2

12、輪)重新整理遞推關(guān)系,化為易應(yīng)用的形式. 分析證明 由條件可得 , 453221nnnaaa平方得 0132121nnnnaaaa0132112nnnnaaaa削去常數(shù)項(xiàng),得 0)3)(1111nnnnnaaaaa所以 11nnaa或 113nnnaaa由此可見, 若 nnaa ,1是整數(shù), 則1na也是整數(shù). 由 , 2, 110 aa用數(shù)學(xué)歸納法不難證明結(jié)論成立.3.證明不等式例11 求證: 2n時, 3!2! 37! 22)!1(232nnn(1996年,世界城市數(shù)學(xué)競賽)分析 用遞)!2! 37! 22(32nnan推關(guān)系簡化通項(xiàng), 最后說明 )!1(20nan設(shè) 解 設(shè) ),!2!

13、37! 22(32nnan則 )!1(2) 1(21nnaann變形,得 !2)!1(2) 1(1nnannann(構(gòu)造輔助數(shù)列),!2)!1(2) 1(1nnannann故 )!1(2) 1(!21nnannann0! 2222a所以 )2(!2nnnan易見, 2n時, )!1(20nan得證. （) 23!2! 37! 22)!1(232nnnn即 4.組合計(jì)數(shù)(1) 青蛙每次跳時有2種不同的選擇方法， 解所以跳 k-1 2k-1 種不同的方法 次共有又從A出發(fā)的 2k-1種不同的跳法分為兩類： 例12 荷塘月色 池塘里有3張荷葉A、B、C， 一只青蛙在這3張荷葉上跳來跳去 若青蛙從A

14、開始， 跳k(k2)次后又回到A, 不同跳法種數(shù)為并設(shè)所有可能的.ka (1) k 2時,2011aka1ka與 的遞推關(guān)系式； 間 (2)求 的值求ka1ka(2) (1) 青蛙每次跳時有2種不同的選擇方法， 解所以跳 k-1 2k-1 種不同的方法 次共有又從A出發(fā)的 2k-1種不同的跳法分為兩類： 一類是第k-1次跳回到A的, 有種； 第k-1次跳回到B或C的, 另一類是再跳一次可跳回到 A ,有 種.所以 112kkkaa易知k=3時有兩種不同的跳法： ,ACBA,ABCA(2) (1)解112kkkaa易知k=3時有兩種不同的跳法： ,ACBA,ABCA; 23a由(1)可得 201

15、0201020112aa20092009201022a332008200920102222a1232008200920102222223) 2(222010.3222011附：分組數(shù)列將數(shù)列按一定的規(guī)律分組,以組為單位的新數(shù)列稱為原數(shù)列的分組數(shù)列(又叫分群數(shù)列).用數(shù)列的有關(guān)知識考察分組數(shù)列,是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種新題型.例12 刪去正整數(shù)數(shù)列 1,2,3,中的所有完全平方數(shù),得到一個新數(shù)列,這個新數(shù)列的第2003項(xiàng)是( ) (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049(2003年全國高中) 例12 刪去正整數(shù)數(shù)列 1,2,3,中的所有完全平方數(shù),得到一個新數(shù)列,這個新數(shù)列的第20

16、03項(xiàng)是( ) (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049(2003年全國高中) 解 (利用平方數(shù)特征及選擇支提供的信息解決) 2116462049,2048,2047,204620254522故待選項(xiàng)之前刪去的最大完全平方數(shù)是 .4522003+45=2048知選(C). 由為第4組, 對正偶數(shù)進(jìn)行“理想配數(shù)”： 為第1組, ) 8 , 6 , 4(2A例13 ) 4 ,2 (1A為第2組, )14,12,10, 8(3A為第3組, ,14(4A)22,20,18,16,那么2004為第 組的第 個數(shù).(2006年啟東中學(xué)高一測試題)解 考察各組第1個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列 ，：1

17、4842na記 ，nnnaab1(差分法) 其前n項(xiàng)和為 nn 2 于是 112211)()()(aaaaaaaannnnn1121abbbnn2) 1(nn由 20042072,200419824645aa知, 2004在第45組. 則易知 nb公差為 2 的等差數(shù)列, 是以2為首項(xiàng)且設(shè)2004為第45組的第可k個數(shù), 解得k=12. 2004=1982+(k-1)2, 所以,2004為第45組的第12個數(shù). 由通項(xiàng)公式得例14 已知一個數(shù)列的各項(xiàng)是1或2,首項(xiàng)為1, 且在第k個1和第k+1個1之間有 個2,即1,2,1, 2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1, (1)求該; (2)是否存在正整數(shù)n,12k數(shù)列前1998項(xiàng)的和 1998S使前n項(xiàng)的和 2001nS ? 若存在,求n的值; 若不存在,請證明你的結(jié)論.(1998年,湖南省高中)分析 第(1)小題先確定第1998項(xiàng)在第幾組,再求和就不難了; 第(2)小題先假設(shè)存在, 再研究其性質(zhì).解 (1)將數(shù)列分組：第i個1和它后面 個2這 12i個數(shù)稱為第i組. 設(shè)第1998項(xiàng)在第k組,則k是滿足 1998)21 ()21 ()21 (110k的最小正整數(shù), 即 1