函數(shù)極限存在條件

1、 在這一節(jié)中, 我們?nèi)砸?為代0lim( )xxf x一、歸結(jié)原則3 函數(shù)極限存在的條件三、柯西收斂準(zhǔn)則二、單調(diào)有界定理他類(lèi)型的極限,也有類(lèi)似的結(jié)論.表, 介紹函數(shù)極限存在的條件. 對(duì)于其一、歸結(jié)原則的充要條件是的充要條件是: 對(duì)于在對(duì)于在內(nèi)內(nèi)),(0 xU以以 x0 為極限的為極限的, nx任何數(shù)列任何數(shù)列)(limnnxf 極限極限都存在都存在, 并且相等并且相等.證證 (必要性必要性) 設(shè)設(shè),)(lim0Axfxx 則對(duì)任給則對(duì)任給存存, 0 ,0 在在有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),|00 xx定理定理 3.8.),(0有定義有定義在在設(shè)設(shè) xUf存在存在)(lim0 xfxx.|)(| Axf nx設(shè)

2、設(shè), ),(00 xxxUn 那么對(duì)上述那么對(duì)上述 存在存在, 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),NnN ,|00 xxn所以所以.|)(| Axfn這就證明了這就證明了.)(limAxfnn (充分性充分性)（下面的證法很有典型性，大家必須學(xué)（下面的證法很有典型性，大家必須學(xué)恒有恒有.)(limAxfnn 0)(xxxf在在若若時(shí)時(shí), 不以不以 A 為極限為極限, 則存在正數(shù)則存在正數(shù)設(shè)任給設(shè)任給),(0 xUxn ,0 xxn會(huì)這種方法會(huì)這種方法. .）.|)(|0 Axf現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取,2,21nn 存在相應(yīng)的存在相應(yīng)的),(,21nnnxUxxxx 使得使得., 2, 1,|)(|0 nAxfn 對(duì)于任

3、意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù)),(,0 xUx 存在存在使得使得,0 另一方面另一方面,|00nxxnn 所以所以.lim0 xxnn 這與這與Axfnn )(lim矛盾矛盾.注注 歸結(jié)原則有一個(gè)重要應(yīng)用：歸結(jié)原則有一個(gè)重要應(yīng)用：若存在若存在,),(,000 xyxxxUyxnnnn 但是但是),(lim)(limnnnnyfBAxf)(lim0 xfxx則則不存在不存在.例例1xxxxcoslim,1sinlim0 證明證明都不存在都不存在.解解110,0 ,2 2 2nnxynn 取取有有,1sinlim101sinlimnnnnyx 故故xx1sinlim0不存在不存在.2 ,2 ,2nnxnyn

4、 同理可取有同理可取有,coslim01coslimnnnnyx 故故xxcoslim 不存在不存在.密集的等幅振蕩密集的等幅振蕩, 當(dāng)然不會(huì)趨于一個(gè)固定的值當(dāng)然不會(huì)趨于一個(gè)固定的值. 為為了讓讀者更好地掌握其他五類(lèi)極限的歸結(jié)原了讓讀者更好地掌握其他五類(lèi)極限的歸結(jié)原則則, ,我我們寫(xiě)出們寫(xiě)出 時(shí)的歸結(jié)原則如下：時(shí)的歸結(jié)原則如下： 0 xx-1-0.50.511-1xyxy1sin 的圖象在的圖象在 x = 0 附近作無(wú)比附近作無(wú)比從幾何上看，從幾何上看，義義, 則則定理定理 3.90)(xxf在在設(shè)設(shè)的某空心右鄰域的某空心右鄰域)(0 xU 有定有定作為一個(gè)例題作為一個(gè)例題, 下面給出定理下面

5、給出定理 3.9 的另一種形式的另一種形式.義義.Axfxx )(lim0那么那么的充要條件是任給嚴(yán)格遞減的充要條件是任給嚴(yán)格遞減,),(000 xxxUxnn 的的.)(limAxfnn必有必有例例 20)(xxf在在設(shè)設(shè)的某空心右鄰域的某空心右鄰域),(0 xU 上有定上有定Axfxx )(lim000(),lim().nnnnxUxxxf xA 任給任給必有必有證證必要性應(yīng)該是顯然的必要性應(yīng)該是顯然的. 下面我們證明充分性下面我們證明充分性.,0時(shí)時(shí)假若假若 xxf(x) 不以不以 A 為極限為極限. 則存在正數(shù)則存在正數(shù);|)(| ,0,0110111 Axfxxx取取,2min012

6、xx ;|)(| ,0,022022 Axfxxx,min01xxnnn , ),(0 xUx 存在存在.|)(|0 Axf使使,0 ,0 這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列),(0 xUxn ,|)(|,00 Axfxxnn但但這與條件矛盾這與條件矛盾.;|)(| ,0,00 Axfxxxnnnn二、單調(diào)有界定理定理定理 3.10 設(shè)設(shè) f 為定義在為定義在)(0 xU 上的單調(diào)有界函數(shù)上的單調(diào)有界函數(shù), 則右極限則右極限.)(lim0存在存在xfxx （相信讀者也能夠?qū)懗鲫P(guān)于（相信讀者也能夠?qū)懗鲫P(guān)于, )(lim, )(lim0 xfxfxxx 證證不妨設(shè)不妨設(shè) f

7、在在.)(0遞減遞減xU 因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 有界有界, 故故使使),(0*xUx 的單調(diào)有界定理的單調(diào)有界定理 .）)(limxfx )(sup)(0 xfxUx 存在存在, 設(shè)為設(shè)為A .由確界定義由確界定義, 對(duì)于對(duì)于, 0 .)(*AxfA ,0,00*時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)令令 xxxx由由 f (x) 的遞減性的遞減性,.)()(* AAxfxfA這就證明了這就證明了.)(lim0Axfxx對(duì)于單調(diào)函數(shù)對(duì)于單調(diào)函數(shù), 歸結(jié)原則的條件就要簡(jiǎn)單得多歸結(jié)原則的條件就要簡(jiǎn)單得多.例例3)(lim),()(00 xfxUxfxx 則則上單調(diào)，上單調(diào)，在在設(shè)設(shè) 存在的充要條件是存在一個(gè)數(shù)列存在的充要條件是

8、存在一個(gè)數(shù)列, )(0,0 xxxUxnn .)(lim存在存在使使nnxf 證證 必要性可直接由歸結(jié)原則得出必要性可直接由歸結(jié)原則得出, 下面證明充分下面證明充分, )(0, 0 xxxUxnn 設(shè)設(shè).)(limAxfnn.)( AxfAn對(duì)于任意對(duì)于任意),(00 xxxUxN ).()(xfxfAN , 0N 故故當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有Nn 假設(shè)假設(shè))(xf遞減遞減性性. . ,0 xxxn 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?,(1NN所以所以,1xxN 使使因此因此從而從而.)()(1 AxfxfN.)( AxfA.)(lim0Axfxx 即即)(xfy xNx1Nxx0 xOy A AA三、柯西收斂準(zhǔn)則 的

9、柯西收斂準(zhǔn)則的柯西收斂準(zhǔn)則, 請(qǐng)讀者自請(qǐng)讀者自這里這里 僅給出僅給出)(limxfx有定義有定義, 則極限則極限)(limxfx存在的充要條件是存在的充要條件是: 任任),(, 0MX 存在存在給給 均有均有對(duì)于任意對(duì)于任意,21Xxx .| )()(|21 xfxf定理定理3.11 設(shè)設(shè) f (x) 在在 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域|Mxx 上上明之明之. .行寫(xiě)出其他五種極限類(lèi)型的柯西收斂準(zhǔn)則，并證行寫(xiě)出其他五種極限類(lèi)型的柯西收斂準(zhǔn)則，并證),(MX 存在存在對(duì)一切對(duì)一切 x X，.2|)(| Axf有有所以對(duì)一切所以對(duì)一切,21Xxx 1212|()()|()|()|.f xf xf xAf

10、xA 證（必要性）證（必要性）,)(limAxfx 設(shè)設(shè)則對(duì)于任意則對(duì)于任意,0 ( (充分性充分性) ) 對(duì)一切對(duì)一切，存在，存在對(duì)任意的對(duì)任意的,0MX 有有,21Xxx .21 xfxf，則存在，則存在任取任取Nxxnn,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn .)()( mnxfxf ., 因因此此收收斂斂是是柯柯西西列列這這就就是是說(shuō)說(shuō)nxf使使若存在若存在, ,nnnnyxyx.)(發(fā)發(fā)散散，矛矛盾盾但但nzf,)(,)(ABByfAxfnn 1122,nnnzxyxyxy則則令令為為，. nz顯然顯然故故,Mxxmn ,.時(shí)時(shí)又當(dāng)又當(dāng)NmnXxn 這樣就證明了對(duì)于任意的這樣就證明了對(duì)于任意的,nnxx)(limnnxf 存在且相等存在且相等. .由歸結(jié)原則由歸結(jié)原則, ,)(limxfx存在存在. .雖然雖