3-第三章-圖像變換

1、 圖像變換是一種簡(jiǎn)化圖像處理過程和提高圖圖像變換是一種簡(jiǎn)化圖像處理過程和提高圖像處理效果的技術(shù)。像處理效果的技術(shù)。 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 設(shè)系統(tǒng)的特性可表示成對(duì)輸入圖像進(jìn)行設(shè)系統(tǒng)的特性可表示成對(duì)輸入圖像進(jìn)行t t運(yùn)算，運(yùn)算，并令并令f f1 1(x,y)(x,y)與與tftf1 1(x,y)(x,y)、f f2 2(x,y)(x,y)與與tftf2 2(x,y)(x,y)分分別代表兩對(duì)不同的輸入和輸出圖像，則當(dāng)系統(tǒng)滿足：別代表兩對(duì)不同的輸入和輸出圖像，則當(dāng)系統(tǒng)滿足： tftf1 1(x,

2、y)+f(x,y)+f2 2(x,y)=tf(x,y)=tf1 1(x,y)+tf(x,y)+tf2 2(x,y)(x,y) (3.1)(3.1)關(guān)系時(shí)，稱系統(tǒng)具有疊加性。當(dāng)系統(tǒng)滿足：關(guān)系時(shí)，稱系統(tǒng)具有疊加性。當(dāng)系統(tǒng)滿足： tkf(x,ytkf(x,y)=)=ktf(x,yktf(x,y) (3.2)(3.2)關(guān)系時(shí)，稱系統(tǒng)具有齊次性。關(guān)系時(shí)，稱系統(tǒng)具有齊次性。 .1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 同時(shí)滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。同時(shí)滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。由于圖像是二維的，所以這樣的系統(tǒng)稱為二維線性由于圖像是二維的，所以這樣的系統(tǒng)稱為二維線性系統(tǒng)

3、，由式系統(tǒng)，由式(3.1)(3.1)和式和式(3.2)(3.2)定義的運(yùn)算稱為二維線定義的運(yùn)算稱為二維線性運(yùn)算。顯然，二維線性系統(tǒng)應(yīng)一般地滿足：性運(yùn)算。顯然，二維線性系統(tǒng)應(yīng)一般地滿足： tktki if fi i(x,y(x,y)= )= k ki itftfi i(x,y(x,y) (3.3)(3.3)凡不滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)都屬于非線性系統(tǒng)。凡不滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)都屬于非線性系統(tǒng)。 .1.1 .1.1 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) .1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 二維二維函數(shù)函數(shù)定義為：定義為： ( (3.4)3.4)且且 (3.5)(3.5

4、).1.2 .1.2 沖擊函數(shù)沖擊函數(shù) 01),(),(dxdyyxdxdyyx其它00, 0),(yxyx 在其出現(xiàn)的在其出現(xiàn)的x=0 x=0，y=0y=0處為處為無限大，在其它位置上值為零，但它包含的體積為無限大，在其它位置上值為零，但它包含的體積為1 1。函數(shù)是一種廣義函數(shù)，也稱為分配函數(shù)。函數(shù)是一種廣義函數(shù)，也稱為分配函數(shù)。 .1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 在數(shù)學(xué)上，在數(shù)學(xué)上，函數(shù)可由矩形函數(shù)的極限而求得。函數(shù)可由矩形函數(shù)的極限而求得。二維矩形函數(shù)定義為：二維矩形函數(shù)定義為： (3.6)(3.6) 矩形函數(shù)可看作是邊長(zhǎng)為單位值的正方體，如圖矩形函數(shù)可看作是邊長(zhǎng)

5、為單位值的正方體，如圖3.1(a)3.1(a)所示。顯然，其體積為所示。顯然，其體積為1 1。 .1.2 .1.2 沖擊函數(shù)沖擊函數(shù) 其它時(shí)，當(dāng)0|1),(2121yxyxrectrect(x,yrect(x,y) )1 1x x1/21/2y y1/21/2.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 一般地，對(duì)于如圖一般地，對(duì)于如圖3.1(b)3.1(b)所示的邊長(zhǎng)為所示的邊長(zhǎng)為|x|1/2n|x|1/2n和和|y|1/2n|y|1/2n，高為，高為n n2 2的二維矩形函數(shù)，有的二維矩形函數(shù)，有定義：定義： (3.7)(3.7) 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)x=x=時(shí)，有時(shí)，有(x,y)

6、=limrn(x,y) ,n=,n=。 .1.2 .1.2 沖擊函數(shù)沖擊函數(shù) 其它時(shí)，當(dāng)0|),(21212nnnyxnyxr.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 函數(shù)具有如下的一些性質(zhì)：函數(shù)具有如下的一些性質(zhì)：（1 1）函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù) （2 2）卷積性質(zhì)（也稱為位移性）卷積性質(zhì)（也稱為位移性） 上式說明，函數(shù)上式說明，函數(shù)f(x,yf(x,y) )與與(x,y(x,y) )的卷積結(jié)果仍的卷積結(jié)果仍為原函數(shù)為原函數(shù)f(x,yf(x,y) )，記為，記為 .1.2 .1.2 沖擊函數(shù)沖擊函數(shù) ),(),(yxyx ddyxfyxf),(),(),(),(),(),(

7、yxyxfyxf.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算同理有同理有：（3）可分離性可分離性 （4 4）乘積性）乘積性 ddyxfyxf),(),(),(),(),(),(yxyxfyxf)()(),(yxyx),(),(),(),(yxfyxyxf.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算（5 5）篩選性）篩選性當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) （6 6）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù) ),(),(),(fdxdyyxyxf0 dxdyyxyxff),(),() 0 , 0(dudveyxvyuxj )(2),(.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算.1.3 .1.3 二維線性

8、移不變系統(tǒng)二維線性移不變系統(tǒng) 系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)(x,y(x,y) )產(chǎn)生的輸出稱為脈沖產(chǎn)生的輸出稱為脈沖響應(yīng)，并表示為響應(yīng)，并表示為h(x,yh(x,y) )。 一般也將一般也將h(x,yh(x,y) )稱為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，且稱為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，且 （3.143.14） ),(),(yxhyxt.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算.1.3 .1.3 二維線性移不變系統(tǒng)二維線性移不變系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)的單位脈沖輸入為當(dāng)系統(tǒng)的單位脈沖輸入為(x(x- -,y-,y-) )，也即，也即輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了、單位時(shí)，輸出為單位時(shí)，輸出為h(xh(x

9、- -,y-,y-) )，即輸出結(jié)果性態(tài)不變，僅在位置上延，即輸出結(jié)果性態(tài)不變，僅在位置上延遲了遲了、單位，則稱這樣的系統(tǒng)為移不變系統(tǒng)。單位，則稱這樣的系統(tǒng)為移不變系統(tǒng)。),(),(yxhyxt （3.153.15）.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 如果一個(gè)系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)，又是移不變系統(tǒng)，如果一個(gè)系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)，又是移不變系統(tǒng)，則該系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)。則該系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)。 ),(),(yxftyxg),(),( ddyxft（由式（由式3.9a） ),(),(ddyxft（線性疊加原理）（線性疊加原理） ddyxtf),(),(齊次性齊次性; x,y為變量為

10、變量) ddyxhf),(),(移不變性移不變性 ,卷積表示卷積表示) ),(),(yxhyxf（3.16a） .1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算同理有：同理有： ddhyxfyxg),(),(),(),(),(yxfyxh（3.17a）),(),(),(),(yxhyxfyxfyxh(3.18).1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算 所以，二維線性移不變系統(tǒng)的輸入、輸出和運(yùn)算所以，二維線性移不變系統(tǒng)的輸入、輸出和運(yùn)算關(guān)系可描述為：關(guān)系可描述為： h(x,y),( yxf),(),(),(yxhyxfyxg.1.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算線性系統(tǒng)的基本理

11、論與運(yùn)算3.2 3.2 離散傅立葉變換離散傅立葉變換 離散傅立葉變換離散傅立葉變換(dft(dft）描述了離散信號(hào)的時(shí)）描述了離散信號(hào)的時(shí)域表示與頻域表示之間的關(guān)系，是線性系統(tǒng)分析域表示與頻域表示之間的關(guān)系，是線性系統(tǒng)分析和信號(hào)處理中的一種最有效的數(shù)學(xué)工具，并在圖和信號(hào)處理中的一種最有效的數(shù)學(xué)工具，并在圖像處理領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用。像處理領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用。 3.2 3.2 離散傅立葉變換離散傅立葉變換 設(shè)設(shè)f(xf(x) )是在時(shí)域上等距離采樣得到的是在時(shí)域上等距離采樣得到的n n點(diǎn)離散序列，點(diǎn)離散序列，x x是離散實(shí)變量，是離散實(shí)變量，u u為離散頻率變量，則離散傅里葉變換為離散

12、頻率變量，則離散傅里葉變換對(duì)定義為：對(duì)定義為： (3.19)(3.19) (3.20)(3.20)，f(uf(u) )為正變換，為正變換，f(xf(x) )= =f f-1-1f(u)f(u)為反變換；為反變換；是正變換核，是正變換核， 是反變換核。是反變換核。1, 1 , 0,2exp)(1)(10nunxujxfnufnx1, 1 , 0,2exp)(1)(10nxnuxjufnxfnuxunje/2uxnje/2 根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式 有：有： （3.213.21），f(uf(u) )一般是復(fù)數(shù)，并可以寫成一般是復(fù)數(shù)，并可以寫成 （3.223.22）xixeixsincos uxju

13、xxuj2sin2cos)2exp()()()(ujiuruf， （3.233.23） ， (3.24)(3.24)(exp| )(|)(ujuruf)()(| )(|22uiuruf)()(arctan)(uruiu 根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式 有：有： （3.213.21）所以，所以，f(uf(u) )一般是復(fù)數(shù)，并可以寫成一般是復(fù)數(shù)，并可以寫成 （3.223.22）xixeixsincosuxjuxxuj2sin2cos)2exp()()()(ujiuruf 設(shè)設(shè)f(x,yf(x,y) )是在空間域上等間隔采樣得到的是在空間域上等間隔采樣得到的m mn n的二的二維離散信號(hào)，維離散信號(hào)，x

14、 x和和y y是離散實(shí)變量，是離散實(shí)變量，u u和和v v為離散頻率變量為離散頻率變量， (u=0,1,m-1；v=0,1,n-1) (3.26) (x=0,1,m-1；y=0,1,n-1) (3.27) 1010 )(2exp),(1),(mxnynyvmxujyxfmnvuf1010 )(2exp),(1),(munvnvymuxjvufmnyxf 在圖像處理中，有時(shí)為了討論上的方便，取在圖像處理中，有時(shí)為了討論上的方便，取m=nm=n，并，并考慮到正變換與反變換的對(duì)稱性，就將二維離散傅里葉考慮到正變換與反變換的對(duì)稱性，就將二維離散傅里葉變換對(duì)定義為：變換對(duì)定義為： 1010)(2exp)

15、,(1),(nxnynyvxujyxfnvuf1010)(2exp),(1),(nunvnvyuxjvufnyxf (3.28) (3.29) x,y,u,v=0,1,n-1； (3.31)(3.31),(),(| ),(|),(222vuivurvufvup 與一維時(shí)的情況類似，可將二維離散傅里葉變換的頻與一維時(shí)的情況類似，可將二維離散傅里葉變換的頻譜和相位角定義為：譜和相位角定義為： (3.30a) (3.30b) ),(),(| ),(|22vuivurvuf),(/ ),(arctan),(vurvuivu 簡(jiǎn)化計(jì)算，也即傅里葉變換可將空間域中復(fù)雜簡(jiǎn)化計(jì)算，也即傅里葉變換可將空間域中復(fù)

16、雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻率域中簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算。的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻率域中簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算。 對(duì)于某些在空間域中難于處理或處理起來比較對(duì)于某些在空間域中難于處理或處理起來比較復(fù)雜的問題，利用傅里葉變換把用空間域表示的圖像映射復(fù)雜的問題，利用傅里葉變換把用空間域表示的圖像映射到頻率域，再利用頻域?yàn)V波或頻域分析方法對(duì)其進(jìn)行處理到頻率域，再利用頻域?yàn)V波或頻域分析方法對(duì)其進(jìn)行處理和分析，然后再把其在頻域中處理和分析的結(jié)果變換回空和分析，然后再把其在頻域中處理和分析的結(jié)果變換回空間域，從而可達(dá)到簡(jiǎn)化處理和分析的目的。間域，從而可達(dá)到簡(jiǎn)化處理和分析的目的。 某些只能在頻率域處理的特定應(yīng)用需求，比如某些只能在頻率域處

17、理的特定應(yīng)用需求，比如在頻率域進(jìn)行圖像特征提取、數(shù)據(jù)壓縮、紋理分析、水印在頻率域進(jìn)行圖像特征提取、數(shù)據(jù)壓縮、紋理分析、水印嵌入等。嵌入等。 由二維離散傅里葉反變換式（由二維離散傅里葉反變換式（3.293.29）：）：可知，可知，由于由于u u和和v v均有均有0,1,0,1,n-1,n-1的的n n個(gè)可能的取值，所個(gè)可能的取值，所以以f(x,yf(x,y) )由由n n2 2個(gè)頻率分量組成，所以每個(gè)頻率分量都與個(gè)頻率分量組成，所以每個(gè)頻率分量都與一個(gè)特定的一個(gè)特定的( (u,vu,v) )值相對(duì)應(yīng)；且對(duì)于某個(gè)特定的值相對(duì)應(yīng)；且對(duì)于某個(gè)特定的( (u,vu,v) )值值來說，當(dāng)來說，當(dāng)( (x,

18、yx,y) )取遍所有可能的值取遍所有可能的值(x=0(x=0，1 1，n-1n-1；y=0y=0，1 1，n-1n-1）時(shí)，就可得到對(duì)應(yīng)于該特定的）時(shí)，就可得到對(duì)應(yīng)于該特定的( (u,vu,v) )值的一幅基圖像?；鶊D像可表示為。值的一幅基圖像。基圖像可表示為。 1010)(2exp),(1),(nunvnvyuxjvufnyxf ) 1() 1(2exp)1) 1(2exp)0) 1(2exp) 1(1(2exp)11(2exp)01(2exp) 1(0(2exp)10(2exp)00(2exp1,nvnunjnvunjnvunjnvnujnvujnvujnvnujnvujnvujnfvu

19、 顯然，對(duì)應(yīng)于不同（顯然，對(duì)應(yīng)于不同（u,vu,v）值的基圖像共有）值的基圖像共有n n2 2幅。幅。 式式(3.28)(3.28)和式和式(3.29)(3.29)的二維離散傅里葉變換對(duì)可寫的二維離散傅里葉變換對(duì)可寫成如下的分離形式：成如下的分離形式： (3.33)(3.33) (3.34) (3.34)1010)2exp),(2exp1),(nxnynyvjyxfnxujnvuf1010) 2exp),(2exp1),(nunvnvyjvufnuxjnyxf (3.36) (3.36)102exp),(1),(nxnuxjvxfnvuf 以式以式(3.33)(3.33)：為例，可先沿為例，可

20、先沿y y軸方向進(jìn)行一維的軸方向進(jìn)行一維的( (列列) )變換而求得：變換而求得： (3.35)(3.35)1010)2exp),(2exp1),(nxnynyvjyxfnxujnvuf102exp),(1),(nynvyjyxfnvxf 一幅圖像的灰度平均值可表示為：一幅圖像的灰度平均值可表示為： (3.37)(3.37) 10102),(1nxnyyxfnf1010)(2exp),(1),(nxnynyvxujyxfnvuf 1010),(1)0 ,0(nxnyyxfnf ： (3.38)(3.38) (3.39a) (3.39a)0,0(1fnf 對(duì)于對(duì)于m mn n的圖像和二維離散傅里

21、葉變換對(duì)的一般定的圖像和二維離散傅里葉變換對(duì)的一般定義式義式(3.26)(3.26)和和(3.27)(3.27)，f(u,vf(u,v) )的周期性定義為：的周期性定義為： ( (m,nm,n=0,=0,1, 1, 2,2,） (3.40)(3.40),(),(nnvmmufvuf 設(shè)設(shè)f(x,yf(x,y) )為實(shí)函數(shù)，則其傅里葉變換為實(shí)函數(shù)，則其傅里葉變換f(u,vf(u,v) )具有共具有共軛對(duì)稱性：軛對(duì)稱性： (3.41) (3.41) (3.42) (3.42),(),(vufvuf| ),(| ),(|vufvuf 對(duì)于對(duì)于m mn n的圖像的圖像f(x,yf(x,y) )和二維離

22、散傅里葉變換對(duì)的和二維離散傅里葉變換對(duì)的一般定義式一般定義式(3.26)(3.26)和和(3.27)(3.27)，若設(shè)用符號(hào)，若設(shè)用符號(hào) 表示函數(shù)表示函數(shù)與其傅里葉變換的對(duì)應(yīng)性，則傅里葉變換的平移性可表與其傅里葉變換的對(duì)應(yīng)性，則傅里葉變換的平移性可表示為：示為： (3.43) (3.43) (3.44) (3.44),()(2exp),(0000vvuufnyvmxujyxf),()(2exp),(0000yyxxfnvymuxjvuf式式(3.43)(3.43)說明，給函數(shù)乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)說明，給函數(shù)乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其變換后的傅里葉頻譜在頻率域進(jìn)行平移。式于把其變換后的傅里葉

23、頻譜在頻率域進(jìn)行平移。式(3.44)(3.44)說明，給傅里葉頻譜乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于說明，給傅里葉頻譜乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其反變換后得到的函數(shù)在空間域進(jìn)行平移。把其反變換后得到的函數(shù)在空間域進(jìn)行平移。 設(shè)設(shè)f(x,yf(x,y) )是一幅大小為是一幅大小為m mn n的圖像，根據(jù)離散傅立的圖像，根據(jù)離散傅立葉變換的周期性公式葉變換的周期性公式(3.40)(3.40)： 有：有： (3.45) (3.45),(),(nnvmmufvuf),(| ),(|nvmufvuf| ),(| ),(|vufvuf),(| ),(|vnumfvuf 根據(jù)根據(jù)(3.46)(3.46)，對(duì)于，對(duì)于u

24、=0u=0：當(dāng)當(dāng)v=0v=0時(shí)：時(shí)：| ),(|) 0 , 0 (nmff| ) 1,(|) 1 , 0 (nmff| ) 2,(|) 2 , 0 (nmff) 2/,() 2/, 0 (nmfnf0 0n/2n/2n nm mm/2m/2(m,n)(m,n)(m/2,n/2(m/2,n/2)a ab bc cd dvu(m/2,n)(m/2,n)(m,n/2)(m,n/2) 同理，對(duì)于同理，對(duì)于v=0v=0：當(dāng)當(dāng)u=0u=0時(shí)：時(shí)：| ),(|) 0 , 0 (nmff| ), 1(|) 0 , 1 (nmff| ), 2(|) 0 , 2(nmff), 2/() 0 , 2/(nmfmf0

25、 0n/2n/2n nm mm/2m/2(m,n)(m,n)(m/2,n/2(m/2,n/2)b bc cvu(m/2,n)(m/2,n)(m,n/2)(m,n/2) 圖圖3.43.4和圖和圖3.53.5是原點(diǎn)坐標(biāo)位于是原點(diǎn)坐標(biāo)位于(0,0)(0,0)的圖像的傅的圖像的傅里葉變換頻譜關(guān)于里葉變換頻譜關(guān)于(m/2,n/2)(m/2,n/2)對(duì)稱的兩個(gè)例子。對(duì)稱的兩個(gè)例子。 圖圖3.4 / 3.4 / 圖圖3.5 3.5 關(guān)于關(guān)于(m/2,n/2)(m/2,n/2)對(duì)稱示例對(duì)稱示例1 / 1 / 示例示例2 2 (a) (a) 圖像圖像 (b)(b)圖像的原頻譜圖圖像的原頻譜圖 (a) (a) 圖

26、像圖像 (b)(b)圖像的原頻譜圖像的原頻譜圖圖 (0,0(0,0）(m/2,n/2(m/2,n/2）vuvu0 0n nm m(m,n(m,n）yx0 0n nm m(m,n(m,n）vu 對(duì)于式對(duì)于式(3.43):(3.43):當(dāng)當(dāng)u u0 0=m/2=m/2，v v0 0=n/2=n/2時(shí)，有時(shí)，有也即也即),()(2exp),(0000vvuufnyvmxujyxf)22(2exp)(2exp00nynmxmjnyvmxuj)()()(yxjyxjee)()() 1()sin(cosyxyxj) 2/, 2/() 1(),()(nvmufyxfyx),() 1()(yxfyx 先用先用

27、(-1)(-1)(x+y)(x+y)乘以圖像得乘以圖像得(-1)(-1)(x+y)(x+y)f(x,y)f(x,y)；然后對(duì)；然后對(duì)其進(jìn)行傅里葉正變換得到原點(diǎn)在其進(jìn)行傅里葉正變換得到原點(diǎn)在(m/2,n/2)(m/2,n/2)之處的之處的f(u,vf(u,v) )；接著根據(jù)圖像的頻率特性，利用有關(guān)的低通頻；接著根據(jù)圖像的頻率特性，利用有關(guān)的低通頻率濾波器，或高通頻率濾波器等，對(duì)其進(jìn)行濾波處理；率濾波器，或高通頻率濾波器等，對(duì)其進(jìn)行濾波處理；再將處理的結(jié)果進(jìn)行傅里葉反變換；最后給反變換的結(jié)再將處理的結(jié)果進(jìn)行傅里葉反變換；最后給反變換的結(jié)果再乘以果再乘以(-1)(-1)(x+y)(x+y)就可得到最

28、終的結(jié)果。就可得到最終的結(jié)果。 去除圖像噪聲、圖像數(shù)據(jù)壓縮、圖去除圖像噪聲、圖像數(shù)據(jù)壓縮、圖像識(shí)別、圖像重構(gòu)和圖像描述等。像識(shí)別、圖像重構(gòu)和圖像描述等。 3.3 3.3 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換-自學(xué)自學(xué) 3.4 3.4 離散余弦變換離散余弦變換 函數(shù)的偶對(duì)稱性使函數(shù)的偶對(duì)稱性使dctdct只有實(shí)數(shù)域變換結(jié)果，不只有實(shí)數(shù)域變換結(jié)果，不再涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算簡(jiǎn)單，費(fèi)時(shí)少；再涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算簡(jiǎn)單，費(fèi)時(shí)少； 與人類視覺系統(tǒng)特性相適應(yīng)；與人類視覺系統(tǒng)特性相適應(yīng)； 設(shè)設(shè)f(xf(x) )為一實(shí)數(shù)離散序列，如圖為一實(shí)數(shù)離散序列，如圖3.11(a)3.11(a)。f(xf(x) )0 1 2 2

29、 m-1x(a(a）-(m-1)-1/2-(m-1)-1/2 - -2-1/22-1/2 - -1-1/21-1/2 - -1/21/2 0 0 1/21/2 1+1/21+1/2 2+1/2 2+1/2 m-1+1/2m-1+1/2x(b(b） 將將(a)(a)延拓為偶對(duì)稱序列，如圖延拓為偶對(duì)稱序列，如圖3.11(b)3.11(b)。 則有：則有：-(m-1)-1/2-(m-1)-1/2 - -2-1/22-1/2 - -1-1/21-1/2 - -1/21/2 0 0 1/21/2 1+1/21+1/2 2+1/2 2+1/2 m-1+1/2m-1+1/2x(b(b）21212121212

30、11-1)21() 1( ,1 ,)21()(）（，對(duì)于對(duì)于mxxfmxxfxfs)22exp()(21)(2/ 112/ 1) 1(mxujxfmufmmxss)22exp()(21)22exp()(212/ 112/ 12/ 12/ 1) 1(mxujxfmmxujxfmsmxmxs)exp()(21)exp()(21)(2/ 112/ 12/ 112/ 1mxujxfmmxujxfmufmxsmxss)exp()(21)exp()(21)(2/ 112/ 12/ 112/ 1mxujxfmmxujxfmufmxsmxss)sin()()(cos(21)(2/112/1mxuimxuxfm

31、ufmxss)sin()cos()(212/ 112/ 1mxuimxuxfmmxs)cos()(222/112/1mxuxfmmxs)(cos)21(2)(2/112/1mxuxfmufmxs)(cos)21(2)(2/112/1mxuxfmufmxs)2)12(cos)(2)(10muxxfmufmxs)2)12(cos)(2)(10muxxfmufmxs)2) 12(cos)()(2)(10muxxfukmufmx1, 2 , 11021)(muuuk 10)(1)0(mxxfmf)2) 12(cos)(2)(10muxxfmufmx)2) 12(cos()(2),(muxukmuxpm

32、mmmmmmmmmmmp2) 1)(12 (cos2) 1( 3cos2) 1(cos2) 12 (cos23cos2cos2121212ipppptt)2) 12(cos)()(2)(10mxuufukmxfmu1, 2 , 11021)(muuukfpffpft)3()2() 1 ()0(271. 0653. 0653. 0271. 0500. 0500. 0500. 0500. 0653. 0271. 0271. 0653. 0500. 0500. 0500. 0500. 0)3()2() 1 ()0(ffffffff)3()2() 1 ()0(271. 0500. 0653. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0)3()2() 1 ()0(ffffffff y y n-1 n-1n n(0,0)(0,0)x xn-1n-1n n(-1,-1)(-1,-1)0, 0) 1, 1(0,) 1,(0, 0), 1(0, 0),(),(yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfyxfs 可見可見,2n,2n2n2n的新的新圖像的對(duì)稱中心位于圖像的對(duì)稱中心位于圖像中紅色的細(xì)十字