小學(xué)的奧數(shù)面積計(jì)算綜合題型

1、第十八周 面積計(jì)算（一）專題簡(jiǎn)析：計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在已知條件與所求問(wèn)題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問(wèn)題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。圖形面積）簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算

2、這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 44 16（格）；右圖是 35的長(zhǎng)方形，它的面積是 35 15（格）.上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 542 10（格）；右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4428（格）.這里特別說(shuō)明，這兩個(gè)三角形的高線一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5 3 15（格）；右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是（4+7）4222（格）.上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一

3、個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：三角形面積= 底高2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1 右圖中bd長(zhǎng)是4，dc長(zhǎng)是2，那么三角形abd的面積是三角形adc面積的多少倍呢？解：三角形abd與三角形adc的高相同.三角形abd面積=4高2.三角形 adc

4、面積=2高2.因此三角形abd的面積是三角形adc面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，bd，de，ec的長(zhǎng)分別是2，4，2.f是線段ae的中點(diǎn)，三角形abc的高為4.求三角形dfe的面積.解： bc 2 4 2 8.三角形 abc面積= 8 4216.我們把a(bǔ)和d連成線段，組成三角形ade，它與三角形abc的高相同，而de長(zhǎng)是4，也是bc的一半，因此三角形ade面積是三角形abc面積的一半.同樣道理，ef是ae的一半，三角形dfe面積是三角形ade面積的一半.三角形 dfe面積= 1644.

5、例3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：abef也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與be一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是fe的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是febe2，它恰好是長(zhǎng)方形abef面積的一半.同樣道理，fecd也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形abcd面積的一半，也就是20122120.通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形abcd是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所

6、有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長(zhǎng)方形abcd面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形abcd（陰影部分）的面積是多少？解：把a(bǔ)和c連成線段，四邊形abcd就分成了兩個(gè)，三角形abc和三角形adc.對(duì)三角形abc來(lái)說(shuō)，ab是底邊，高是10，因此面積=4102 20.對(duì)三角形 adc來(lái)說(shuō)， dc是底邊，高是 8，因此面積=78228.四邊形 abcd面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形bef，線段ae3，df2，求三角形bef的面積.解：要直接求出三角形b

7、ef的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形 abe面積=362 9.三角形 bcf面積= 6（6-2）2 12.三角形 def面積=2（6-3）2 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：三角形 bef面積=66-9-12-312.例6 在右圖中，abcd是長(zhǎng)方形，三條線段的長(zhǎng)度如圖所示，m是線段de的中點(diǎn)，求四邊形abmd（陰影部分）的面積.解：四邊形abmd中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形dce與三角形mbe的面積，然后用長(zhǎng)方形abcd的面積減去它們，由此就可以求得四邊形abmd的面積.把m與c用線段連起來(lái)，將三角形dce

8、分成兩個(gè)三角形.三角形 dce的面積是 7227.因?yàn)閙是線段de的中點(diǎn)，三角形dmc與三角形mce面積相等，所以三角形mce面積是 723.5.因?yàn)?be 8是 ce 2的 4倍，三角形 mbe與三角形mce高一樣，因此三角形mbe面積是3.5414.長(zhǎng)方形 abcd面積=7（82）=70.四邊形 abmd面積=70-7- 14 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角（90度），還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，

9、如圖（a）.四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖（b）.一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖（a）知，它的面積是直角邊長(zhǎng)的平方2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方4例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是88232.這一個(gè)圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8 如右圖，

10、兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，a點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形abc是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 d，e，f，g.三角形abc的面積=2222.三角形abc，ade，efg都是等腰直角三角形.三角形abc的斜邊，與三角形ade的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ade面積=abc面積24.三角形efg的斜邊與三角形abc的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形efg面積=abc面積21.陰影部分的總面積是 415.例9 如右圖，已知一個(gè)四邊形abcd的兩條邊的長(zhǎng)度ad7，bc3，三個(gè)角的度數(shù)：角 b和d是直角，角a是45.求這個(gè)四邊形的面積.解

11、：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ade，切掉一個(gè)等腰直角三角形bce.因?yàn)閍是45，角d是90，角e是180-45-90 45，所以ade是等腰直角三角形，bce也是等腰直角三角形.四邊形abcd的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即772-33220.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線ac把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 a是 45，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼

12、睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10 在右圖 1115的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形（標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)），每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形（陰影部分）面積是多少？解：長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-114是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此中間小正方形邊長(zhǎng)=11-423.中間小正方形面積=3

13、3 9.如果把這一圖形，畫(huà)在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地（見(jiàn)圖），剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道長(zhǎng)-寬=1（米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊

14、長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.754+11 64（平方米）.64是88，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+寬=8（米）.因此長(zhǎng)=（81）2 4.5（米）.寬=8-4.53.5（米）.那么劃出的長(zhǎng)方形面積是4.514. 5（平方米）.例12 如右圖.正方形abcd與正方形efgc并放在一起.已知小正方形efgc的邊長(zhǎng)是6，求三角形aeg（陰影部分）的面積.解：四邊形aecd是一個(gè)梯形.它的下底是ad，上底是ec，高是cd，因此四邊形aecd面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2三角形adg是直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)dg=（

15、小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)），因此三角形adg面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2.四邊形 aecd與三角形 adg面積一樣大.四邊形ahcd是它們兩者共有，因此，三角形aeh與三角形hcg面積相等，都加上三角形ehg面積后，就有陰影部分面積=三角形ecg面積=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13 畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困

16、難的，我們通過(guò)扣除周圍正方形和直角三角形來(lái)計(jì)算.周圍小正方形有3個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 abcd是 68的長(zhǎng)方形，af長(zhǎng)是4，求陰影部分三角形aef的面積.解：三角形aef中，我們知道一邊af，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形aeb，底邊ab，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬，即bc的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形aeb的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形afb是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形aef

17、面積（三角形 aeb面積）-（三角形 afb面積）862-482 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 102的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 102的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁(yè)右圖

18、），草地部分面積（陰影部分）還是與原來(lái)一樣大小，因此草地面積=（16-2）（10-2） 112.例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形bce合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， abcd也是梯形，它和三角形bce合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形abcd的面積與陰影部分面積一樣大.梯形abcd的上底bc，是直角邊ad的長(zhǎng)減去3，高就是dc的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于梯形 abcd面積=（88-3）52 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容

19、易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 af，fe，ec都等于3， cb， bd都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形abc面積=（333）4218.三角形cde面積=（44） 3212.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分-四邊形bceg，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?af fe ec3，所以 agf， fge， egc是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)閏bbd4，所以cgb，bgd是兩個(gè)面積相等的三角形.2三角形dec面積= 22（三角形

20、gbc面積）2（三角形 gce面積）.三角形abc面積= （三角形 gbc面積）3（三角形gce面積）.四邊形bceg面積=（三角形gbc面積）（三角形gce面積）=（21218）58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18 如下頁(yè)左圖，abcg是47長(zhǎng)方形，defg是 210長(zhǎng)方形.求三角形 bcm與三角形 dem面積之差.解：三角形bcm與非陰影部分合起來(lái)是梯形abef.三角形dem與非陰影部分合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.（三角形bcm面積）-（三角形dem面積）=（梯形abef面積）-（兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和=（710）（42）2-（47 210）=3.例19 上右圖中，在長(zhǎng)方形

21、內(nèi)畫(huà)了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分，恰好是三角形abc與三角形cde的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形abc與三角形cde蓋住的部分，因此（三角形 abc面積）+（三角形cde面積）（134935）（長(zhǎng)方形面積）（陰影部分面積）.三角形abc，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬；三角形cde，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形abc面積，與三角形cde面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有陰影部分面積=13 49 35 97.例題1。181abcfedabcfed已知圖181中，三角形abc的

22、面積為8平方厘米，aeed，bd=bc，求陰影部分的面積。181【思路導(dǎo)航】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形aef的面積無(wú)法直接計(jì)算。由于ae=ed,連接df，可知saef=sedf（等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形bdf的面積。 因?yàn)閎d=bc，所以sbdf2sdcf。又因?yàn)閍eed，所以sabfsbdf2sdcf。 因此，sabc5 sdcf。由于sabc8平方厘米，所以sdcf851.6（平方厘米），則陰影部分的面積為1.623.2（平方厘米）。練習(xí)11、 如圖182所示，aeed，bc=3bd，sabc30平方厘米。求陰影部分的面積。2、 如圖183所示，ae=e

23、d，dcbd，sabc21平方厘米。求陰影部分的面積。aabcfeda3、 如圖184所示，deae，bd2dc，sebd5平方厘米。求三角形abc的面積。ffeedbccdb184183182例題2。兩條對(duì)角線把梯形abcd分割成四個(gè)三角形，如圖185所示，已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？bcdao612185【思路導(dǎo)航】已知sboc是sdoc的2倍，且高相等，可知：bo2do；從sabd與sacd相等（等底等高）可知：sabo等于6，而abo與aod的高相等，底是aod的2倍。所以aod的面積為623。因?yàn)閟abd與sacd等底等高 所以sabo6因?yàn)閟boc是sdoc

24、的2倍 所以abo是aod的2倍所以aod623。 答：aod的面積是3。練習(xí)21、 兩條對(duì)角線把梯形abcd分割成四個(gè)三角形，（如圖186所示），已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？2、 已知aooc，求梯形abcd的面積（如圖187所示）。bcdao3、 已知三角形aob的面積為15平方厘米，線段ob的長(zhǎng)度為od的3倍。求梯形abcd的面積。（如圖188所示）。bcdao4bcdao848188187186例題3。d四邊形abcd的對(duì)角線bd被e、f兩點(diǎn)三等分，且四邊形aecf的面積為15平方厘米。求四邊形abcd的面積（如圖189所示）。fae189cb【思路導(dǎo)航】由于e、

25、f三等分bd，所以三角形abe、aef、afd是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形bec、cef、cfd的面積也相等。由此可知，三角形abd的面積是三角形aef面積的3倍，三角形bcd的面積是三角形cef面積的3倍，從而得出四邊形abcd的面積是四邊形aecf面積的3倍。 15345（平方厘米） 答：四邊形abcd的面積為45平方厘米。練習(xí)31、 四邊形abcd的對(duì)角線bd被e、f、g三點(diǎn)四等分，且四邊形aecg的面積為15平方厘米。求四邊形abcd的面積（如圖1810）。2、 已知四邊形abcd的對(duì)角線被e、f、g三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形abcd的面積（

26、如圖1811所示）。3、 如圖1812所示，求陰影部分的面積（abcd為正方形）。6eadaddega4ffgcbcbecb181218111810例題4。badco如圖1813所示，bo2do，陰影部分的面積是4平方厘米。那么，梯形abcd的面積是多少平方厘米？e1813【思路導(dǎo)航】因?yàn)閎o2do，取bo中點(diǎn)e，連接ae。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知sdbcscda；scobsdoa4，類推可得每個(gè)三角形的面積。所以， scdo422（平方厘米） sdab4312平方厘米 s梯形abcd12+4+218（平方厘米） 答：梯形abcd的面積是18平方厘米。練習(xí)41、 如圖1814所示，陰影部分面積是4平方厘米，oc2ao。求梯形面積。2、 已知oc2ao，sboc14平方厘米。求梯形的面積（如圖1815所示）。d3、 已知saob6平方厘米。oc3ao，求梯形的面積（如圖1816所示）。o