2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖教學(xué)案含解析新人教A版

1、- 1 -第第 1 1 節(jié)節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖考試要求1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.知 識 梳 理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行

2、四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等， 垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為 45(或 135)，z軸與x軸、y軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段- 2 -在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方

3、、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等.在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.(3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.2.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.診 斷 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)有

4、兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)用斜二測畫法畫水平放置的a時(shí)，若a的兩邊分別平行于x軸和y軸，且a90，則在直觀圖中，a45.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放置的a時(shí)，把x，y軸畫成相交成 45或 135，平行于x軸的線段還平行于x軸，平行于y軸的線段還平行于y軸，所以a可能為 45也可能為 135.(4)球的三視圖均相同，而圓錐的正

5、視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形， 其俯視圖為圓心和圓，正方體的三視圖不一定相同.答案(1)(2)(3)(4)- 3 -2.(新教材必修第二冊 p112t5 改編)一個(gè)菱形的邊長為 4 cm，一內(nèi)角為 60，用斜二測畫法畫出的這個(gè)菱形的直觀圖的面積為()a.2 3 cm2b.2 6 cm2c.4 6 cm2d.8 3 cm2解析直觀圖的面積為2432422 6(cm2).答案b3.(老教材必修 2p10b 組 t1 改編)如圖，長方體abcdabcd被截去一部分，其中ehad.剩下的幾何體是()a.棱臺b.四棱柱c.五棱柱d.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案c4.(20

6、20衡水中學(xué)聯(lián)考)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬 3 丈、長 4 丈，上棱長 2 丈，高 2 丈，問：它的體積是多少？”已知該楔體的正視圖和俯視圖如圖中粗實(shí)線所示，則該楔體的側(cè)視圖的周長為()a.3 丈b.6 丈c.8 丈d.(5 13)丈解析由題意可知該楔體的側(cè)視圖是等腰三角形，它的底邊長為 3 丈，相應(yīng)高為 2 丈，所以- 4 -腰長為2232252(丈)，所以該楔體側(cè)視圖的周長為 32528(丈).答案c5.(2019濟(jì)寧一中月考)如圖為某個(gè)幾

7、何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個(gè)幾何體為()a.圓錐b.三棱椎c.三棱柱d.三棱臺解析三由視圖可知，該幾何體是一個(gè)橫放的三棱柱，故選 c.答案c6.(2018全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選 a.答案a考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例 1】 (1)給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；直

8、角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a.0b.1c.2d.3- 5 -(2)給出下列命題：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號是_.解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；錯(cuò)誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平

9、行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.(2)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體abcda1b1c1d1中的三棱錐c1abc，四個(gè)面都是直角三角形；正確，由棱臺的概念可知.答案(1)a(2)規(guī)律方法1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解

10、決棱(圓)臺問題時(shí)，要注意“還臺為錐”的解題策略.【訓(xùn)練 1】 下列命題正確的是()a.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺b.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺c.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺d.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形- 6 -解析如圖所示，可排除 a，b 選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分.答案c考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖多維探究角度 1由幾何體的直觀圖判斷三視圖【例 21】 (2020衡陽模擬)如圖，正方體ac1的頂點(diǎn)a，b在平面上，ab 2，若

11、平面abcd與平面所成角為 30，由如圖所示的俯視方向，正方體ac1在平面上的俯視圖的面積為()a.2b.1 3c.2 3d.2 2解析依題意知，直線ab在平面內(nèi)，且平面與平面abcd所成的角為 30，與平面b1a1ab所成的角為 60，故所得的俯視圖的面積s2(cos 30cos 60)1 3.答案b規(guī)律方法由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.角度 2由三視圖判斷幾何體【例 22】 (2018全國卷)某圓柱的高為 2，底面周長為 16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)m在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為a，圓柱表面上的點(diǎn)n在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為b，則在此圓柱

12、側(cè)面上，從m到n的路徑中，最短路徑的長度為()a.2 17b.2 5c.3d.2解析由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的圓柱，該圓柱的高為 2，底面周長為 16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖所示，連接mn，則ms2，sn4，則從m到n的路徑中，最短路徑的長度為mnms2sn2 22422 5.故選 b.- 7 -答案b規(guī)律方法由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練 2】 (1)(角度 1)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e為棱bb1的中

13、點(diǎn)，過點(diǎn)a，e，c1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()(2)(角度 2) (2019恩施二模)某圓錐的母線長為 2，高為4 23，其三視圖如圖所示，圓錐表面上的點(diǎn)m在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為a，圓錐表面上的點(diǎn)n在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為b，則在此圓錐側(cè)面上，從m到n的路徑中，最短路徑的長度為()a.2b.2 2c. 82 3d.2 2 3解析(1)如圖所示，過點(diǎn)a，e，c1的截面為aec1f，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng) c 中的圖形.- 8 -(2)因?yàn)閳A錐的母線長為 2，高為4 23，所以底面半徑r224 23223，所以底面周長為 2r43，所以側(cè)面展開圖中扇形中心角為2r243

14、223，如圖所示，連接mn，則m到n的路徑中，最短路徑的長度為mn，在omn中，由余弦定理得mn2222222cos62 2 3.答案(1)c(2)d考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例 3】已知正三角形abc的邊長為a， 那么abc的平面直觀圖abc的面積為()a.34a2b.38a2c.68a2d.616a2解析如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，ababa，oc12oc34a， 在圖中作cdab于d，- 9 -則cd22oc68a.所以sabc12abcd12a68a616a2.答案d規(guī)律方法1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法， 其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成 45或 135)和“

15、二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖， 其面積與原圖形的面積的關(guān)系：s直觀圖24s原圖形.【訓(xùn)練 3】 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它的俯視圖的直觀圖是矩形o1a1b1c1，如圖，其中o1a16，o1c12，則該幾何體的側(cè)面積為()a.48b.64c.96d.128解析由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)四棱柱，因?yàn)樗母┮晥D的直觀圖是矩形o1a1b1c1，o1a16，o1c12， 所以它的俯視圖的直觀圖面積為 12， 所以它的俯視圖的面積為 24 2，所以它的俯視圖是邊長為 6 的菱形，棱柱的高為 4，故該幾何

16、體的側(cè)面積為 46496.答案ca 級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是()解析由圓柱切削后的幾何體及其正視圖知，截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖中右邊的輪廓線不可見，故用虛線表示，故選 b.答案b2.下列說法中，正確的是()- 10 -a.棱柱的側(cè)面可以是三角形b.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形c.正方體的所有棱長都相等d.棱柱的所有棱長都相等解析棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選項(xiàng) a 錯(cuò)誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，選項(xiàng) b 錯(cuò)誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長并不一定相等，選項(xiàng) d 錯(cuò)誤；易知選項(xiàng) c 正確.故選 c.答案c3.

17、用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為()a.12b.22c.23d.24解析設(shè)原矩形的長為a， 寬為b， 則其直觀圖是長為a， 高為b2sin 4524b的平行四邊形，所以s直觀s矩形24abab24.故選 d.答案d4.將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示.該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng) b 中的圖形.- 11 -答案b5.如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是平行四邊形，acb90，ab 2，pabc1，

18、則此幾何體的側(cè)視圖的面積是()a.14b.1c.32d.12解析由題知，bcac，bcpa，又acpaa，bc平面pac， 該幾何體的側(cè)視圖為直角三角形， 兩直角邊長分別等于pa的長與ac的長，ab 2，bc1，ac1pa，側(cè)視圖的面積s121112.答案d6.下列結(jié)論正確的是()a.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐b.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體c.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐d.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線解析如圖 1 知，a 不正確.如圖 2，兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則 b 不正確.若六棱錐的所有棱

19、長都相等， 則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知， 若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，c 錯(cuò)誤.由圓錐母線的概念知，選項(xiàng) d 正確.答案d7.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下面的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()- 12 -a.b.c.d.解析由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故正確.答案a8.(2020西安聯(lián)考)已知四棱錐sabcd的三視圖如圖所示，則圍成四棱錐sabcd的五個(gè)面中最大面的面積是()a.3b.6c.8d.10解析如圖，由三視圖知四棱錐sabcd的側(cè)面sad與底面abcd垂直，底面為矩形，矩形的相鄰兩邊長分別為

20、2，4，底面面積為 248.由正視圖可得該四棱錐的高為 3222 5，sad的面積為124 52 5.側(cè)面sab與側(cè)面scd為直角三角形，其面積均為12323.側(cè)面sbc為等腰三角形，底邊上的高為 （ 5）2223，sbc的面積為12436.圍成四棱錐sabcd的五個(gè)面中最大面的面積為 8.答案c二、填空題9.(多填題)如圖所示，圖是圖表示的幾何體的三視圖，其中圖是_，圖是_，圖是_(寫出視圖名稱).解析觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)其下層長為兩個(gè)小長方體的長，寬為兩個(gè)小長方體的寬，高為兩個(gè)小長方體的高.所以正視圖應(yīng)為，側(cè)視圖為，俯視圖為.- 13 -答案正視圖側(cè)視圖俯視圖10.有以下四個(gè)命題

21、：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).其中真命題的序號是_.解析命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題是錯(cuò)誤的；命題由棱臺的定義知是正確的.答案11.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為 4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)p出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)p處.若該小蟲爬行的最短路程為 4 3 m，則圓錐底面圓的半徑等于_ m.解析圓錐頂點(diǎn)記為o，把圓錐側(cè)面沿母線op展開成如圖所示的扇形

22、，由題意op4，pp4 3，則 cos pop4242（4 3）224412，又pop為pop一內(nèi)角，所以pop23.設(shè)底面圓的半徑為r，則 2r234，所以r43.答案4312.一水平放置的平面四邊形oabc，用斜二測畫法畫出它的直觀圖oabc如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為 1 的正方形，則原平面四邊形oabc的面積為_.- 14 -解析因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的24倍，且直觀圖的面積為 1，所以原圖形的面積為2 2.答案2 2b 級能力提升13.(2019泉州二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()a.圓弧b.拋物線的一部分c.橢圓的一部分d.雙曲線的一部分解析根據(jù)幾何體的三視圖，可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選 d.答案d14.(2020廣州月考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為()a.8b.4c.4 3d.4