定積分的概念和基本性質(zhì)

1、1 4.3.1 定積分的定義定積分的定義4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)2 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。x yoy= =x21s4.3.1 引出定積分定義的例題引出定積分定義的例題3sx yoy= =x212n1n1nn.1inin21()in (4)(4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)小曲邊梯形。0,1

2、n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innssssss= (2)(2)近似近似i第 個(gè)小曲邊梯形面積:211s()(1,2,., )iiinnn=22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：(3)(3)求和求和nss4sx yoy= =x212n1n1nn.1inin2( )in (4)(4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)

3、小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innssssss= 21()ini第 個(gè)小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=(3)(3)求和求和5sx yoy= =x212n1n1nn.1inin ( (4)4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ix

4、innn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innssssss= i第 個(gè)小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn= (3)(3)求和求和6分分 割割求求 和和近近 似似取極限取極限把整體的問題分成局部的問題把整體的問題分成局部的問題在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整體的一個(gè)近似值；得到整體的一個(gè)近

5、似值；得到整體量的精確值；得到整體量的精確值； 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。7 一般地，求由連續(xù)曲線一般地，求由連續(xù)曲線y= =f(x)(f(x) 0)，直線，直線x= =a、x= =b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是：軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是： (1,2,.,1)(1)ixx inn=用直線把曲邊梯形分割為個(gè)小曲邊梯形。1(1,2,., )iiixxxin=每個(gè)小曲邊梯形的底的寬度記為 。1( ),2iiiixxi在第 個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),用第 個(gè)小矩形的面積近似替代()iiiiafx第

6、 個(gè)小曲邊梯形的面積：s =ni 1f(i)xi。 (3) 將全部小矩形面積求和后作為s曲邊梯形面積的近似值。即有12,(4,)nmaxxxx記 =,為得到曲邊梯形面積可取極限：01lim( )niiisfx=y=f(x)bx yoaxi-1xi1x2x.1nx=x0 xn=i( )if(1,2, )in=8例例2設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，速度為設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，速度為 v = =v (t), 假定假定v (t)是是 t 的連續(xù)的連續(xù)函數(shù)，求此物體在時(shí)間區(qū)間函數(shù)，求此物體在時(shí)間區(qū)間 a, b 內(nèi)運(yùn)動(dòng)所走距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)所走距離 s 。totn=t0t1ti1 titn1 abti引出定義的實(shí)例二

7、引出定義的實(shí)例二：求物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程：求物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程 解：解：.01lim()niiisvtt= (2) 在第在第 i ( i= =1, 2, , n) 個(gè)時(shí)間段個(gè)時(shí)間段 ti 1, ti上任取一時(shí)刻上任取一時(shí)刻 t ti，用，用v(t ti) ti近似替代物體在第近似替代物體在第i個(gè)個(gè)時(shí)間段所走距離時(shí)間段所走距離: si v(t ti) ti 。(1) 用分點(diǎn)用分點(diǎn) t= =ti (ti 10, f(x)0, 利用定積分幾何意義驗(yàn)證：21112=dxxbaabbfdxxfabaf)()()(20 性質(zhì)性質(zhì)1 1：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)有限

8、個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b內(nèi)可積，則有=bababanbandxxfdxxfdxxfdxxfxfxf)()()()()()(212121 性質(zhì)性質(zhì)2 2：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)一個(gè)可積函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)之后，仍可為可積函數(shù)，且常數(shù)引資可以提到積分符號(hào)外面，即若 f(x)在a, b上可積，則 cf(x)在a, b上也可積（c為常數(shù)），且滿足=babadxxfdxxcf)()(22 性質(zhì)性質(zhì)3 3：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)在a, b內(nèi)可積，

9、若acb, 則f(x)在a, c和c, b上可積；反之，若f(x)在a, c和c, b上可積，則f(x)在a, b內(nèi)可積，且有=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(23 性質(zhì)性質(zhì)4 4：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)交換積分上下限，積分值變號(hào)，即特別地，若a=b，則=abbadxxfdxxf)()(0)()()(=aaaaaadxxfdxxfdxxf24 性質(zhì)性質(zhì)5 5：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)和g(x)在a, b上皆可積，且滿足條件f(x) g(x)，則有babadxxgdxxf)()(25 性質(zhì)性質(zhì)6 6：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)abdxdxbaba=126 性質(zhì)性質(zhì)7 7：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)若函數(shù)f(x)在a, b上可積，且最大值與最小值分別為m和m，則推論：若函數(shù)f(x)在a, b上可積，則baabmdxxfabm)()()(bababadxxfdxxfdxxf)()()(27 性質(zhì)性質(zhì)8 8：定積分中值定理：定積分中值定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定