MM定理證明過(guò)程-MM定理證明過(guò)程

1、1無(wú)稅收條件下的MM定理11 假設(shè)條件假設(shè)I：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)J不考慮稅收：J公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用；/無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在：/不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)：/產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的：市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的：不存在自然 壟斷、外部性、信息不對(duì)稱、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況：不存在帕累托改善：等等：/資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)： /投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任盤(pán)數(shù)量的資金。假設(shè)2： 致預(yù)期假設(shè)/所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)

2、其進(jìn)行完 全理性的前瞻性分析，因此人家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率 和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。1.2 MM定理第一命題及其推論MM定理第一命題：有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資 本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相 同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法?；A(chǔ)假定：我們假定有兩家公司一公司A和公司B.它們的資產(chǎn)性質(zhì)完

3、全和同但資本結(jié)構(gòu)完 全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是-種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）：B公司的負(fù)債 額度是D,假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債 券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱下導(dǎo)致的終生借債 消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：/B公司當(dāng)前債務(wù)利率為，（固定值）：J X、B兩公司當(dāng)前的股本分別是S.4和（固定值）：/A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是和和必（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的偵期收益率）；/A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT ）相同，數(shù)額都為EBIT （

4、隨機(jī)變雖，每年 的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）：J X、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB （固定值）：J X、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全致，分別為MPA和MPB （固定值）：/A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作S&和SEB （固定值）。注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司X前價(jià)值?？紤]個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%，的股票：同時(shí)買(mǎi)入B公司1%，的股票和1%的債券 （上述比例可任意假定，但必須均為同值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年 的現(xiàn)金流見(jiàn)農(nóng)1。衣1上述套利策略的現(xiàn)金流頭寸即時(shí)現(xiàn)金流未來(lái)每年現(xiàn)金流賣(mài)出1%A股票0.01* PV-0.0PEBIT買(mǎi)入1%B股票-

5、0.01*0.01*(EBIT-D* )買(mǎi)入1%B債券-0.01*D-0.01* D*r凈現(xiàn)金流NC0首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬而的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有PVA = SEA- PVB =D+SEH其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：MPA = PVA / 5.i； MPB = （ PVB -D） /SQ再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=O，也就是0.01 *PV -0.01 *S-0.01 *D =0MPH = （ PVA-D ） /S由推得：PVA= PVB，命題證畢。MM定理第一命題推論一：債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。證明：假設(shè)B

6、公司的債務(wù)權(quán)益比為 ,則:(EBIT -/?*)/ SdWEBIT R*DkD/SE1 +k =(SE +D)/SE =PV ISE =PV ISE =5 IS 將代入得：MPA =PVA/SA =PVB1(S認(rèn)1 +)=(D+SE/?)/(S( 1 +Q)=SQ( 1 +k)/(SB( 1 +k)=MPn 證畢。MM定理第一命題推論二：股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況 下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于 B公司的股票的預(yù)期收益率。證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率(RDA)和股東權(quán)益比率(REA)分別為：RDA =D/PV = D/(D

7、+SE )=/( 1 +k)REA = SE/PV=SE/(D+SE) =1/(1+/:)由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率心和彷分別滿足:EBIT IS EBITMPA=(1+燈同時(shí)EBITr*PV，因?yàn)檫@衣示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付 利息，也就是說(shuō)股票的收益率人于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益和匹配的結(jié)果導(dǎo)致這 個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出:EBIT FDEBDEBIT EBIT EBIT-畢。啞心唧烏即MM定理笫一命題推論三：股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿

8、的上升而上升。含義：正常情 況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分 別為：(EBIT - /?*D)將代入的第二式得:(EBIT -/?*D) (1 +k)(EBIT -/?*)k * EBIT -(1 +kR*DEB= = = EA+叨SASA由于EBIT盧PW，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：k * EBIT-(1 +k)*R*D=(l +k)(EBIT-RD) =(1 +)*(-r) 0PVB由得：EREA ,證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn) 實(shí)過(guò)程。1.3 MM定理第二命題及其

9、推論MM定理第二命題：公司加權(quán)平均資本成本(WACC)與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA = KAWACC=r 型H,證畢。PVB PVB PVH PVA=，AMM定理第二命題推論：有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的 權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比。(是不是和CAPM.多因子模型、套利定價(jià)和的證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵證明：由(重 新編號(hào))得：畑=加 rA- =rA+ (rA-r)=rA+k(rA-r),SE SE SE證畢。2有稅收條件下的MM定理2.1假設(shè)條件考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的定理僅個(gè)定理

10、，有四個(gè)推 論。2.2 MM定理第一命題及其推論MM定理第一命題：在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿 的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅厲”的市場(chǎng)價(jià)值。證明；假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T(固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也樣的)，那么兩公 司的稅后收益(EAT)分別為：EAT =(1-T)*EBITEAT =(1 -T)*(EBIT-/*)+/*=( 1 -T)EBIT+TrD EAT ,證畢。其中卩產(chǎn)D即稅質(zhì)效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于 B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都 要交所得稅，而B(niǎo)公司

11、中EBIT僅有部分交所得稅，故省出部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值 中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆](méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的部分退給公司的債主， 或者說(shuō)舉債成本里廠廠是政府買(mǎi)單的(機(jī)會(huì)成本的角度講)，而公司舉債的成本僅是(1-刀*幾這 是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別樣，而證券定價(jià) 的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然-樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母農(nóng)示考慮 稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：PK/ = PV：A(1- T)盧D(l-T)r *PVPVd =PVB(-T)( “)+ D = P

12、Vj +0(1PVAR B EBIT A EBIT A(l-7)r*PV其中D(l-e啲)叫做稅厲的市場(chǎng)價(jià)值。EBITMM定理第一命題推論一：在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的 情況下，不考慮稅收時(shí)定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：/EBIT(-T) EBIT(-T) EBIT( 1 -T) * =S *MPrPVr( 1 -T)PV =評(píng)由不考慮稅收推論二證明的最后個(gè)公式和(重新編號(hào))得B公司股票的預(yù)期收益率為：VD Lb 11 -YD +/ (EBIT-?D)(1 -T)+rD (EBIT-rD)(7)+rD

13、 (EBITrD)(lT)HD EBTTrlK-T1 - TSB * MPBPVS- DPV.-ET)EBITrD再由得：r/=r/+/，由于EBITrD(盈利足夠付利息，保17)(1亠)/ EBIT證不破產(chǎn))，故八,證畢。MM定理第一命題推論二：考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上 升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收定理命題推論三仍然成立。證明：A、B兩公司每股盈利分別為:EW門(mén)醐丁E一？ )(/污/7力)十叨彳將第-部分第-命題推論一下面的代入得：R 二(i)(i-n(如-呵+呵二F _加+H(i-廠伸-小)+力.、F,H八八A因EBITrD,故上不等式成立，證畢。

14、MM定理第一命題推論三：在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。(證略)根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)/和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù) 的關(guān)系為z= (1+(1-7)(證明從略)，由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出SEWACC,顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然人于同-風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜(證明如)。注：一個(gè)延伸，P0W+(1W，)D G表示企業(yè)所得稅率，幾表示股票收入的稅-Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試若證明一下子。公司稅MM定理命題二在考慮所得稅情況下，負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSL)等于同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)中某-無(wú)負(fù)債企 業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSU)加上定的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率。風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率根據(jù)無(wú)負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本 率和負(fù)債企業(yè)的債務(wù)資本成本率(KD)之差和債務(wù)權(quán)益比所確定。其公式為：KSL=KSU*(1 -T)+(KSU-KD)*