5-1剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1、第五章第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1 剛體的運動剛體的運動 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律5.1 剛體的運動剛體的運動 剛體：是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)。剛體：是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)。剛體最簡單的運動形式是剛體最簡單的運動形式是平動和定軸轉(zhuǎn)動平動和定軸轉(zhuǎn)動。 當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運直線，在運動

2、中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。動叫平動。 無論多大的外力作用其上，系無論多大的外力作用其上，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。不變。 即受力時形狀和體積不變化，即受力時形狀和體積不變化，是一種理想化的模型。是一種理想化的模型。1、剛體的平動、剛體的平動bcabcabcabcabcabcabca 剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所有剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質(zhì)點質(zhì)點的位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)

3、任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動。質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動。 剛體運動時，如果剛體中的各個質(zhì)點都繞同剛體運動時，如果剛體中的各個質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一一直線做圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。直線就叫做轉(zhuǎn)軸。 2、剛體的轉(zhuǎn)動、剛體的轉(zhuǎn)動 剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)剛體上各點都轉(zhuǎn)過相同的角度。且在相同時間內(nèi)剛體上各點都轉(zhuǎn)過相同的角度。 轉(zhuǎn)動的最簡單情況是定軸轉(zhuǎn)動。在此運動中，質(zhì)轉(zhuǎn)動的最簡單情況是定軸轉(zhuǎn)動。在此運動中，質(zhì)元都做圓周運動且各圓的圓心都在一條固定不

4、動的直元都做圓周運動且各圓的圓心都在一條固定不動的直線（轉(zhuǎn)軸）上。線（轉(zhuǎn)軸）上。2.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的一般運動都可認為是平動和定軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合。剛體的一般運動都可認為是平動和定軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合。zv1o1o2角位移角位移 角速度角速度 tt0lim用角量描述轉(zhuǎn)動會非常方便用角量描述轉(zhuǎn)動會非常方便剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動在在 t 時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動的角度。時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動的角度。角位置角位置 與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。角速度的方向：角速度的方向：角速度是矢量！角速度是矢量！m2v2m1xdtd3 勻變速轉(zhuǎn)動的運動學公式勻變速轉(zhuǎn)動的運動學公式 角加速度角加

5、速度 220limdtddtdtt 在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。方向沿轉(zhuǎn)軸方向。 角加速度也是矢量，方向與角速度增量的方向相角加速度也是矢量，方向與角速度增量的方向相同，在定軸轉(zhuǎn)動中，同，在定軸轉(zhuǎn)動中，與與同向或反向。同向或反向。定軸轉(zhuǎn)動時，定軸轉(zhuǎn)動時， 、退化為代數(shù)量。退化為代數(shù)量。 定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上任意點都繞同一軸作圓定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且周運動，且 ， 都相等。都相等。 剛體的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，為反映瞬剛體的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，為反映瞬時軸的方向及其變化情況，引入角速度矢量和角時軸的方向及其變化情況，引入角速度矢量和角

6、加速度矢量。加速度矢量。角速度矢量定軸定軸irv 2inra itrdtdvat 0 const.勻加速轉(zhuǎn)動：勻加速轉(zhuǎn)動：勻加速轉(zhuǎn)動的運動學公式勻加速轉(zhuǎn)動的運動學公式角加速度等于常量。角加速度等于常量。)(2020222100 )(tt剛體剛體zirvoir O X, Oimi例例1 1：一飛輪轉(zhuǎn)速：一飛輪轉(zhuǎn)速n n =1500=1500r r/min/min，受到制動后均勻地減，受到制動后均勻地減速，經(jīng)速，經(jīng)t t=50s=50s后靜止。后靜止。1 1、求角加速度和飛輪從制動開始到靜止轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；、求角加速度和飛輪從制動開始到靜止轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；2 2、求制動開始后、求制動開始后t t=25s=

7、25s時飛輪的角速度時飛輪的角速度；3 3、設飛輪半徑、設飛輪半徑r r=1=1m m，求在，求在t=25t=25s s時邊緣上一點的速度時邊緣上一點的速度 和加速度。和加速度。1 1、設初角速度為、設初角速度為 0 0，方向如圖方向如圖解：解： 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/srad/s，應用以角量表示的運動方程應用以角量表示的運動方程 = = 0+at而而t t=50s=50s時時, , =0=050500ta所以所以2/14. 3srad此過程是勻減速轉(zhuǎn)動此過程是勻減速轉(zhuǎn)動 0O0 2 2、t t=25=25s s 時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為t0

8、從開始制動到靜止飛輪的角位移從開始制動到靜止飛輪的角位移 為為rad12502502150502021att 212502N轉(zhuǎn)625則轉(zhuǎn)速：則轉(zhuǎn)速：srad /5 .782550 的方向與的方向與 0 0相同相同的方向與的方向與 0 0相反。相反。 0O3 3、t t=25s =25s 時飛輪邊緣上一點時飛輪邊緣上一點A A的速度。的速度。ratsm /5 .78rvran22/14.3sm23/1016.6sm23/1016.6sm22ntaaa 0OrvnataaAA A點的加速度：點的加速度：例：例： 一飛輪在時間一飛輪在時間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 at+btat+bt3 3-ct-

9、ct4 4 , ,式中式中a a、b b、c c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。 為為飛輪上某點的角位置飛輪上某點的角位置)(43ctbtatdtddtda飛輪做的是變速轉(zhuǎn)動。飛輪做的是變速轉(zhuǎn)動。解：解：3243ctbta2126ctbt )43(32ctbtadtd質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理i j由角動量定理，對每一個質(zhì)點有由角動量定理，對每一個質(zhì)點有 jiijiiifFrM)(兩質(zhì)點的內(nèi)力矩兩質(zhì)點的內(nèi)力矩jijijifrfrdtdLiMi和和Li都是對同一固定點都是對同一固定點O的。的。ijjifrr)(0jiijiiifrFrOirjrijfjifiF i

10、pdtLdMiijjiifr則所有質(zhì)點的內(nèi)力矩的矢量和則所有質(zhì)點的內(nèi)力矩的矢量和0對質(zhì)點系的所有質(zhì)點求和：對質(zhì)點系的所有質(zhì)點求和：iiiiFrMdtLdii即：即： 質(zhì)點系所受的合外力矩等于該質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系所受的合外力矩等于該質(zhì)點系的角動量對時間的變化率。對時間的變化率。質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理 內(nèi)力矩會影響系統(tǒng)某質(zhì)點的角動量，但對系統(tǒng)內(nèi)力矩會影響系統(tǒng)某質(zhì)點的角動量，但對系統(tǒng)的總角動量無影響。無外力矩時，質(zhì)點系總角動量的總角動量無影響。無外力矩時，質(zhì)點系總角動量守恒守恒質(zhì)點系的角動量沿坐標系各軸的分量為質(zhì)點系的角動量沿坐標系各軸的分量為dtdLMxxdtdLMyydtdLMz

11、zZ力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)方向垂直于方向垂直于z z軸，軸，:1Fr)(21FFr21FrFr5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 對對O O 點的力矩：點的力矩：FFrM轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平面平面1、力矩、力矩此力矩只能引起軸的變形此力矩只能引起軸的變形, , 對轉(zhuǎn)動無貢獻對轉(zhuǎn)動無貢獻。FrO:2Fr方向沿方向沿z z軸，軸，MZM1F2FA即力矩沿即力矩沿Z Z軸的分量軸的分量M MZ Z，也稱為力也稱為力F F對對Z Z軸的力矩。軸的力矩。此力矩使剛體繞此力矩使剛體繞z軸在如圖所示平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。軸在如圖所示平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。sin2rFMZ 垂直于轉(zhuǎn)動平面的分力對垂直于轉(zhuǎn)動平面的分力對轉(zhuǎn)

12、軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。中不予考慮。 在定軸轉(zhuǎn)動問題中，如不加在定軸轉(zhuǎn)動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。rF22 、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 剛體類似于多質(zhì)點系。剛體類似于多質(zhì)點系。研究剛體時也可以將剛體分為許多小的質(zhì)量元。研究剛體時也可以將剛體分為許多小的質(zhì)量元。表示為：表示為：Z轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平面平面FrOMZM1F2FArizrmi所受外力所受外力Fi對定點對定點o的力矩為的力矩為iiiFrM0ioiFriziiiFrFr00:0iziFr方向垂直于方向

13、垂直于z z軸，軸，對轉(zhuǎn)動無貢獻對轉(zhuǎn)動無貢獻。iiziiFrFr:iizFr方向也垂直于方向也垂直于z z軸。軸。因此因此mi所受外力對轉(zhuǎn)軸所受外力對轉(zhuǎn)軸z的力矩為的力矩為iiiFrsin剛體剛體定軸定軸, ,zoi OiriFiviFizFiroiriiFriim對轉(zhuǎn)動也無貢獻對轉(zhuǎn)動也無貢獻。iiizFrMizzMMioiivrm剛體剛體定軸定軸 Oimoirivizroiz, ,ir剛體所受合外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為：剛體所受合外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為：mi對定點對定點o的角動量為的角動量為iioiivmrLmi對對O點的角動量在點的角動量在z軸的分量為軸的分量為siniizLL sinioi

14、ivrmioirrsiniirv 2iiizrmLiLizLiiiFrsindtdLMzz)(2iiizzrmLL剛體的總角動量沿剛體的總角動量沿z軸的分量軸的分量由角動量定理由角動量定理)(2iirmdtdiiizrmJ2令dtdJMzzJ即：即：tJMdd剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律稱為剛體對稱為剛體對z z 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。 剛體對某一固定軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)剛體對某一固定軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下獲得的角軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下獲得的角加速度的乘積。加速度的乘積。 J J和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸其轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個物體