MATLAB設(shè)計數(shù)字帶通FIR濾波器幾種窗函數(shù)比較

1、中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院數(shù)字與信號處理探究學(xué)習(xí) 徐小龍 課題介紹通過平時所學(xué)、書本內(nèi)容和網(wǎng)絡(luò)上了解的知識，我們小組討論決定對MATLAB結(jié)合窗函數(shù)設(shè)計一個數(shù)字帶通FIR濾波器工程中涉及的幾個窗函數(shù)方法優(yōu)劣好壞用圖形形象的進(jìn)行比較，以MATLAB軟件為工具探討出一個失真小高效的設(shè)計方法。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR的實(shí)現(xiàn)是非遞歸的，總是穩(wěn)定的；更重要的是，F(xiàn)IR濾波器在滿足幅頻響應(yīng)要求的同時，可以獲得嚴(yán)格的線性相位特性。根據(jù)FIR濾波器的原理，提出了FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法，給出了在MATLAB

2、環(huán)境下，用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的過程和設(shè)計實(shí)例。通過利用不同的窗函數(shù)方法設(shè)計FIR濾波器，對所設(shè)計的濾波器進(jìn)行分析比較，得出各種方法設(shè)計的濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)及其不同的使用場合，從而可以在設(shè)計濾波器時能夠正確的選擇FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)的選取及設(shè)計方法。 數(shù)字濾波技術(shù) 數(shù)字濾波，就是通過一定的計算或判斷程序減少干擾在有用信號中的比重，所以故實(shí)質(zhì)上是一種程序?yàn)V波。與此對應(yīng)的就是模擬濾波，模擬濾波主要無源綠波（直接用電阻、電容、電感等不外接電源的元件組成的）與有源濾波（如運(yùn)算放大器等需要外接電源組成的），其目的是將信號中的噪音和干擾濾去或者將希望得到的頻率信號濾出為我所用。數(shù)字濾波的出現(xiàn)克服了模擬

3、濾波的很多不足，具有以下優(yōu)點(diǎn)：1是用程序?qū)崿F(xiàn)的，不需要增加硬設(shè)備，所以可靠性高，穩(wěn)定性好。2可以對頻率很低的信號實(shí)現(xiàn)濾波，克服了模擬濾波的缺陷。3可以根據(jù)信號的不同，采用不同的濾波方法或參數(shù)，具有靈活、方便、功能強(qiáng)的特點(diǎn)。本文主要對FIR濾波器加以介紹。FIR濾波器FIR濾波器是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中最基本的元件，它可以在保證任意幅頻特性的同時具有嚴(yán)格的線性相頻特性，同時其單位沖激響應(yīng)是有限的，沒有輸入到輸出的反饋，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。FIR濾波器具有以下主要優(yōu)點(diǎn)：1.FIR濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位；2.FIR濾波器永遠(yuǎn)穩(wěn)定；3.FIR濾波器設(shè)計方法一般是線性的；4.FIR濾波器在硬件上具有更高的運(yùn)行效

4、率；5.FIR濾波器啟動傳輸時間只需要有限時間。FIR濾波器的主要缺點(diǎn)有：1.FIR濾波器為達(dá)到同樣的性能要求需要比IIR濾波器高得多的階數(shù)；2.相應(yīng)的FIR濾波器的時延比同等性能的IIR濾波器高很多。FIR濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)主要有數(shù)字集成芯片，DSP芯片F(xiàn)IR濾波器，可編程FIR濾波器，后兩者的實(shí)際方法主要通過MATLAB軟件進(jìn)行設(shè)計，其設(shè)計方法多樣，形式靈活，能夠滿足各種要求，并且不受數(shù)字集成芯片規(guī)格的限制。FIR濾波器的設(shè)計方法中最常用的是窗函數(shù)法。 濾波器設(shè)計要求利用MATLAB仿真軟件系統(tǒng)結(jié)合窗函數(shù)法設(shè)計一個數(shù)字帶通FIR濾波器。要求：分別使用矩形窗、三角形窗、漢明窗、布萊克曼窗、凱澤

5、窗進(jìn)行設(shè)計，并輸出濾波器的頻率特性。然后進(jìn)行比較得出優(yōu)缺點(diǎn)。參數(shù)：采樣頻率為20kHz；通帶邊緣頻率：fp1=4.5kHz,fp2=6.5kHz;通帶峰值起伏：p40dB設(shè)計函數(shù)的選取MATLAB信號處理工具箱提供了基于加窗的線性相位FIR濾波器設(shè)計函數(shù)fir1和fir2，fir1函數(shù)的調(diào)用格式為：b=fir1(n,Wn)b=fir1(n,Wn,ftype)b=fir1(n,Wn,window)b=fir1(n,Wn,ftype,window)b=fir1(.,normalization)函數(shù)參數(shù)說明如下：1n表示濾波器的階數(shù)2ftype表示所設(shè)計濾波器的類型：3high表示高通濾波器4sto

6、p表示帶阻濾波器5DC-1表示多通帶濾波器，第一頻帶為通帶6DC-0表示多通帶濾波器，第一頻帶為阻帶；默認(rèn)時為低通或帶通濾波器；7window為窗函數(shù)，是長度為n+1的列向量，默認(rèn)時函數(shù)自動取Hamming窗。該函數(shù)實(shí)現(xiàn)加窗的線性相位FIR濾波器設(shè)計，可以設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)低通、帶通、高通和帶阻濾波器 窗函數(shù)構(gòu)造MATLAB工具箱已經(jīng)提供了各種窗函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)，因而窗函數(shù)的構(gòu)造十分方便，下面給出幾種常用窗函數(shù)的構(gòu)造方法：1矩形窗：利用w=boxcar(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。w=boxcar(n)等價于w=ones(1,n).2三

7、角窗：利用w=triang(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。w=triang(N-2)等價于bartlett(N)。3漢寧窗：利用w=hanning(n)得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個系數(shù)。4布拉克曼窗：利用w=blackman(n)得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個系數(shù)。它的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的3倍，為12*pi/N，但是它的最大旁瓣值比主瓣值低57dB。5凱塞窗：利用w=kaiser(n,beta)的形式得到窗函數(shù)。 窗函數(shù)

8、設(shè)計條件在使用窗函數(shù)設(shè)計濾波器時要滿足以下兩個條件：1 窗譜主瓣盡可能地窄，從而可以獲得較陡峭的過渡帶；2盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，及盡可能是能量集中于主瓣，減少峰肩和波紋，進(jìn)而增加阻帶的衰減。 窗函數(shù)設(shè)計條件實(shí)際工程常用的窗函數(shù)有五種，即矩形窗、三角窗、漢寧窗、海明窗和凱塞窗。這些窗函數(shù)之間的性能比較如下表所示。5種窗函數(shù)性能比較窗類型旁瓣峰值主瓣峰值最小阻帶衰減矩形窗13dB4/M21dB三角窗25dB8/M25dB漢寧窗31dB8/M44dB海明窗41dB8/M53dB凱塞窗57dB12/M74dB常用窗函數(shù)繪圖比較：在MATLAB中運(yùn)行以下代碼：代碼2-1：n=50;x=1:5

9、0;juxing=boxcar(n); %構(gòu)造矩形窗sanjiao=triang(n); %構(gòu)造三角窗hanming=hamming(n); %構(gòu)造漢寧窗bulaikeman=blackman(n); %構(gòu)造布萊克曼窗kaize=kaiser(n); %構(gòu)造凱塞窗plot(x,juxing,b.,x,sanjiao,gx,x,hanming,r+,x,bulaikeman,cd,x,kaize,k*);legend(矩形窗,三角窗,漢明窗,布萊克曼窗,凱塞窗); 運(yùn)行結(jié)果如圖2-1所示：圖2-15種窗函數(shù)繪圖比較設(shè)計步驟實(shí)際利用窗函數(shù)法進(jìn)行FIR濾波器設(shè)計時，依據(jù)所給的技術(shù)指標(biāo)一般需要經(jīng)過以下

10、幾個步驟進(jìn)行設(shè)計：1 給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejw)及技術(shù)指標(biāo)；2 求出理想的單位抽樣響應(yīng)hd(n);3 根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)w(n)4 根據(jù)過渡帶寬度確定N值;5 求出所設(shè)計的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)；6 計算頻率響應(yīng)，驗(yàn)算指標(biāo)是否滿足要求。 設(shè)計方法MATLAB作為一款優(yōu)秀的數(shù)值計算軟件，本身就內(nèi)置了豐富的函數(shù)，其中便有用于通信仿真的一系列函數(shù)，并且MATLAB中還集成了通信設(shè)計的工具箱，不管是內(nèi)置的函數(shù)，還是通信工具箱，均有專用于濾波器設(shè)計的工具，常用的主要有用函數(shù)法設(shè)計和用通信工具箱設(shè)計，下面分別予以介紹。 依據(jù)設(shè)計步驟編寫此種方法不依賴MATLAB中的濾波器設(shè)計函數(shù)，而是依

11、據(jù)FIR濾波器的設(shè)計步驟自己求解理想濾波器的沖擊響應(yīng)，然后用窗函數(shù)對沖擊響應(yīng)進(jìn)行截短，從而得到FIR濾波器，由于低通濾波器設(shè)計較為簡單，因而可以通過兩個低通的理想沖擊響應(yīng)函數(shù)相減得到理想帶通的沖擊響應(yīng)，再通過窗函數(shù)對其截短，從而得到實(shí)際可行的FIR濾波器，這里以用漢明窗進(jìn)行截短實(shí)現(xiàn)帶通FIR濾波器，關(guān)鍵代碼如下：完整代碼在后面代碼2-2：wp1=0.3*pi; ws1=0.45*pi;wp2=0.65*pi; ws2=0.75*pi;tr_width=ws1-wp1;%求過渡帶寬度M=ceil(6.6*pi/tr_width)+1;%求得所需窗函數(shù)的長度n=0:1:M-1;wc1=(ws1+w

12、p1)/2; wc2=(ws2+wp2)/2;%求截止頻率hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);%求得理想帶通的沖擊響應(yīng)w_ham=(hamming(M);%得到長度為M的漢寧窗h=hd .* w_ham;%利用窗函數(shù)截短程序運(yùn)行結(jié)果：圖2-2漢寧窗帶通濾波器利用MATLAB自帶函數(shù)設(shè)計利用原理說明介紹的fir1函數(shù)進(jìn)行設(shè)計，這種設(shè)計方法只需要給出濾波器的階數(shù)，截止頻率，窗函數(shù)等參數(shù)，MATLAB即可自行完成設(shè)計，并可通過freqz函數(shù)查看濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，已驗(yàn)證濾波器是否滿足設(shè)計要求，下面給出利用fir1函數(shù)設(shè)計的不同窗函數(shù)的數(shù)字帶通濾波器。1. 利

13、用矩形窗進(jìn)行設(shè)計代碼2-2：fs=20000; %設(shè)定采樣頻率fp1=4500;fp2=6500; %第一截止頻率fs1=3000;fs2=7500; %第二截止頻率As=40; %最小阻帶衰減Ws1=(fp1+fs1)/fs;Ws2=(fp2+fs2)/fs; %截止頻率歸一化處理w=(fp1-fs1)/fs; %求歸一化過渡帶M=ceil(As-7.95)/(14.36*w) %計算所需濾波器的階數(shù)juxing=boxcar(M+1); %生成長度為M+1的矩形窗boxb=fir1(M,Ws1,Ws2,juxing); %生成矩形窗設(shè)計的fir濾波器freqz(boxb,1,fs,fs);

14、 %繪制幅頻和相頻響應(yīng)曲線運(yùn)行結(jié)果：圖2-3矩形窗fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線從幅頻響應(yīng)上看，通帶基本無波紋，阻帶中波紋較大，因而阻帶較不理想，相頻響應(yīng)曲線在通帶內(nèi)為直線，效果較好，信號失真小。 2. 利用三角窗進(jìn)行設(shè)計利用三角窗進(jìn)行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用triang（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-4三角窗設(shè)計的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線3. 利用漢寧窗進(jìn)行設(shè)計利用漢寧窗進(jìn)行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用hamming（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-5漢寧窗設(shè)計的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線4. 利用布萊克曼窗

15、進(jìn)行設(shè)計利用布萊克曼窗進(jìn)行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用blackman（）函數(shù)生成三角窗，程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖2-6布萊克曼窗設(shè)計的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線5. 利用凱塞窗進(jìn)行設(shè)計利用凱塞窗進(jìn)行設(shè)計時，濾波器的參數(shù)可以用以下函數(shù)求得：調(diào)用函數(shù)n,wn,bta,ftype=kaiserord（f，a，dev，fs）參數(shù)：1）f為對應(yīng)的歸一化頻率2）a為由f指定的各個頻帶上的幅值向量，一般只有0和1，和f長度關(guān)系為（2*a的長度）2=（f的長度）3）devs用于指定各個頻帶輸出濾波器的頻率響應(yīng)與其期望幅值之間的最大輸出誤差或偏差，長度與a相等。4）fs為信號的采樣頻率

16、。利用該函數(shù)修改代碼得到凱塞窗設(shè)計fir濾波器的代碼如下：代碼2-3fs=20000; %設(shè)定采樣頻率fp1=4500;fp2=6500; %第一截止頻率fs1=3000;fs2=7500; %第二截止頻率n,wn,bta,ftype=kaiserord(fs1,fp1,fp2,fs2,. 0,1,0,0.01 0.1087 0.01,fs) %求濾波器參數(shù)b=fir1(n,wn,ftype,kaiser(n+1,bta); %生成fir濾波器freqz(b,1,fs,fs); %繪制幅頻和相頻響應(yīng)曲線程序運(yùn)行結(jié)果：圖2-7凱塞窗設(shè)計的fir濾波器幅頻和相頻響應(yīng)曲線利用MATLAB工具箱設(shè)計M

17、ATLAB信號處理工具箱中已集成了用于濾波器設(shè)計和分析的工具：FDATool，利用它可以實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的可視化設(shè)計與分析，操作簡單方便，在MATLAB命令行中輸入fdatool命令即可打開濾波器設(shè)計工具利用FDATool設(shè)計的凱塞窗fir濾波器幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如下：圖2-9 FDATool設(shè)計的凱塞窗fir濾波器幅頻響應(yīng)圖2-10 FDATool設(shè)計的凱塞窗fir濾波器相頻響應(yīng) 濾波器濾波性能測試由MATLAB模擬生成含有不同頻率的數(shù)字信號，然后利用設(shè)計的濾波器對數(shù)字信號進(jìn)行濾波，為方便觀察，模擬生成的信號只含有包含在阻帶的兩個頻率（2000Hz，8000Hz）一個包含于通帶的頻率（5000

18、Hz），測試代碼如下：代碼2-4：fs=20000;t=0:1/fs:2; x=sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*5000*t). +sin(2*pi*8000*t); %生成混合信號xo=filter(b,2,xn); %用濾波器對信號進(jìn)行濾波figure;nn=5000:5100; %取一段信號subplot(211);tt=nn/fs;plot(tt,x(nn); %繪制原始信號axis(0.25,0.255,-4,4);ylabel(原始信號);xlabel(時間);subplot(212);plot(tt,xo(nn); %繪制濾波后的信號axis(0.25,0.2

19、55,-0.5,0.5);ylabel(濾波后的信號);xlabel(時間);運(yùn)行結(jié)果：圖3-1濾波器濾波性能測試波形從原始型號和濾波后的信號對比可以看出，在用設(shè)計的濾波器進(jìn)行濾波后信號基本成單一頻率的正弦波，濾波結(jié)果令人滿意。 濾波器時延測量濾波器的時延特性也是濾波器的性能指標(biāo)之一，為了觀測所設(shè)計濾波器的時延，可以利用一個還有一單一沖擊的數(shù)字信號序列通過濾波器觀測濾波器的輸出波形，相對于濾波性能的測量只是在原始信號產(chǎn)生方法上有所不同，這里僅給出運(yùn)行結(jié)果：圖3-2濾波器時延性能測試波形從圖上看，濾波器仍然有一定的時延，這也是fir濾波器的缺點(diǎn)之一，并且時延與濾波器濾波性能相矛盾，濾波器的時延隨

20、濾波器階數(shù)的升高而增加，實(shí)際設(shè)計時要綜合考慮兩方面的因素。 濾波器穩(wěn)定性測量FIR濾波器的一個突出優(yōu)點(diǎn)便是它的穩(wěn)定性，從信號與系統(tǒng)的理論可知，當(dāng)一個系統(tǒng)的Z域的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，F(xiàn)IR濾波器的傳遞函數(shù)的分母為1，即FIR濾波器一定是穩(wěn)定的，MATLAB中也提供了專門用于繪制零極點(diǎn)圖的函數(shù)：zplane()，通過該函數(shù)可以輕松繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，以凱澤窗設(shè)計的FIR濾波器為例，繪制其零極點(diǎn)圖如下：圖3-3凱塞窗FIR濾波器零極點(diǎn)圖從該零極點(diǎn)圖可以看出，F(xiàn)IR設(shè)計的濾波器是屬于無極點(diǎn)的系統(tǒng)，因而系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。從上面對濾波器三方面的測試可以看出FIR濾波器的特點(diǎn)，第一個便

21、是其相位曲線，在通帶內(nèi)，相頻曲線一定為直線，二是FIR濾波器由于階數(shù)比較高，因而有一定的時延，三是FIR濾波器一定是穩(wěn)定的。 收獲及總結(jié)當(dāng)我們小組討論決定對MATLAB結(jié)合窗函數(shù)設(shè)計一個數(shù)字帶通FIR濾波器工程中涉及的幾個窗函數(shù)方法優(yōu)劣好壞用圖形形象的進(jìn)行比較的時候，我們小組認(rèn)為這還是還是很有難度的，因?yàn)槲覀冸m然做了實(shí)驗(yàn)但是對MATLAB中有關(guān)濾波器的設(shè)計知識了解還是比較少的，但正是這種有難度的題目才能提高我們的能力，我們小組決定這個探究課題后，從網(wǎng)上獲得了很多有關(guān)MATLAB設(shè)計濾波器的資料，加上我們對書本的翻閱，我們的設(shè)計思路漸漸明朗，經(jīng)過我們小組的協(xié)調(diào)合作，我們最終還是弄明白了FIR濾波器的工作原理，通過查閱網(wǎng)絡(luò)、書本等相關(guān)資料，我們明白了FIR濾波器設(shè)計相關(guān)的一些函數(shù)的使用方法，并了解了其中的優(yōu)劣，在設(shè)計過程中，我們小組三人通力合作，分工明確，體會到了小組合作的樂趣，不但學(xué)到了知識，而且加深了感情，這是難能可貴的，也感謝王老師這匠心獨(dú)運(yùn)的作業(yè)方式，讓我們受益匪淺。 信息08-1班 徐小龍 漢寧窗帶通濾波器設(shè)計源代碼：wp1=0.3*pi; ws1=0.45*pi;wp2=0.65