換元積分法第一類換元法

1、4.2換元積分法I 授課題目4.2換元積分法(第一類換元法)n 教學(xué)目的與要求：湊微分理解第一類換元法的基本思想，它實(shí)際上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆過程，其關(guān)鍵是d (x) (x)dx掌握幾種典型的湊微分的方法，熟練應(yīng)用第一類換元積分法求有關(guān)不定積分 川教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：第一換元法的思想，難點(diǎn)：熟練應(yīng)用第一換元法計算有關(guān)函數(shù)的不定積分IV 講授內(nèi)容：、第一類換元積分法設(shè)f (u)具有原函數(shù)F(u),f (u)du F(u) C .若u是中間變量，u(x),(x)可微，則根據(jù)10 / 101復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dF( (x)dxdFdudu dxf(u)乎dxf (x)(X)。所以根據(jù)不定積分的

2、定義可得:f (x) (x)dx F (x) cJ=x)Fu C f(u)du 以上是一個連等式可以改變順序從新寫一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一換元積分法。從以上可以看出,雖然 f (x) (x)dx是一個整體記號，但是被積表達(dá)式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來對待從而上式中的(x)dx可以看成是 (x)的微分，通過換元u (x)，應(yīng)用到被積表達(dá)式中就得到 (x)dx du .定理1設(shè)f (u)具有原函數(shù)F(u), u(x)可導(dǎo)，du(x)dx，則f (x) (x)dxf (u)du F(u) CF (x) C(1)如何應(yīng)用公式

3、(1)，在求不定積分積分g(x)dx 時如果被積函數(shù)g(x)可以化為一個復(fù)合函數(shù)與它內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的積的形式f (x) (x)的形式 那么g(x)dxf (x) (x)dx (x) u f (u)duF(u) Cu (x)F (x) C.所以第一換元積分法體現(xiàn)了湊”的思想.把被積函數(shù)湊出一個復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)函數(shù)的積f (X)(X)來.例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x3dx= e3x( 3x) dx，可設(shè)中間變量 u 3x，du d(3x)3dx 3dx du，所以有e3xdxe3x3dxeudu eu C e3x C .首先觀察被積函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是什么樣的，然后看是否有它的內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)

4、數(shù)，若沒有就去湊。cos2xdx11cos2xdx cos2x 2dx=-222x，顯然 du 2dx，11cos2x 2dx -22cos2 x (2 x) dx則 cos2xdx11cosudu sinu C sin2x C.22在比較熟練后，我們可以將設(shè)中間變量(x)的過程省略，從而使運(yùn)算更加簡潔。5例 3(3x 2) dx5解如將(3x2)展開是很費(fèi)力的，不如把3x 2作為中間變量,d(3x 2) 3dx，1 zodx= (3x3-dx3 2x1 1 dx= 3 2x 2 3 2x2例 52xex dx5(3x 2)2)53dx= (3x352) d(3x2)2)6 C .12dx=-

5、21H(32x)1In2|3 2x|2xex dxex (x2) dxex dx2ex2Cx2 dxx，1x2dx-(2x) ,1 x2 dx2.1 x2(1 x2)dx-.1 x2d(12x2)22 / 103u 1x21(1 x2)1 C.二、掌握幾種典型的湊微分”的方法1dx d(ax b)；axn 1dx d(xn b)nexdx d(ex)；1dx d(ln x)； xx 1 xa dx d(a )；ln acosxdx d (sinx)；sin xdx d (cosx)2sec xdxd (tan x)2csc xdx d (cot x)；secxtanxdx d (secx)；d

6、xC2d (arcsin x)笙 d(arctanx)。1 x2三、利用第一換元積分法法計算有關(guān)函數(shù)的不定積分計算有關(guān)函數(shù)的不定積分時，需要先把被積函數(shù)變形轉(zhuǎn)化，再利用第一換元積分法計算求 sin2 xdx2 1 1sin xdx (1 cos2x)dx2 2x 1 .sin 2x 24(cos2x)2dxdxdx_.a2 x2(a 0)dx. a2x21dx利用d(xn)nxn1dx，有如下例題1cos 2 xdx2（此題利用三角函數(shù)中的降幕擴(kuò)角公式）1x-d (_)1 (x)2axarcsi n C .a.1 sin dx例9求一x1解d(-)x.1 sin xdx xdxx1(sin)(

7、x12)dxx1 1(sin )( ) dxx x1 1sin d(-)x x1cos Cx10 / 109例 10 求 ex cosexdx解 ex cosexdx= cosexd(ex) sinex C.利用 d(ex) exdx , d(ax)ax ln adxdx11求xe習(xí)題4-2:2(30)dx1213dxx 2(e )dxdexx 2(e )-arctanex C. 1dx6x求4x 9dxdx6xdxd(ex 1)x In(ex 1) C .6x廠xdx9x眉x4x3 x(2)x2 dx(|)2x21(3)xd(l門arcta n(3)xC.In3 In 22此題利用d(ax)

8、ax 1 n adxF面幾個例題利用d(1n x)dxxdx例14求 xIn解理xIn x丄IdxIn x xIn xd(ln x) In In x C .又如習(xí)題4-2:2(16)dxx In x In In x4 / 10dx111解 x In x In In xdx1 1In In xIn xxd I n xIn In x In x1d In In xIn |InInx|C .In In x14例 15 求(21 n x 5) dxx112解(2ln x 5)4dx(2ln x 5)4 dxx2x1 415(2ln x 5) d(2ln x 5) (2ln x 5) C .2 10第一次

9、課可以講到這里.被積函數(shù)是分母是二次函數(shù)，分子是常數(shù)或一次函數(shù)的有理分式函數(shù)的不定積分的求法 (例16例22六個例題)dx例16求 -(a 0)分子是常數(shù)，分母是二次二項(xiàng)式，沒有一次項(xiàng)a x6 / 10dx_2 ax21,11*X1丄xdxd() -arcta nC.()2a 1(為2a aaa77 / 101117dx9x212x被積函數(shù)分母是一個完全平方式dx29x 12x 4 33(3x 2) C .13dx(3x 2)被積函數(shù)分母是一個完全平方式，被積函數(shù)化為12 dx= 1(ax b) a1d(ax b)(ax b)例18dx4x2 4x 17dx4x2 4x 17分子是常數(shù)，分母是

10、二次三項(xiàng)式，不是完全平方式dx116 (2x 1)21612x 11xd( )- arc ta n(1 (2x 1)2482(4被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且不可以分解因式，不是完全平方式時可以把分母配方化為2 1 (ax b)c的形式，然后利用 2dx arcta nx C1 x練習(xí)：求 x1 一 dx (第一換兀積分法分)2x 52解 x 2x 5(x 1)2 4，dx2(x2 2x 5)(x 1)24dx=4例1911 (j2+ dx求-x x1 1二一 arcta n21 2 xx 12_ dx2 x12分子是常數(shù),分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式(x 3)(x 4)7x4x3d(x 4)x

11、 12丄7丄(丄7x41 d(x x 31)dxx 313)-ln7|x1 . 1 dx 一 x 4714 | In | x7-dxx 31x 43| C In | C.7x 3被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式，被積函數(shù)可以用裂項(xiàng)法轉(zhuǎn)化為兩個簡單分式的差c(X a)(x b)c 1a b (x a)1 (x b)x例20求2dx分子是一次多項(xiàng)式，分母是二次多項(xiàng)式1 x解 d (x21) 2xdx亠dx 11 x22半dx1 x2d(x21)In(x2 1) C.2例21求x解:d(x22x2xxx2 2x10)(2x 2)dx，dx102x 22x22xdx10x-2x122x 102x

12、x2x 222xdx102x 1012-dxx2 2x 10d(x2 2x 10)x2 2x101l n(x2 2x 10)dxx2 2x 10iln(x22x10)(x 1)2 9dx被積函數(shù)分子是一次多項(xiàng)式， 下面幾個例題利用三角函數(shù)的微分公式:, 1 2-dx ln (x2 2x 10)21 21x 1arcta n 33分母是二次多項(xiàng)式時，首先把分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)d(sin x) cosxdx ； d(cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)csc2 xdx例22求 tan xdx(化切為弦)tan xdx= sinxdx= cosxsin

13、x ,dxcosx1d(cosx) cosxIncos例23求 tan3 xdxtan3 xdxtan x(sec2 x21)dx tan xsec xdxsin x dx cosxtan xd(tan x)1d (cosx)cosx1 2tan x ln cosx2例 24 求 cscxdx10 / 10171cscxdx= dx=sin xdx2sin - cos-2 212 x cos 一2dx .x sin2 2xcos-2sec2x2xdtan2Ldtanx2xIn |tan-|C.因?yàn)閤tan2.x sin2x cos_22 x2sin _2x x2sin cos_2 22sin2

14、r2sin xcosxcscx cotx.sin x|ta n-|2 此題用三角萬能公式代換也可以所以cscxdx InIn | cscxcot x | C .cscxdx=dxt tan ?sin xUdt1x-dtIn |t | C In | tan |t2C.1dx sin(x T)sec(x -2)d(x 2)例 25 求 secxdx加1解 secxdx dxcosxIn |csc(x -2) cot(x T) |C In |secxtanx| C .secxdx In |secx tanx|例26求cos3x cos2xdx （利用三角函數(shù)積化和差公式）和差化積公式sinsin2

15、si ncos22sinsin2 cossin22 ；coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22解 根據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式：cos3x積化和差sin1)si n()cossi n(2cossinsi n(2)si n()coscos1cos(2)cos()sinsin1cos(2)cos()1cos2x (cos5xcosx)2cos3x cos2xdx cos5x cosxdx21 111 cos5xd5x cosxdx sin 5x sin x C .10 2 10 2由以上例題可以看出，第一換元積分法是一種非常靈活的計算方法，始終貫穿著湊微分”思想,因此學(xué)生應(yīng)

16、熟悉這些基本例題。V 歸納總結(jié)1第一換元法是把被積函數(shù)g(x)湊成f (x) (x)的形式然后應(yīng)用公式f (x) (x)dxuf (u)du F u C F (x) C ;2.要熟練掌握幾種典型的湊微分”的方法。dx 丄d(ax b) ; xn a1dxnd(xn b) ; exdx d(ex);1dx d(lnxx)；axdx7-d(ax);ln acosxdx d (sin x)；sin xdx d (cos x) ； sec2 xdxd (tan x)；csc2 xdxd(cot x)；secxtanxdx d (secx)； 訥dx 2 d (arcsin x) xdx1 x2d (arctan x).3熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計算的不定積分1 1 122 dx; 二 2 dx;2dx ;a