極限思想的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué) 年 論 文題 目 論極限思想發(fā)展及應(yīng)用學(xué) 生 李超男指導(dǎo)教師 何英華 講師年 級 2008級專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué) 2011年6月 論 文 提 要極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)，極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所以，對極限概念及理論的理解和掌握的好壞將直接影響到整個本課程的學(xué)習(xí)。極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一刻過程中的變化趨勢，是從有限到無限，近似到精確，量變到質(zhì)變的過程，與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，因此學(xué)生掌握起來比較困難，一些學(xué)生到了畢業(yè)，還對

2、為什么要用如此抽象的“”定義來描述微積分的極限理論不甚理解。但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過程，弄清極限理論概念的描述和邏輯表述形式并輔以典型的例題來加深理解，對于掌握和應(yīng)用極限概念會起到很重要的作用。論極限思想發(fā)展及應(yīng)用 李超男摘 要：極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的，所謂極限思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)造一個與它有關(guān)的變量，確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果.

3、所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄?關(guān)鍵詞：極限思想 無窮小 數(shù)學(xué)分析一、極限思想的形成與發(fā)展1.1極限思想的由來和一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產(chǎn)物.極限的思想可追溯到古代，劉徽到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形中心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀大膽的運用極限思想思考問題，放棄了歸謬法的證明,因此，他就在無意中“提出了把極限方法發(fā)展成為一個使用概念的方法”.然而，微積分學(xué)在其創(chuàng)立初期由于歷史條件的限制，人們對他的基本概念及其關(guān)系的認識還不能突破力學(xué)和幾何直觀的局限，許多概念還沒有確切的數(shù)學(xué)定義，特別是一些定理和公式的推導(dǎo)還處在邏輯混亂的局面

4、.1.2極限思想的完善極限思想的完善的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯的“取極限”，而是借助于間接證法一一歸謬法來完成有關(guān)的證明.1917年，波爾察諾的著作純粹分析的證明的出版是微積分開始嚴(yán)格化的標(biāo)志.在該書中波爾察諾處于證明代數(shù)基本定理的需要，首次用極限觀點給出了連續(xù)性的定義，如在區(qū)間內(nèi)任一處，只要充分小，就能使兩點間距離任意小，則說明該函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，他把導(dǎo)數(shù)定義為無限接近的趨向的量，波爾察諾是微積分開始嚴(yán)格化的前驅(qū).柯西被公認為近代分析的主要奠基人，事實上，他在19世紀(jì)20年代陸續(xù)發(fā)表了3

5、本著作：工科學(xué)學(xué)分析教程、無限小計算概要和微積分講義，其中革新了微積分中長期沿襲下來的模糊的舊概念重整了他的理論，把它納入到一個新的嚴(yán)密的理論體系之中，柯西看出核心的問題是極限，他把極限概念理解為潛無限。并且定義“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終是變量和改定值之差要多小就多小”.這個定值就叫做所有其它值的極限，第一次使極限概念擺脫了與幾何和運動直觀的任何牽連，給出了建立在屬于函數(shù)概念上清楚的定義.但是，柯西的極限概念并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義而是停留在直觀的描述上面，所以在他的著作的敘述中不是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表達，他的函數(shù)概念并沒有完全脫離解析方式的束縛，在函數(shù)的連續(xù)性和可微性方面也欠

6、明確等等.因此，他的微積分雖然具有近代的形式但它的基礎(chǔ)并不牢固.19世紀(jì)50年代，魏爾斯特拉斯（weierstrass,18151897）在分析嚴(yán)密化方面的工作改進了波爾察諾、阿貝爾和柯西的工作，他力求避免直觀而把分析奠基在算數(shù)概念上，提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義，從而完成了數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化工作，從此，極限理論才得以充實和嚴(yán)密的自身體系成為微積分的基礎(chǔ)理論，微積分也從此完全脫離過去集合的直觀和不確切地描述，進入了一個新的發(fā)展時期.極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能決定的，極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，使唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)

7、學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用借助于極限思想，人們可以從有限認識無限、從不變認識變、從直線形認識曲線形、從量變認識質(zhì)變、從近似認識精確.二、極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用2.1極限思想在概念里的滲透極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線積分與曲面積分的概念.（1） 如以函數(shù)在點連續(xù)的定義.記稱為自變量（在點）的增量或改變量，設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點）的增量記為，可見，函數(shù)在點連續(xù)等價于，是當(dāng)自變量得增量時，函數(shù)值得增量趨于零時的極限.（2）函數(shù)在點導(dǎo)數(shù)的定義

8、.設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，令，則可寫為，所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.（3） 函數(shù)在區(qū)間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對認給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有，則稱函數(shù)為在上的定積分，記。是當(dāng)分割細度趨于零時，積分和式的極限.（4）數(shù)項級數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列，的極限來定義的等等.2.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個問題：已知運動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線.（1） 瞬時

9、速度 設(shè)一質(zhì)點做直線運動，其運動規(guī)律為，若為某一確定的時刻，為鄰近于的時刻，則是質(zhì)點在時間段上的平均速度. 若時平均速度的極限存在，則稱極限為質(zhì)點時刻的瞬時速度.（2）切線的斜率 曲線在其上一點處的切線PT是割線PQ當(dāng)動點Q沿此曲線無限接近于點p時的極限位置.由于割線PQ斜率為因此當(dāng)時如果的極限存在，則極限即為切線PT的斜率.給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某鄰城內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù) 在點處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記作.令,則上式可改寫為.2.3極限思想在積分中的應(yīng)用積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，其中的不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運算而定積分則是某種特殊和式的極限，下面給出在定積分中極

10、限思想的重要應(yīng)用.定積分提出的背景：曲邊梯形是由非負連續(xù)曲線.直線以及x軸所圍成，求此曲邊梯形的面積？（1） 將曲邊梯形分成個小曲邊梯形（2） 當(dāng)很大，且當(dāng)所有的都很少小時，每個小時曲邊梯形都可看成小矩形第個小曲邊梯形面積其中，此時.（3）當(dāng)n無限增大時，即當(dāng)個無限趨近于0時，就無限趨近于曲邊梯形的面積，故.定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個點，依次為它們把分成個小區(qū)間， ，這些分點或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個分割，記或。小區(qū)間長度為并記設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對任給正數(shù)，總有在某一正數(shù)，使得對的分割，以及在其上任意選取的點集，只要就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為上的定積分，記作.三、證

11、明極限存在及求極限的方法求函數(shù)和數(shù)列的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運算，求極限的主要方法有用定義、四則運算、兩邊夾法則、實數(shù)連續(xù)性定理等，除這些常規(guī)的方法外還有許多技巧，這些技巧隱含在函數(shù)論的相關(guān)理論中，以下主要以例題的形式介紹相關(guān)方法與技巧.3.1用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限利用極限的四則運算法求函數(shù)極限時需對所給的函數(shù)進行逐一驗證，若滿足條件才可利用此法則進行計算，并不是不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限，可將函數(shù)進行恒等變形使其符合條件后再求，而對函數(shù)進行恒等變形時往往運用一些簡單技巧，如拆項、分子分母有理化、變量替換等.例1：求解：此式為型，且分母極限為，因此先分子有理化，所以

12、，原式.3.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限收斂數(shù)列的迫斂性：設(shè)收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時有，則數(shù)列收斂，且.函數(shù)極限的迫斂性：設(shè)，且在某內(nèi)有，則.例2：求由所以，根據(jù)迫斂性定理有：原式 .3.3用泰勒公式求極限常用的泰勒公式：.例3：求解：由泰勒公式知 所以，原式.3.4用等價無窮小求極限常用的等價無窮?。寒?dāng)時， ，.例4：解：因為 ，所以，原式.3.5用洛比達法則求極限洛比達法則只直接適用于型和型不定式極限，等類型，經(jīng)過簡單變換，可化為型或型極限.例5：求解：由是型不定式極限，有恒等變形轉(zhuǎn)化為型不定式極限。所以，應(yīng)用洛必達法則原式.3.6利用微分中值定理和積分中值定理求極限（1）第

13、一積分中值定理：若在上連續(xù)，則至少有在一點 使得（2）第二積分中值定理：設(shè)函數(shù)在上可積。若在上減(增)且，則存在 使或.例6：求解：有微分中值定理 (介于與之間)原式.例7：求解：令,在上可積，故不變號連續(xù)，由積分第一中值定理，由為有界量，為無窮小量故.四、總結(jié)極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分，而極限又是微積分學(xué)大廈的基石，可以說沒有充分的極限理論就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面，所以，我們應(yīng)學(xué)好極限理論及極限思想.參考文獻: 1明清河：數(shù)學(xué)分析的思想與方法 M.山東大學(xué)出版社.2004.2李克典,馬云苓：數(shù)學(xué)分析選講M.廈門大學(xué)出版社.2005.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)

14、分析M.高等教育出版社.1999.9. 4 M.克萊因：古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）M.上?？萍汲霭嫔?1983.10.附件一學(xué)年論文（設(shè)計）成績表論文題目極限思想的應(yīng)用作者李超男指導(dǎo)教師何英華職稱講師指導(dǎo)教師評語1. 論文選題合理，充分的論述了極限思想的歷史以及由來，并能從各個方向闡明極限思想的在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。寫作態(tài)度認真，時效性強，按期圓滿完成學(xué)年論文。論文觀點明確，能較好的闡述所要論述的問題。數(shù)據(jù)資料翔實，分析方法選用得當(dāng)。綜合運用知識的能力較強。該論文結(jié)構(gòu)合理，內(nèi)容豐富，分析方法先進，寫作進度安排合理，可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)極限方面更好的學(xué)習(xí)與理解。2. 論文完全符合學(xué)院規(guī)定，內(nèi)容完整，層次結(jié)構(gòu)安

15、排科學(xué)，主要觀點突出，論述緊扣主題，邏輯關(guān)系清楚，有一定的個人見解。論文選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，并且選題有一定的研究價值，與實際應(yīng)用聯(lián)系比較密切。書寫工整，格式及標(biāo)點規(guī)范。說明書、圖紙完備、整潔、正確、符合規(guī)范。指導(dǎo)教師簽字等級內(nèi)部資料請勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#K

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