求異面直線間距離的幾種常用方法

1、求異面直線間距離的幾種常用方法1輔助平面法(1) 線面垂直法，用于兩條異面直線互相垂直情況.若已知兩條異面直線互相 垂直，那么可以尋找一個(gè)輔助平面，使它過(guò)其中一條直線且垂直于另一條直線，在 輔助平面上，過(guò)垂足引前一條直線的垂線，就得到這兩條異面直線的公垂線，并求 其長(zhǎng)度.例1如圖1所示正三棱錐VABC的底面邊長(zhǎng)為m側(cè)棱為b,求AB與VC的 距離.解：在正三棱錐VABC中，ZAVC今BVC,作BE丄VC,連AE,則AE丄VC, 且 AE=BE,VC丄平面AEBVC丄AB取AB中點(diǎn)D,連DE,則DE丄AB, 乂 VC丄DE.ADE是異面直線AB與VC的公垂線.分析：這樣求異面直線間距離就化為平面兒

2、何中求點(diǎn)到直線的距離了.作VF丄BC,則有(2) 線面平行法，用于一般情況.其用法為：過(guò)其中一條直線作與另一條直線 平行的平面，這樣可把求異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離.例 2 如圖 2 所示，長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=a, BBl = a, BC=b,試求異面直線AB與A1C之間的距離.aB解：VAB/ZAB,AB平面AB c,于是AB與平面AC間的距離即為異面直線AB與AC之間的距離.岸泮:.女口 二:證豈必:說(shuō)；:十2叫|曠匚尸二“二也* dJ d(3) 面面平行法，求兩異面直線的距離，除了上面(2)介紹的轉(zhuǎn)化為線面的距 離外，還可以轉(zhuǎn)化為面面的距離，即作兩平行

3、的輔助平面，分別過(guò)其中的一條，兩 平行平面間的距離就為此兩異面直線的距離.例3如圖3所示，夾在兩平行平面a和0間的異面直線AB、CD,在平面 B的射影分別是12cm和2cm,它們與平面P的交角之差是45 ,求AC與BD之 間的距離.平面a與平面B的距離為AC與BD間的距離，設(shè)此距離為xcm,即AA=CC=xcm,過(guò)D點(diǎn)作DE=AB且DEAB交平面a于E,則ABDE是一個(gè)平行四邊 形.解得 xl=4, x2 = 6.故異面直線AC與BD之間的距離是4cm或6cm.2等積法在一般情況下，求異面直線間的距離可轉(zhuǎn)化為(D-異面直線與過(guò)另一異面直線且平行于第一條異面直線的平面之間的距 離.(2)分別過(guò)兩

4、異面直線的兩個(gè)平行平面之間的距離.上述兩種距離總是通過(guò)直線上(或平面上)一點(diǎn)到另一平面之間的距離求出, 除直接求出外，一般都要通過(guò)等積計(jì)算再求高的辦法來(lái)求得的.例4如圖4所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求AC與BC1的距 離.閤4解：連接 A1C1, A1B, CIA, VAC/7A1C1,.AC平面 A1BC1,則求 AC 與 BC1 的距離轉(zhuǎn)化為求AC與其平行平面A1BC1的距離.也就是三棱錐AA1BC1的高h(yuǎn).由上可知，等積法與作輔助平面法緊密相連，它是以輔助平面為底，與平面 平行的另一條異面直線上某一點(diǎn)到該平面的距離為高組成一個(gè)三棱錐，若改變?nèi)?錐的底面易于求得三棱

5、錐的體積，便可利用等積法求出以輔助平面為底的三棱錐的 高，即異面直線間的距離.3極值法運(yùn)用極值法求異面直線a、b的距離是先在a(或b)上取點(diǎn)A,過(guò)A點(diǎn)作 AB丄b,設(shè)某一線段為x,列出AB關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式AB = f(x),求出AB的最小 值，就是所求異面直線間的距離.其理論依據(jù)是兩異面直線間的距離是連接兩直線 中最短線段的長(zhǎng).例5如圖5所示，圓錐底面半徑為R,母線長(zhǎng)為2R, AC為軸截面SAB的底角 A的平分線，乂 BD為底面的一條弦，它和AB成30的角，求AC與DB之間的距 離.解：在AC上任取一點(diǎn)E,作EF丄AB,垂足為F,則EF丄底面.設(shè) EF=xSAB 是正三角形(AB=SA=SB = 2R)4定義法用定義法的關(guān)鍵要會(huì)作出直線的公垂線，對(duì)于簡(jiǎn)單的(如若兩異面直線互相垂 直，則宜于用此法求，前面線面垂直法已介紹過(guò))