離散型隨機變量的均值與方差的應用

1、一、離散型隨機變量的均值和方差的概念一、離散型隨機變量的均值和方差的概念X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n若離散型隨機變量若離散型隨機變量X的分布列為的分布列為(1)(1)均值均值 稱稱E E( (X X)=_ )=_ 為為隨機變量隨機變量X X的均值或的均值或_._.它反映了離散型隨機變量取值的它反映了離散型隨機變量取值的_._. x x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n數學期望數學期望平均水平平均水平平均偏離程度平均偏離程度()D X算數平方根其中

2、其中_為隨機變量為隨機變量X的標準差的標準差.(2)方差方差稱稱D(X)=_ 為隨機變量為隨機變量X的方差的方差,它刻畫了隨機變量它刻畫了隨機變量X與其均值與其均值E(X)的的_注：注：方差是反映離散型隨機變量偏離于均值的平方差是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它的值越小，則隨機變量偏離于均均程度的量，它的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。值的平均程度越小，即越集中于均值。nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()(XD X為 標 準 差記作：記作：二、離散型隨機變量的性質：二、離散型隨機變量的性質： (1) (1)E E( (aXaX+ +b

3、b)=_.)=_. (2) (2)D D( (aXaX+ +b b)=_.()=_.(a a, ,b b為常數為常數) )aEaE( (X X)+)+b ba a2 2D D( (X X) )p(1)pp(1)nppnp (1)若若X服從兩點分布服從兩點分布,則則E(X)=_ ,D(X)=_. (2)若若XB(n,p),則則E(X)=_,D(X)=_. 2.2.兩點分布與二項分布的均值與方差兩點分布與二項分布的均值與方差1.1.線性性質：線性性質：2.2.有一批產品有一批產品, ,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品, ,從中有放從中有放 回地任取回地任取3 3件件, ,若若

4、X X表示取到次品的次數表示取到次品的次數, ,則則D D( (X X)=)= _. _.1691173.3.設隨機變量設隨機變量 則則 ( ) A. A.n n=8,=8,p p=0.2 B.=0.2 B.n n=4,=4,p p=0.4=0.4 C. C.n n=5,=5,p p=0.32 D.=0.32 D.n n=7,=7,p p=0.45=0.45,28. 1)(, 6 . 1)(),(DEpnB且A h h h hDD則則，且，且、已、已知知,138131例例1 1：從從4 4名男生和名男生和2 2名女生中任選名女生中任選3 3人參加演講比人參加演講比賽賽, ,設隨機變量設隨機變量

5、X X表示所選表示所選3 3人中女生的人數人中女生的人數. .(1)(1)求求X X的分布列的分布列; ;(2)(2)求求X X的數學期望和方差的數學期望和方差; ;解析(1)X的分布列為：的分布列為：X012P515153(2)由由(1)，X 的均值為的均值為E(X)=1 X的方差為的方差為D(X)=52 練習：練習：某運動員投籃的命中率為某運動員投籃的命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時命中次數求一次投籃時命中次數的均值與方差的均值與方差; (2)求重復求重復5次投籃時次投籃時,命中次數命中次數的均值與方差的均值與方差.解析：解析：(1)投籃一次，命中次數投籃一次，命中次數的分布列為：

6、的分布列為：01P0.40.6 故故E=p=0.6,D=p(1-p)=0.60.4=0.24. 練習：練習：某運動員投籃的命中率為某運動員投籃的命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時命中次數求一次投籃時命中次數的均值的均值;方差方差; (2)求重復求重復5次投籃時次投籃時,命中次數命中次數的均值與方差的均值與方差.故故E=np=50.6=3.D=np(1-p)=50.60.4=1.2.解析：解析：(2)(2)重復重復5 5次投籃，命中次數次投籃，命中次數服從服從二項分布二項分布 即即B B(5,0.6)(5,0.6)例例2: 設隨機變量設隨機變量具有分布列具有分布列P P( (= =k k)

7、= )= k k=1,2,3,=1,2,3, 4,5, 4,5, 求求E E(2(2+5),+5),D D(2(2-1),-1), ,51. 3515515514513512511)(E解析：解析：. ) 1( DE(2+5)=2E()+5=11. 是隨機變量是隨機變量, ,則則= =a a+b +b 仍是隨機仍是隨機 變量變量, ,在求在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質的性質, ,可以避免再求可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算的分布列帶來的繁瑣運算. . .)()()()()()()(24101451513551345133513251312222

8、2 D. 2)() 1(DD點評：點評： D(2-1)=4D()=8,練習：練習： 甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數所得環(huán)數X1， X2分布列如下：分布列如下：用擊中環(huán)數的期望與方差分析比較兩名射手的用擊中環(huán)數的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。射擊水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4問題：問題：如果其他對手的射擊成績都在如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，環(huán)左右，應派哪一名選手參賽好？應派哪一名選手參賽好？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4這表明甲、乙射擊的平均水平沒有差別，在多次射擊

9、這表明甲、乙射擊的平均水平沒有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲射手發(fā)揮比較穩(wěn)定，中平均得分差別不會很大，但甲射手發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數得分在多數得分在9環(huán)，而乙射手得分相對比較分散。環(huán)，而乙射手得分相對比較分散。解：解：9, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX答：派甲射手去參加比賽較好。答：派甲射手去參加比賽較好。1.求離散型隨機變量求離散型隨機變量X的均值、方差的方法與步驟：的均值、方差的方法與步驟：(1)找出隨機變量找出隨機變量X的可能取值；的可能取值； 寫出隨機變量寫出隨機變量X的分布列；的分布列；(2)由期望、方差的定義求由期望、方差的定義求E(X)，D(X

10、)；特別地，若隨機變量滿足線性性質或服從兩點分布、二項特別地，若隨機變量滿足線性性質或服從兩點分布、二項分布，可根據公式直接計算分布，可根據公式直接計算E(X)和和D(X)2. 均值與方差在實際生產、生活中的作用：均值與方差在實際生產、生活中的作用：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中于離散程度。在離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中于離散程度。在實際應用中先運算均值，看一下誰的平均水平高，如果均實際應用中先運算均值，看一下誰的平均水平高，如果均值相同，則計算方差來分析最后的選取由實際情況而定。

11、值相同，則計算方差來分析最后的選取由實際情況而定。思考題：思考題：規(guī)律方法規(guī)律方法 求離散型隨機變量求離散型隨機變量X的均值、方差的均值、方差的方法與步驟：的方法與步驟：(1)理解理解X的意義，寫出的意義，寫出X的可能取值；的可能取值；(2)求求X取每一個值的概率；取每一個值的概率；(3)寫出隨機變量寫出隨機變量X的分布列；的分布列；(4)由期望、方差的定義求由期望、方差的定義求E(X)，D(X)特別地，若隨機變量服從兩點分布或二項分布，特別地，若隨機變量服從兩點分布或二項分布，可根據公式直接計算可根據公式直接計算E(X)和和D(X) 從做對題數的數學期望考察，兩人水平相當；從從做對題數的數學

12、期望考察，兩人水平相當；從方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成2題的概率考察，題的概率考察，甲通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作甲通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作能力較強能力較強題型三題型三 均值與方差的實際應用均值與方差的實際應用 【例例3 3】 (12分）分）(2008(2008廣東理廣東理,17),17)隨機抽取某廠的隨機抽取某廠的某種產某種產 品品200200件，經質檢，其中有一等品件，經質檢，其中有一等品126126件、二件、二等品等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件件. .已知生產已知生產1 1件一、件一、二、三等品獲得的利潤分

13、別為二、三等品獲得的利潤分別為6 6萬元、萬元、2 2萬元、萬元、1 1萬元萬元, ,而而1 1件次品虧損件次品虧損2 2萬元萬元. .設設1 1件產品的利潤件產品的利潤( (單位單位: :萬元萬元) )為為. . (1) (1)求求的分布列；的分布列； (2)(2)求求1 1件產品的平均利潤件產品的平均利潤( (即即的數學期望的數學期望) )； (3)(3)經技術革新后經技術革新后, ,仍有四個等級的產品仍有四個等級的產品, ,但次品率降但次品率降 為為1%,1%,一等品率提高為一等品率提高為70%.70%.如果此時要求如果此時要求1 1件產品的件產品的 平均利潤不小于平均利潤不小于4.73

14、4.73萬元萬元, ,則三等品率最多是多少？則三等品率最多是多少？思維啟迪思維啟迪 確定隨機變量確定隨機變量寫出隨機變量的分布列寫出隨機變量的分布列計算數學期望計算數學期望列不等式求解列不等式求解. .解解 (1)(1)的所有可能取值有的所有可能取值有6,2,1,-2.6,2,1,-2.故故的分布列為的分布列為(2)(2)E E( ()=6)=60.63+20.63+20.25+10.25+10.1+(-2)0.1+(-2)0.020.02=4.34(=4.34(萬元萬元). ). .02. 02004)2(, 1 . 020020) 1(,25. 020050)2(,63. 0200126)

15、6(PPPP6 62 21 1-2-2P P0.630.630.250.250.10.10.020.02(3)(3)設技術革新后的三等品率為設技術革新后的三等品率為x x，則此時，則此時1 1件產品的件產品的 平均利潤為平均利潤為E E( ()=6)=60.7+20.7+2(1-0.7-0.01-(1-0.7-0.01-x x)+)+x x+ +(-2)(-2)0.01=4.76-0.01=4.76-x x(0(0 x x0.29),0.29),依題意依題意, ,知知E E( ()4.73,)4.73,即即4.76-4.76-x x4.73,4.73,解得解得x x0.03.0.03.所以三等

16、品率最多為所以三等品率最多為3%.3%. 解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變 量取每一個值所表示的具體事件量取每一個值所表示的具體事件, ,求得該事件發(fā)生的求得該事件發(fā)生的概率概率, ,本題第本題第(3)(3)問充分利用了分布列的性質問充分利用了分布列的性質p p1 1+ +p p2 2+ +p pi i+=1. +=1. 探究提高探究提高 1.1.期望與方差的常用性質期望與方差的常用性質. .掌握下述有關性質，會給掌握下述有關性質，會給 解題帶來方便解題帶來方便: : (1) (1)E E( (a a+ +b b)=)=aEaE( ()+)+b b; ; E

17、 E( (+ +)=)=E E( ()+)+E E( ();); D D( (a a+ +b b)=)=a a2 2D D( ();); (2) (2)若若BB( (n n, ,p p),),則則E E( ()=)=npnp, ,D D( ()=)=npnp(1-(1-p p).).方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.基本方法基本方法 (1)(1)已知隨機變量的分布列求它的期望、方差和標準已知隨機變量的分布列求它的期望、方差和標準 差差, ,可直接按定義可直接按定義( (公式公式) )求解；求解； (2)(2)已知隨機變量已知隨機變量的期望的期望 、方差、方差, ,求

18、求的線性函數的線性函數= =a a+ +b b的期望、方差和標準差，可直接用的期望、方差和標準差，可直接用的期的期 望、方差的性質求解；望、方差的性質求解； (3)(3)如能分析所給隨機變量，是服從常用的分布如能分析所給隨機變量，是服從常用的分布( (如如 兩點分布、二項分布等兩點分布、二項分布等),),可直接利用它們的期望、可直接利用它們的期望、 方差公式求解方差公式求解. . 1.1.在沒有準確判斷概率分布模型之前不能亂套公式在沒有準確判斷概率分布模型之前不能亂套公式. .2.2.對于應用問題對于應用問題, ,必須對實際問題進行具體分析必須對實際問題進行具體分析, ,一般一般 要將問題中的

19、隨機變量設出來要將問題中的隨機變量設出來, ,再進行分析再進行分析, ,求出隨求出隨 機變量的概率分布機變量的概率分布, ,然后按定義計算出隨機變量的期然后按定義計算出隨機變量的期 望、方差或標準差望、方差或標準差. . 失誤與防范失誤與防范問題問題1：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？問題問題2：如果其他對手的射擊成績都在：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？應派哪一名選手參賽？問題問題3：如果其他對手的射擊成績都在：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？應派哪一名選手參賽？X18910P0.20.60

20、.2X28910P0.40.20.49, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX練習：練習： (2008(2008湖北理，湖北理，17)17)袋中有袋中有2020個大小相個大小相 同的球同的球, ,其中記上其中記上0 0號的有號的有1010個個, ,記上記上n n號的有號的有n n個個 ( (n n=1,2,3,4).=1,2,3,4).現從袋中任取一球現從袋中任取一球, ,表示所取球的標表示所取球的標號號. (1) (1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差； (2)(2)若若= =a a+ +b b, ,E E( ()=1,)=1,D D( ()=11,)=11,

21、試求試求a a, ,b b的值的值. . 解：解： (1)(1)的分布列為的分布列為 0 01 12 23 34 4P P2120110120351(2)(2)由由D D( ()=)=a a2 2D D( (),),得得a a2 22.75=11,2.75=11,即即a a= =2.2.又又E E( ()=)=aEaE( ()+)+b b, ,所以當所以當a a=2=2時時, ,由由1=21=21.5+1.5+b b, ,得得b b=-2.=-2. 當當a a=-2=-2時時, ,由由1=-21=-21.5+1.5+b b, ,得得b b=4. =4. .75. 251)5 . 14(203)

22、5 . 13(101)5 . 12(201)5 . 11 (21)5 . 10()(. 5 . 1514203310122011210)(22222DE. 4, 2, 2, 2即為所求或baba1.1.若隨機變量若隨機變量X X的分布列如表的分布列如表, ,則則E(X)E(X)等于等于 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由分布列的性質由分布列的性質, , 可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+ +x x=1, =1, E E( (X X)=0)=02 2x x+1+13 3x x+2+27 7x x+3+32 2x

23、 x+4+43 3x x+5+5x x =40 =40 x x= =X X0 01 12 23 34 45 5P P2 2x x3 3x x7 7x x2 2x x3 3x xx 181x.920C5.5.已知某一隨機變量已知某一隨機變量 的概率分布列如下的概率分布列如下, ,且且 =6.3,=6.3,則則a a的值為的值為 ( ) ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A.5 B.6 C.7 D.8 解析解析 由分布列性質知：由分布列性質知：0.5+0.1+0.5+0.1+b b=1,=1,b b=0.4.=0.4. =4 =40.5+0.5+a a0.1+90.

24、1+90.4=6.3.0.4=6.3.a a=7. =7. )( E)(E4 4a a9 9P P0.50.50.10.1b bC3.3.設隨機變量的分布列如表所示且設隨機變量的分布列如表所示且E E( () )=1.6,=1.6,則則a a- -b b 等于等于 ( ) ( ) A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析解析 由由0.1+0.1+a a+ +b b+0.1=1,+0.1=1,得得a a+ +b b=0.8 =0.8 又由又由E E( ()=0)=00.1+10.1+1a a+2+2b b+3+30.1=1.6,0.1=1.6, 得得a a+2+2b b=1.3 =1.3 由由, ,解得解得a a=0.3,=0.3,b b=0.5,=0.5,a a- -b b=-0.2. =-0.2. 0 01 12 23 3P P0.10.1a ab b0.10.1C4.4.已知隨機變量已知隨機變量+ +=8,=8,若若BB(10,0.6),(10,0.6),則則E E( (), ), D D( () )分別是分別是 ( ) ( ) A.6 A.6和和2.4 B.22.4 B.2和和2.42