高中數(shù)學 漸開線及擺線 張濤

1、內(nèi)容內(nèi)容描述描述知識點名稱漸開線與擺線課程內(nèi)容1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程。2.了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程。教學設(shè)計激趣導入激趣導入：探究引入，把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上：探究引入，把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上,在在 繩的外端系上一支鉛筆繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊將繩子拉緊,保持繩保持繩 子與圓相切而動，看子與圓相切而動，看能畫出什么樣的曲線。能畫出什么樣的曲線。知識新授知識新授：漸開線的定義及參數(shù)方程，擺線的定義及參數(shù)方程。：漸開線的定義及參數(shù)方程，擺線的定義及參數(shù)方程。練習鞏固練習鞏固：練習求漸開線的參數(shù)方程。：練習求漸開線的參數(shù)方程。課堂小結(jié)課堂小結(jié)：1 1、圓

2、的漸開線，漸開線的參數(shù)方程、圓的漸開線，漸開線的參數(shù)方程 2 2、平擺線、擺線的參數(shù)方程、平擺線、擺線的參數(shù)方程漸開線與擺線主講教師：張濤1、漸開線、漸開線設(shè)開始時繩子外端位于點A，當外端展開到點M時，因為繩子對圓心角 的一段弧AB，展開后成為切線BM，所以切線BM的長就是弧AB的長，這就是動點滿足的幾何條件。我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓。OABM( , )( cos,sin)(cos,sin),OOAxrMx yMBrrBMxryrBMr我們以基圓圓心 為原點， 直線為 軸， 建立平面直角坐標系， 設(shè)基圓的半徑為 ， 繩子外端的坐標為， 顯然， 點由角唯一確

3、定。取為參數(shù)，則點的坐標為從而數(shù)方程。這就是圓的漸開線的參為參數(shù)解得以同方向的單位向量，所是與向量位向量，因而向量同方向的單是與由于向量)()cos(sin)sin(cos)cos,)(sin()sin,cos()()cos,(sin)sin,(cos221ryrxrryrxerBMBMeOBe個結(jié)論為什么成立嗎這一結(jié)論，你能說明這”有相同方向與向量“向量數(shù)方程的過程中用到在探究圓的漸開線的參思考：BMe)cos,(sin2注意：注意： 4.基圓內(nèi)無漸開線基圓內(nèi)無漸開線 3.漸開線的形狀取決于基圓的大小漸開線的形狀取決于基圓的大小1.發(fā)生線發(fā)生線BM沿基圓滾過的長度等沿基圓滾過的長度等于基圓上

4、被滾過的圓弧長度。于基圓上被滾過的圓弧長度。 2.漸開線上任意點的法線恒與基圓相切。漸開線上任意點的法線恒與基圓相切。 2、擺線、擺線思考：如果在自行車的輪子上噴一個白色印記, 那么當自行車在筆直的道路上行駛時, 白色印記會畫出什么樣的曲線？3.532.521.510.5-0.5-1-1.5-1123456OABMDCBMOMAOAMAOArMBM假設(shè) 為圓心， 圓周上的定點為， 開始時位于 處，圓在直線上滾動時， 點繞圓心作圓周運動， 轉(zhuǎn)過角后， 圓與直線相切于點 ， 線段的長等于弧的長， ， 這就是圓周上的定點在圓 沿直線滾動過程中滿足的幾何條件， 我們把點的軌跡叫做平擺線， 簡稱擺線，

5、又叫旋輪線。,( , )sincos(sin)xMrMxABMABxC DMx yMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr我們?nèi)《ㄖ本€為 軸， 定點滾動在定直線上的一個位置為原點， 建立直角坐標系， 設(shè)圓的半徑為設(shè)開始時定點在原點， 圓滾動了 角后與軸相切于點 ， 圓心在點 ， 從點分別作，軸的垂線， 垂足分別為 ， ， 設(shè)點的坐標為取 為參數(shù)，根據(jù)點滿足的幾何條件所以，擺線的參數(shù)方程為()(1cos)yr為參數(shù)(1)思考：在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值范圍是什么？一個拱的寬度與高度各是多少？0,)2,2 ()rrr參數(shù) 的取值范圍是一個拱的寬度是高度是其中 是滾動圓的半徑例例1.有一標準的漸開線齒輪，齒輪的有一標準的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為齒廓線的基圓直徑為22mm,求齒廓所求齒廓所在的漸開線的參數(shù)方程。在的漸開線的參數(shù)方程。解：因為基圓的直徑為解：因為基圓的直徑為22mm，所以，所以基圓的半徑為基圓的半徑為11mm，因此齒廓線的，因此齒廓線的漸開線的參數(shù)方程為：漸開線的參數(shù)方程為：X=11 (cos + sin )Y=11(sin cos)（為參數(shù)）為參數(shù)）練習鞏固：例例2.當當= ， 時，求出漸開線時，求出漸開線42X=cos + sin Y=sin cos上的對應點上