概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件講解6-2-1

1、第第6.26.2節(jié)節(jié) 常用統(tǒng)計分布常用統(tǒng)計分布一、常見分布一、常見分布二、概率分布的分位數(shù)二、概率分布的分位數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié)一、常見分布一、常見分布).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnnnn 記記為為分分布布的的度度為為服服從從自自由由則則稱稱統(tǒng)統(tǒng)計計量量分分布布相相互互獨獨立立，同同服服從從定定義義、設(shè)設(shè) .:222212變變量量的的個個數(shù)數(shù)中中右右端端包包含含獨獨立立指指自自由由度度nnXXX 分布（卡方分布）分布（卡方分布）2. 1 一些結(jié)論一些結(jié)論), 1()(3,.2 , 1),21,2(n)(2),(, 2 , 1,),(,121121 ExpnnXn

2、iXXXXininiiiin、則則分布分布相互獨立，相互獨立，、設(shè)、設(shè)分布的概率密度為分布的概率密度為定理定理)(2n 其它其它00)2(21)(2122xexnxpxnn證明證明,21,21)1(2分分布布分分布布即即為為因因為為 ),1, 0( NXi又因為又因為),1(22 iX由定義由定義., 2, 1,21,212niXi 即即.)(2圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如n ,21相互獨立相互獨立因為因為nXXX,22221也相互獨立也相互獨立所以所以nXXX分布的可加性知分布的可加性知根據(jù)根據(jù) niinX122 .21,2 n演演 示示分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)1).

3、(,),(),(2122221222122221221nnnn 則則立立獨獨并且并且設(shè)設(shè))(2分布的可加性分布的可加性 (此性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量的情形此性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量的情形).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 則則獨立獨立相互相互并且并且設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)2.2)(,)(),(2222nDnEn 則則若若證明證明),1, 0( NXi因為因為, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.

4、2n )(2分布的數(shù)學期望和方差分布的數(shù)學期望和方差 性質(zhì)性質(zhì)3dtexnnPxntxnnn22212lim,),(222 有有則對任意則對任意設(shè)設(shè)且且獨獨立立同同分分布布因因而而獨獨立立且且每每個個其其中中由由假假設(shè)設(shè)和和定定義義證證明明,),1 , 0(, 6 . 52222121122ninniinXXXNXXXXX ), 2 , 1(2)(, 1)(22niXDXEii 2lim2xnnPnn 由中心極限定理得由中心極限定理得 xniindtexnnXPt2221lim12 ).2 ,().1 , 0(2,222nnNNnnnnn近似近似進而進而近似服從近似服從很大時很大時當當也即也即

5、分布分布分布的極限分布是正態(tài)分布的極限分布是正態(tài)即即 .)()(,)1 , 0(,12265432221121621分分布布服服從從使使得得求求樣樣本本的的一一組組為為來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體設(shè)設(shè)例例 XXXXCXXCYCCNXXX )1 , 0(2),2 , 0(2121NXXNXX 則則解解),(),(1044065436543NXXXXNXXXX則則同理同理221XX 且且46543XXXX與與相互獨立相互獨立2212)(XX 所以所以)2()4(226543 XXXX .41,2121 CC則則).(,/,),(),1, 0(2ntTtnnYXTYXnYNX記為記為分布分布的的服從自由

6、度為服從自由度為則稱隨機變量則稱隨機變量獨立獨立且且設(shè)設(shè)定義定義 t 分布又稱分布又稱學生氏學生氏(Student)分布分布.學生氏資料學生氏資料 tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)(nt分布分布t2.隨機數(shù)隨機數(shù)演示演示分布函數(shù)與密度函數(shù)演示分布函數(shù)與密度函數(shù)演示圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t.0對稱的對稱的顯然圖形是關(guān)于顯然圖形是關(guān)于 t當當n充分大時充分大時, 其圖其圖形類似于標準正態(tài)形類似于標準正態(tài)變量概率密度的圖變量概率密度的圖形形.,21)(lim22tneth 因為因為,)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足夠

7、大時足夠大時所以當所以當Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布與與但但對對于于較較小小的的Ntn演演 示示t 分布分布具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè) , 則當則當 時有時有性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè) ， 是是T的分布密度，的分布密度，則則此性質(zhì)說明，當此性質(zhì)說明，當 時，時，T分布的極限分布的極限分布是標準正態(tài)分布。分布是標準正態(tài)分布。)(ntT2n0)(TE2)(nnTD)(ntT)(tp2221)(limtnetpn.,),(),(2222的概率分布的概率分布試求試求相互獨立相互獨立且且設(shè)設(shè)例例nYXTYXnYNX 由定理得由定理得獨立獨立與與則則獨立獨立且且又又所以所以

8、因為因為解解,),()1 , 0(),(2222 YXYXnYNXNX )(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT ).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnYnXFYXnYnX記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱隨機變量則稱隨機變量獨立獨立且且設(shè)設(shè)定義定義 分分布布F3.其中其中 分別表示分別表示F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)21,nn分布的概率密度為分布的概率密度為),(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnynnnn 圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如F分布有以下性質(zhì)分布有以下性質(zhì)F).

9、,(1),(1221nnFFnnFF則則若若(1) 4(,) 4() 2() 2(2)(),2(,2)(222212122222 nnnnnnnFDnnnFE(2)演演 示示這說明這說明F分布極限分布也是正態(tài)分布分布極限分布也是正態(tài)分布.dtexFDFEFPxnnnFFtxn22121)()(lim,4),(221 有有對對任任意意時時則則當當設(shè)設(shè)(3)1 ,(1), 1(8 . 5222nFFTnFnYXT分布的性質(zhì)知分布的性質(zhì)知由由有有由定義由定義 ,),1(,),(),1 , 0(7 . 5),(2222獨立獨立與與且且那么那么獨立獨立且且其中其中有有由定義由定義因為因為證明證明YXXY

10、XnYNXnYXTntT )., 1(),(32nFTntT試證試證已知已知例例二、概率分布的分位數(shù)二、概率分布的分位數(shù).,),10(分位數(shù)分位數(shù)的分布的上側(cè)的分布的上側(cè)為為則稱則稱使使若存在若存在和給定的和給定的對于總體對于總體定義定義 XxxXPxX u正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù). 1xeuXPuNNXuxd21101022 ),(),(滿足分位點的上服從標準正態(tài)分布設(shè)05. 0u附表附表2-12-1025. 0u根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知. uu1,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2 1)(u 即.,的值可查得由附表給定 u2 )(uuXP

11、11).()()()(, 10,或分位點或分位點分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點的點稱滿足條件稱滿足條件對于給定的對于給定的 ntntnttP.分位數(shù)的值分位數(shù)的值得上得上可以通過查表求可以通過查表求 由分布的對稱性知由分布的對稱性知).()(1ntnt .)(, untn時當45)(. 2ntt 分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù))10(05. 0t附表附表3-13-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-23-2在在Matlab中求解中求解.)()()(, 10,2222分分位位數(shù)數(shù)（分分位位點點）分分布布的的上上為為的的點點稱稱滿滿足足條條件件對對于于給

12、給定定的的正正數(shù)數(shù) nnnP.,分位點的值分位點的值得上得上可以通過查表求可以通過查表求對于不同的對于不同的 n)(. 322n 分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù))8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1附表附表4只詳列到只詳列到 n=45 為止為止.,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3在在Matlab中求解中求解.2)(,2分位數(shù)分位數(shù)是標準正態(tài)分布的上是標準正態(tài)分布的上其中其中充分大時充分大時當當 uunnnn例如例如64124012012021201200502050.)(.u .5145利

13、用上公式利用上公式,費費歇資料歇資料而查詳表可得而查詳表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分位點的近似值分位點的近似值上上時時可以求得可以求得 n費歇費歇(R.A.Fisher)證明證明:.,),(21可通過查表完成可通過查表完成的值的值求求nnF )7 , 8(025. 0F)14,30(05. 0F附表附表5-15-1,90. 4 .31. 2 附表附表5-25-2在在Matlab中求解中求解.),(),(),(, 10,212121分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點的點稱滿足條件稱滿足條件對于給定的對于給定的 nnFnnFnnFFP),(214nnFF 分布的上側(cè)分位數(shù)

14、:分位點具有如下性質(zhì)分位點具有如下性質(zhì)分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 證明證明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因為因為,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因為因為,),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比較后得比較后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位點點的的一一些些上上用用來

15、來求求分分布布表表中中未未列列出出 三、小結(jié)三、小結(jié)1.三大統(tǒng)計分布三大統(tǒng)計分布 . , , 2分布分布分布分布分布分布Ft 的定義的定義,性質(zhì)性質(zhì).2.概率分布的分位數(shù)辛欽定理辛欽定理), 2 , 1()(,21 kXEXXXkn 望望一分布，且具有數(shù)學期一分布，且具有數(shù)學期相互獨立，服從同相互獨立，服從同設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量. 11lim,1 nkknXnP有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù)附表附表2-12-1 標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

16、1.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.9

17、0660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.8

18、9440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.8

19、8100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645,d21)(22 zttez 附表附表2-22-2標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.982

20、10.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.995

21、70.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.952

22、50.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96,d21)(22 zttez 附表附表4-14-1= 0.25

23、0.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.3622

24、3.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n

25、2 分布表分布表17.535=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040

26、.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n3.247附表附表4-4-2 22 分布表分布表=0.250.100.050.0250.010.00517181920212

27、22324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.

28、98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n34

29、.382附表附表4-4-3 32 分布表分布表附表附表3-13-1 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.1318

30、2.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6

31、574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表1.8125附表附表3-23-2 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.5

32、3321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.

33、5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1315t分布表分布表附表附表5-15-1F分布表分布表025. 0 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819

34、647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10

35、 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.80 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33937.139.3314.73 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4.23 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17948.239.3614.62 9.07 6.85 5.70

36、 4.99 4.53 4.20 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.29 3.22 3.16 3.10 3.05956.739.3714.54 8.98 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96963.339.3914.47 8.90 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 3.78 3.59 3.44 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88968.639.4014.42 8.84 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96

37、 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82976.739.4114.34 8.75 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72984.939.4314.25 8.66 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 2.86 2.79 2.72 2.67 2.62993.139.4514.17 8.56 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 3.42 3.23 3.07

38、 2.95 2.84 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51997.239.4614.12 8.51 6.28 5.12 4.42 3.59 3.61 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45100139.4614.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39100639.4714.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2

39、.51 2.44 2.38 2.33101439.4913.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20101839.5013.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.132n1n4.90 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99

40、 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63

41、 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74234.019.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63236.819.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54238.919.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07