MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字帶通FIR濾波器幾種窗函數(shù)比較

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院數(shù)字與信號(hào)處理探究學(xué)習(xí) 徐小龍 課題介紹通過平時(shí)所學(xué)、書本內(nèi)容和網(wǎng)絡(luò)上了解的知識(shí)，我們小組討論決定對(duì)MATLAB結(jié)合窗函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通FIR濾波器工程中涉及的幾個(gè)窗函數(shù)方法優(yōu)劣好壞用圖形形象的進(jìn)行比較，以MATLAB軟件為工具探討出一個(gè)失真小高效的設(shè)計(jì)方法。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR的實(shí)現(xiàn)是非遞歸的，總是穩(wěn)定的；更重要的是，F(xiàn)IR濾波器在滿足幅頻響應(yīng)要求的同時(shí)，可以獲得嚴(yán)格的線性相位特性。根據(jù)FIR濾波器的原理，提出了FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法，給出了在MATLAB

2、環(huán)境下，用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的過程和設(shè)計(jì)實(shí)例。通過利用不同的窗函數(shù)方法設(shè)計(jì)FIR濾波器，對(duì)所設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行分析比較，得出各種方法設(shè)計(jì)的濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)及其不同的使用場(chǎng)合，從而可以在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)能夠正確的選擇FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)的選取及設(shè)計(jì)方法。 數(shù)字濾波技術(shù) 數(shù)字濾波，就是通過一定的計(jì)算或判斷程序減少干擾在有用信號(hào)中的比重，所以故實(shí)質(zhì)上是一種程序?yàn)V波。與此對(duì)應(yīng)的就是模擬濾波，模擬濾波主要無源綠波（直接用電阻、電容、電感等不外接電源的元件組成的）與有源濾波（如運(yùn)算放大器等需要外接電源組成的），其目的是將信號(hào)中的噪音和干擾濾去或者將希望得到的頻率信號(hào)濾出為我所用。數(shù)字濾波的出現(xiàn)克服了模擬

3、濾波的很多不足，具有以下優(yōu)點(diǎn)：1是用程序?qū)崿F(xiàn)的，不需要增加硬設(shè)備，所以可靠性高，穩(wěn)定性好。2可以對(duì)頻率很低的信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波，克服了模擬濾波的缺陷。3可以根據(jù)信號(hào)的不同，采用不同的濾波方法或參數(shù)，具有靈活、方便、功能強(qiáng)的特點(diǎn)。本文主要對(duì)FIR濾波器加以介紹。FIR濾波器FIR濾波器是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中最基本的元件，它可以在保證任意幅頻特性的同時(shí)具有嚴(yán)格的線性相頻特性，同時(shí)其單位沖激響應(yīng)是有限的，沒有輸入到輸出的反饋，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。FIR濾波器具有以下主要優(yōu)點(diǎn)：1.FIR濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位；2.FIR濾波器永遠(yuǎn)穩(wěn)定；3.FIR濾波器設(shè)計(jì)方法一般是線性的；4.FIR濾波器在硬件上具有更高的運(yùn)行效

4、率；5.FIR濾波器啟動(dòng)傳輸時(shí)間只需要有限時(shí)間。FIR濾波器的主要缺點(diǎn)有：1.FIR濾波器為達(dá)到同樣的性能要求需要比IIR濾波器高得多的階數(shù)；2.相應(yīng)的FIR濾波器的時(shí)延比同等性能的IIR濾波器高很多。FIR濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)主要有數(shù)字集成芯片，DSP芯片F(xiàn)IR濾波器，可編程FIR濾波器，后兩者的實(shí)際方法主要通過MATLAB軟件進(jìn)行設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)方法多樣，形式靈活，能夠滿足各種要求，并且不受數(shù)字集成芯片規(guī)格的限制。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法中最常用的是窗函數(shù)法。 濾波器設(shè)計(jì)要求利用MATLAB仿真軟件系統(tǒng)結(jié)合窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通FIR濾波器。要求：分別使用矩形窗、三角形窗、漢明窗、布萊克曼窗、凱澤

5、窗進(jìn)行設(shè)計(jì)，并輸出濾波器的頻率特性。然后進(jìn)行比較得出優(yōu)缺點(diǎn)。參數(shù)：采樣頻率為20kHz；通帶邊緣頻率：fp1=4.5kHz,fp2=6.5kHz;通帶峰值起伏：p40dB設(shè)計(jì)函數(shù)的選取MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了基于加窗的線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)fir1和fir2，fir1函數(shù)的調(diào)用格式為：b=fir1(n,Wn)b=fir1(n,Wn,ftype)b=fir1(n,Wn,window)b=fir1(n,Wn,ftype,window)b=fir1(.,normalization)函數(shù)參數(shù)說明如下：1n表示濾波器的階數(shù)2ftype表示所設(shè)計(jì)濾波器的類型：3high表示高通濾波器4sto

6、p表示帶阻濾波器5DC-1表示多通帶濾波器，第一頻帶為通帶6DC-0表示多通帶濾波器，第一頻帶為阻帶；默認(rèn)時(shí)為低通或帶通濾波器；7window為窗函數(shù)，是長(zhǎng)度為n+1的列向量，默認(rèn)時(shí)函數(shù)自動(dòng)取Hamming窗。該函數(shù)實(shí)現(xiàn)加窗的線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)，可以設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)低通、帶通、高通和帶阻濾波器 窗函數(shù)構(gòu)造MATLAB工具箱已經(jīng)提供了各種窗函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)，因而窗函數(shù)的構(gòu)造十分方便，下面給出幾種常用窗函數(shù)的構(gòu)造方法：1矩形窗：利用w=boxcar(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長(zhǎng)度，而返回值w為一個(gè)n階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。w=boxcar(n)等價(jià)于w=ones(1,n).2三

7、角窗：利用w=triang(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長(zhǎng)度，而返回值w為一個(gè)n階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。w=triang(N-2)等價(jià)于bartlett(N)。3漢寧窗：利用w=hanning(n)得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長(zhǎng)度，而返回值w為一個(gè)n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個(gè)系數(shù)。4布拉克曼窗：利用w=blackman(n)得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長(zhǎng)度，而返回值w為一個(gè)n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個(gè)系數(shù)。它的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的3倍，為12*pi/N，但是它的最大旁瓣值比主瓣值低57dB。5凱塞窗：利用w=kaiser(n,beta)的形式得到窗函數(shù)。 窗函數(shù)

8、設(shè)計(jì)條件在使用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器時(shí)要滿足以下兩個(gè)條件：1 窗譜主瓣盡可能地窄，從而可以獲得較陡峭的過渡帶；2盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度，及盡可能是能量集中于主瓣，減少峰肩和波紋，進(jìn)而增加阻帶的衰減。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)條件實(shí)際工程常用的窗函數(shù)有五種，即矩形窗、三角窗、漢寧窗、海明窗和凱塞窗。這些窗函數(shù)之間的性能比較如下表所示。5種窗函數(shù)性能比較窗類型旁瓣峰值主瓣峰值最小阻帶衰減矩形窗13dB4/M21dB三角窗25dB8/M25dB漢寧窗31dB8/M44dB海明窗41dB8/M53dB凱塞窗57dB12/M74dB常用窗函數(shù)繪圖比較：在MATLAB中運(yùn)行以下代碼：代碼2-1：n=50;x=1:5

9、0;juxing=boxcar(n); %構(gòu)造矩形窗sanjiao=triang(n); %構(gòu)造三角窗hanming=hamming(n); %構(gòu)造漢寧窗bulaikeman=blackman(n); %構(gòu)造布萊克曼窗kaize=kaiser(n); %構(gòu)造凱塞窗plot(x,juxing,b.,x,sanjiao,gx,x,hanming,r+,x,bulaikeman,cd,x,kaize,k*);legend(矩形窗,三角窗,漢明窗,布萊克曼窗,凱塞窗); 運(yùn)行結(jié)果如圖2-1所示：圖2-15種窗函數(shù)繪圖比較設(shè)計(jì)步驟實(shí)際利用窗函數(shù)法進(jìn)行FIR濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，依據(jù)所給的技術(shù)指標(biāo)一般需要經(jīng)過以下

10、幾個(gè)步驟進(jìn)行設(shè)計(jì)：1 給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejw)及技術(shù)指標(biāo)；2 求出理想的單位抽樣響應(yīng)hd(n);3 根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)w(n)4 根據(jù)過渡帶寬度確定N值;5 求出所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)；6 計(jì)算頻率響應(yīng)，驗(yàn)算指標(biāo)是否滿足要求。 設(shè)計(jì)方法MATLAB作為一款優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算軟件，本身就內(nèi)置了豐富的函數(shù)，其中便有用于通信仿真的一系列函數(shù)，并且MATLAB中還集成了通信設(shè)計(jì)的工具箱，不管是內(nèi)置的函數(shù)，還是通信工具箱，均有專用于濾波器設(shè)計(jì)的工具，常用的主要有用函數(shù)法設(shè)計(jì)和用通信工具箱設(shè)計(jì)，下面分別予以介紹。 依據(jù)設(shè)計(jì)步驟編寫此種方法不依賴MATLAB中的濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)，而是依

11、據(jù)FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟自己求解理想濾波器的沖擊響應(yīng)，然后用窗函數(shù)對(duì)沖擊響應(yīng)進(jìn)行截短，從而得到FIR濾波器，由于低通濾波器設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單，因而可以通過兩個(gè)低通的理想沖擊響應(yīng)函數(shù)相減得到理想帶通的沖擊響應(yīng)，再通過窗函數(shù)對(duì)其截短，從而得到實(shí)際可行的FIR濾波器，這里以用漢明窗進(jìn)行截短實(shí)現(xiàn)帶通FIR濾波器，關(guān)鍵代碼如下：完整代碼在后面代碼2-2：wp1=0.3*pi; ws1=0.45*pi;wp2=0.65*pi; ws2=0.75*pi;tr_width=ws1-wp1;%求過渡帶寬度M=ceil(6.6*pi/tr_width)+1;%求得所需窗函數(shù)的長(zhǎng)度n=0:1:M-1;wc1=(ws1+w

12、p1)/2; wc2=(ws2+wp2)/2;%求截止頻率hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);%求得理想帶通的沖擊響應(yīng)w_ham=(hamming(M);%得到長(zhǎng)度為M的漢寧窗h=hd .* w_ham;%利用窗函數(shù)截短程序運(yùn)行結(jié)果：圖2-2漢寧窗帶通濾波器利用MATLAB自帶函數(shù)設(shè)計(jì)利用原理說明介紹的fir1函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)方法只需要給出濾波器的階數(shù)，截止頻率，窗函數(shù)等參數(shù)，MATLAB即可自行完成設(shè)計(jì)，并可通過freqz函數(shù)查看濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，已驗(yàn)證濾波器是否滿足設(shè)計(jì)要求，下面給出利用fir1函數(shù)設(shè)計(jì)的不同窗函數(shù)的數(shù)字帶通濾波器。1. 利

13、用矩形窗進(jìn)行設(shè)計(jì)代碼2-2：fs=20000; %設(shè)定采樣頻率fp1=4500;fp2=6500; %第一截止頻率fs1=3000;fs2=7500; %第二截止頻率As=40; %最小阻帶衰減Ws1=(fp1+fs1)/fs;Ws2=(fp2+fs2)/fs; %截止頻率歸一化處理w=(fp1-fs1)/fs; %求歸一化過渡帶M=ceil(As-7.95)/(14.36*w) %計(jì)算所需濾波器的階數(shù)juxing=boxcar(M+1); %生成長(zhǎng)度為M+1的矩形窗boxb=fir1(M,Ws1,Ws2,juxing); %生成矩形窗設(shè)計(jì)的fir濾波器freqz(boxb,1,fs,fs);

14、 %繪制幅頻和相頻響應(yīng)曲線運(yùn)行結(jié)果：圖2-3矩形窗fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線從幅頻響應(yīng)上看，通帶基本無波紋，阻帶中波紋較大，因而阻帶較不理想，相頻響應(yīng)曲線在通帶內(nèi)為直線，效果較好，信號(hào)失真小。 2. 利用三角窗進(jìn)行設(shè)計(jì)利用三角窗進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時(shí)采用triang（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-4三角窗設(shè)計(jì)的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線3. 利用漢寧窗進(jìn)行設(shè)計(jì)利用漢寧窗進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時(shí)采用hamming（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-5漢寧窗設(shè)計(jì)的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線4. 利用布萊克曼窗

15、進(jìn)行設(shè)計(jì)利用布萊克曼窗進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時(shí)采用blackman（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-6布萊克曼窗設(shè)計(jì)的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線5. 利用凱塞窗進(jìn)行設(shè)計(jì)利用凱塞窗進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，濾波器的參數(shù)可以用以下函數(shù)求得：調(diào)用函數(shù)n,wn,bta,ftype=kaiserord（f，a，dev，fs）參數(shù)：1）f為對(duì)應(yīng)的歸一化頻率2）a為由f指定的各個(gè)頻帶上的幅值向量，一般只有0和1，和f長(zhǎng)度關(guān)系為（2*a的長(zhǎng)度）2=（f的長(zhǎng)度）3）devs用于指定各個(gè)頻帶輸出濾波器的頻率響應(yīng)與其期望幅值之間的最大輸出誤差或偏差，長(zhǎng)度與a相等。4）fs為信號(hào)的采樣頻率

16、。利用該函數(shù)修改代碼得到凱塞窗設(shè)計(jì)fir濾波器的代碼如下：代碼2-3fs=20000; %設(shè)定采樣頻率fp1=4500;fp2=6500; %第一截止頻率fs1=3000;fs2=7500; %第二截止頻率n,wn,bta,ftype=kaiserord(fs1,fp1,fp2,fs2,. 0,1,0,0.01 0.1087 0.01,fs) %求濾波器參數(shù)b=fir1(n,wn,ftype,kaiser(n+1,bta); %生成fir濾波器freqz(b,1,fs,fs); %繪制幅頻和相頻響應(yīng)曲線程序運(yùn)行結(jié)果：圖2-7凱塞窗設(shè)計(jì)的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線利用MATLAB工具箱設(shè)計(jì)M

17、ATLAB信號(hào)處理工具箱中已集成了用于濾波器設(shè)計(jì)和分析的工具：FDATool，利用它可以實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的可視化設(shè)計(jì)與分析，操作簡(jiǎn)單方便，在MATLAB命令行中輸入fdatool命令即可打開濾波器設(shè)計(jì)工具利用FDATool設(shè)計(jì)的凱塞窗fir濾波器幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如下：圖2-9 FDATool設(shè)計(jì)的凱塞窗fir濾波器幅頻響應(yīng)圖2-10 FDATool設(shè)計(jì)的凱塞窗fir濾波器相頻響應(yīng) 濾波器濾波性能測(cè)試由MATLAB模擬生成含有不同頻率的數(shù)字信號(hào)，然后利用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行濾波，為方便觀察，模擬生成的信號(hào)只含有包含在阻帶的兩個(gè)頻率（2000Hz，8000Hz）一個(gè)包含于通帶的頻率（5000

18、Hz），測(cè)試代碼如下：代碼2-4：fs=20000;t=0:1/fs:2; x=sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*5000*t). +sin(2*pi*8000*t); %生成混合信號(hào)xo=filter(b,2,xn); %用濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波figure;nn=5000:5100; %取一段信號(hào)subplot(211);tt=nn/fs;plot(tt,x(nn); %繪制原始信號(hào)axis(0.25,0.255,-4,4);ylabel(原始信號(hào));xlabel(時(shí)間);subplot(212);plot(tt,xo(nn); %繪制濾波后的信號(hào)axis(0.25,0.2

19、55,-0.5,0.5);ylabel(濾波后的信號(hào));xlabel(時(shí)間);運(yùn)行結(jié)果：圖3-1濾波器濾波性能測(cè)試波形從原始型號(hào)和濾波后的信號(hào)對(duì)比可以看出，在用設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行濾波后信號(hào)基本成單一頻率的正弦波，濾波結(jié)果令人滿意。 濾波器時(shí)延測(cè)量濾波器的時(shí)延特性也是濾波器的性能指標(biāo)之一，為了觀測(cè)所設(shè)計(jì)濾波器的時(shí)延，可以利用一個(gè)還有一單一沖擊的數(shù)字信號(hào)序列通過濾波器觀測(cè)濾波器的輸出波形，相對(duì)于濾波性能的測(cè)量只是在原始信號(hào)產(chǎn)生方法上有所不同，這里僅給出運(yùn)行結(jié)果：圖3-2濾波器時(shí)延性能測(cè)試波形從圖上看，濾波器仍然有一定的時(shí)延，這也是fir濾波器的缺點(diǎn)之一，并且時(shí)延與濾波器濾波性能相矛盾，濾波器的時(shí)延隨

20、濾波器階數(shù)的升高而增加，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)要綜合考慮兩方面的因素。 濾波器穩(wěn)定性測(cè)量FIR濾波器的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)便是它的穩(wěn)定性，從信號(hào)與系統(tǒng)的理論可知，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的Z域的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，F(xiàn)IR濾波器的傳遞函數(shù)的分母為1，即FIR濾波器一定是穩(wěn)定的，MATLAB中也提供了專門用于繪制零極點(diǎn)圖的函數(shù)：zplane()，通過該函數(shù)可以輕松繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，以凱澤窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器為例，繪制其零極點(diǎn)圖如下：圖3-3凱塞窗FIR濾波器零極點(diǎn)圖從該零極點(diǎn)圖可以看出，F(xiàn)IR設(shè)計(jì)的濾波器是屬于無極點(diǎn)的系統(tǒng)，因而系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。從上面對(duì)濾波器三方面的測(cè)試可以看出FIR濾波器的特點(diǎn)，第一個(gè)便

21、是其相位曲線，在通帶內(nèi)，相頻曲線一定為直線，二是FIR濾波器由于階數(shù)比較高，因而有一定的時(shí)延，三是FIR濾波器一定是穩(wěn)定的。 收獲及總結(jié)當(dāng)我們小組討論決定對(duì)MATLAB結(jié)合窗函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通FIR濾波器工程中涉及的幾個(gè)窗函數(shù)方法優(yōu)劣好壞用圖形形象的進(jìn)行比較的時(shí)候，我們小組認(rèn)為這還是還是很有難度的，因?yàn)槲覀冸m然做了實(shí)驗(yàn)但是對(duì)MATLAB中有關(guān)濾波器的設(shè)計(jì)知識(shí)了解還是比較少的，但正是這種有難度的題目才能提高我們的能力，我們小組決定這個(gè)探究課題后，從網(wǎng)上獲得了很多有關(guān)MATLAB設(shè)計(jì)濾波器的資料，加上我們對(duì)書本的翻閱，我們的設(shè)計(jì)思路漸漸明朗，經(jīng)過我們小組的協(xié)調(diào)合作，我們最終還是弄明白了FIR濾波器的工作原理，通過查閱網(wǎng)絡(luò)、書本等相關(guān)資料，我們明白了FIR濾波器設(shè)計(jì)相關(guān)的一些函數(shù)的使用方法，并了解了其中的優(yōu)劣，在設(shè)計(jì)過程中，我們小組三人通力合作，分工明確，體會(huì)到了小組合作的樂趣，不但學(xué)到了知識(shí)，而且加深了感情，這是難能可貴的，也感謝王老師這匠心獨(dú)運(yùn)的作業(yè)方式，讓我們受益匪淺。 信息08-1班 徐小龍 漢寧窗帶通濾波器設(shè)計(jì)源代碼：wp1=0.3*pi; ws1=0.45*pi;wp2=0.65