專題10坐標平面上直線

1、專題10 坐標平面上的直線閱讀與思考我們知道，任意一個一次函數(shù)的圖象都是平面上的一條直線，那么，是不是平面上的任意一條直線都是某個一次函數(shù)的圖象呢？請讀者思考.一次函數(shù)、二元一次方程、直線三者有著緊密的聯(lián)系，我們既可以用函數(shù)的方法來處理方程的問題，也可以從方程的觀點來討論函數(shù)；既可以用坐標平面上的直線來表示一次函數(shù)與二元一次方程，也可以用方程和函數(shù)的思想來研究直線的性質，以及直線與直線之間的關系.數(shù)形結合是解函數(shù)問題的重要思想方法，它包括兩方面內(nèi)容：（1）由數(shù)定形即通過函數(shù)解析式的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置. （2）由形導數(shù)即從給定的函數(shù)圖象上獲得解的信息，如圖象的大致位置；確定解析式中系數(shù)

2、符號；圖象上的點的坐標等.一次函數(shù)的圖象是一條直線，對于實際問題，由于自變量的取值范圍受實際意義的限制，因此，作出的函數(shù)圖象是常見直線的一部分，相應函數(shù)值就有最大值或最小值.一次函數(shù)是表示日常生活中勻速變化的兩個變量之間關系的數(shù)學模型，是最基本的函數(shù)，有著廣泛的應用價值. 運用一次函數(shù)解題時應注意：1. 一次函數(shù)的圖象是一條直線.2. 函數(shù)解析式中的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置及y隨x變化的性質. 3. 確定一次函數(shù)解析式，通常需要兩個獨立的條件.4. 一次函數(shù)與二元一次方程有著密切的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可以看做是一個關于x，y的二元一次方程；反過來，任意一個二元一次方程，當時，可化為形如

3、的函數(shù)形式.例題與求解 【例1】（1）如圖，已知A點坐標為，直線與y軸交于點B，連接AB，則 . （蘇州市中考試題） （2）一次函數(shù)的圖象l1關于直線軸對稱的圖象l2的函數(shù)解析式是 .（太原市競賽試題）解題思路：對于（1），先求出相應函數(shù)解析式；對于（2），l1與x軸、y軸交點的坐標分別為，求出A，B兩點分別關于直線對稱點的坐標，這是解題的關鍵. 【例2】已知，并且，則直線一定通過（ ）A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限（全國初中數(shù)學競賽試題）解題思路：求出p的值，大致畫出函數(shù)圖象位置，從而作出判斷. 【例3】如圖，AOB為正三角形，點B的坐標為，過

4、點C作直線l交AO于D，交AB于E，且使ADE和DCO的面積相等，求直線l的函數(shù)解析式.（太原市競賽試題）解題思路：由得，設法求出E點的坐標. 【例4】某科技公司在甲地、乙地分別生產(chǎn)了17臺、15臺同一種型號的檢測設備，全部運往大運會賽場A，B兩館，其中運往A館18臺、運往B館14臺. 運往A，B兩館的運費如下表： 出發(fā)地目的地甲地乙地A館800元/臺700元/臺B館500元/臺600元/臺 （1）設甲地運往的設備有x臺，請?zhí)顚懴卤恚⑶蟪隹傔\費y（元）與x（臺）的函數(shù)關系式； 出發(fā)地目的地甲地乙地A館x（臺） （臺）B館 （臺） （臺） （2）要使總運費不高于20200元，請你幫助該公司設計

5、調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案； （3）當x為多少時，總運費最小，最小值是多少？（深圳市中考試題）解題思路：將設計方案轉化為求不等式組的整數(shù)解，為此需求出自變量的取值范圍.當一次函數(shù)圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起. 求兩交點坐標并能發(fā)掘隱含條件是解相關綜合題的基礎.當自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點. 當一次函數(shù)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了. 【例5】已知長方形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上的動點，設，已知點D在第一象限且是直線上的一點，若APD是等腰直角三角形. （1）求點D 的

6、坐標； （2）直線向右平移6個單位后，在該直線上是否存在點D，使APD是等腰直角三角形？若存在，請求出這些點的坐標；若不存在，請說明理由.（浙江省中考試題）解題思路：構造全等三角形，注重坐標與線段的轉化，并由動點討論，這是解本題的關鍵.例5顛覆了傳統(tǒng)意義上的動點問題與存在性問題，探索過程是嘗試畫圖，找到可能存在的點，再計算驗證. 綜合了坐標、方程、函數(shù)、矩形、特殊三角形、全等三角形等豐富的知識，滲透了分類討論、數(shù)形結合等思想方法. 【例6】如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱體鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）. 現(xiàn)將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個水

7、槽中水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：（1）圖2中折線ABC表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選塡“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義是 ；（2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）（直接寫出結果）（揚州市中考試題）解題思路：觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應是先快后慢，圖象的“轉折點”即對應容器的“水面剛好漫過鐵塊”這個時刻，

8、由此確定，圖象與器具的對應關系. 對于（3）、（4），根據(jù)注水時間與注水速度求解，而解題的關鍵是挖掘出隱含信息.例6是圖象信息題. 函數(shù)圖象以直觀、形象的特征融合了顯性與隱性的信息，解題的關鍵是獲取數(shù)據(jù)、數(shù)量關系信息，并能整合信息，還原到問題的情境之中.能力訓練A 級1. 已知，且，則關于自變量x的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第 象限.（湖北省黃岡市競賽試題）2. 某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需要購買行李票，其圖象如圖所示，旅客最多可免費攜帶行李 千克.（南京市中考試題）3. 如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B兩點，則AOC的面積為 .（第2題） （第3題） （

9、第4題）4. 如圖，直線與兩坐標軸分別交于A，B兩點，直線BC與直線AB垂直，垂足為B，則直線BC所對應的函數(shù)解析式為 .5. 某市為了鼓勵節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費：（1）每戶每月用水量不超過20m3，則每立方米水費1.2元；（2）每戶每月用水量超過20m3，則超過的部分每立方米水費2元. 設某戶一個月所交水費為y（元），用水量為x（m3），則y與x的函數(shù)關系用圖象表示為（ ）A B C D（荊州市中考試題）6. 下列圖象中，不可能是關于x的一次函數(shù)的圖象是（ ）（北京市中考試題）7. 如圖，點A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標依次為、1、2，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中

10、陰影部分的面積之和是（ ）A.1 B.3 C. D.（寧波市中考試題）8. 點，是坐標平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角ABC可以畫出（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個（北京市競賽試題）9. 隨著我國人口增長速度的減慢，小學入學兒童數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學兒童人數(shù)的變化趨勢. 試用你學過的函數(shù)知識解決下列問題：x（年）200020012002入學兒童人數(shù)y（人）252023302140 （1）求入學兒童人數(shù)y（人）與年份x（年）的函數(shù)關系式； （2）利用所求函數(shù)關系式，預測該地區(qū)從哪一年起入學兒童的人數(shù)不超過1000人.（沈陽市中考試題）1

11、0. 已知直線和，若它們的交點在第四象限. （1）求k的取值范圍； （2）若k為非整數(shù)，點A的坐標為，點P在直線上，求使PAO為等腰三角形的點P的坐標.（大連市中考試題）11. 如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點A和點B，另一直線經(jīng)過點，且把AOB分成兩部分. （1）若AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值； （2）若AOB被分成的兩部分的面積比為，求k和b的值.（廈門市中考試題）12. 某車站客流量大，旅客往往需長時間排隊等候購票. 經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時，約有300名旅客排隊等候購票，同時有新的旅客不斷進入售票廳排隊等候購票，新增購票人數(shù)y（人）與售票時間x（分）的函數(shù)關系如

12、圖1所示；每個售票窗口票數(shù)y（人）與售票時間x（分）的函數(shù)關系如圖2所示. 某天售票廳排隊等候購票的人數(shù)y（人）與售票時間x（分）的函數(shù)關系如圖3所示. 已知售票的前a分鐘開放了兩個售票窗口，求： 圖1 圖2 圖3（1）a的值；（2）售票到第60分鐘時，售票廳排隊等候購票的旅客人數(shù)；（3）該車站在學習實踐科學發(fā)展觀的活動中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設售票窗口. 若要在開始售票后半小時內(nèi)讓所有排隊購票的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客能隨到隨購，請你幫助計算，至少需同時開放幾個售票窗口？（咸寧市中考試題）13. 2011年4月28日，以“天人長安，創(chuàng)意自然城市與自然和諧共生”為

13、主題的世界園藝博覽會在西安隆重開園. 這次園藝會的門票分為個人票、團體票兩大類，其中個人票設置有三種：票的種類夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）單價（元/張）60100150某社區(qū)居委會為獎勵“和諧家庭”，欲購買個人票100張，其中B種票的張數(shù)是A種票張數(shù)的3倍還多8張，設需購A種票張數(shù)為x，C種票張數(shù)為y.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）設購票總費用為w元，求出w（元）與x（張）之間的函數(shù)關系式；（3）若每種票至少購買1張，其中購買A種票不少于20張，則有幾種購票方案？并求出購票總費用最少時，購買A，B，C三種票的張數(shù).（陜西省中考試題）B 級1. 如圖，在直角坐標系中，直

14、角梯形OABC的頂點，P為線段OC上一點，若過B，P兩點的直線為，過A，P兩點的直線為，且BPAP，則 .（紹興市競賽試題）2. 設直線（k是自然數(shù)）與兩坐標軸圍成的圖形的面積為S1，S2，S2000，則 . （湖北省選拔賽試題）（第1題） （第3題） （第4題）3. 如圖，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點，把AOB沿AB翻折，點O落在C處，則點C的坐標是 . （黃岡市競賽試題）4. 如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么 . （全國初中數(shù)學競賽試題）5. 在直角坐標系中，有兩點和，M是x軸上任意點，則的長度的最小值是（ ）A.

15、B.4 C. D.36. 某航空公司規(guī)定，旅客乘機所攜帶行李的質量x（kg）與其運費y（元）由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，那么旅客可攜帶的免費行李的最大質量為（ ）A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg（成都市中考試題）7. 一個一次函數(shù)的圖象與直線平行，與x軸、y軸的交點分別為A、B，并且過點，則在線段AB上（包括端點A、B），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（ ）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個（全國初中數(shù)學競賽試題）8. 設，將一次函數(shù)與的圖象畫在同一平面直角坐標系內(nèi)，則有一組a，b的取值，使得下列4幅圖中正確的是（ ） A B C D（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）9. 求證：不論k為何值，一次函數(shù)的圖象恒過一定點.（江蘇省競賽試題）10. 已知四條直線，和所圍成的四邊形面積是12，求m的值.（“祖沖之杯”邀請賽試題）11. 在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于