電路分析小論文

1、類比法在電路分析中的應(yīng)用f0903003 5090309181 鄭家驍摘要：本論文討論了類比其他物理模型，從而簡(jiǎn)化高階電路分析的可行性與具體實(shí)現(xiàn)方法。然后討論通過類比特定電路模型解決其他問題的方法關(guān)鍵詞：類比法 電路分析 機(jī)械振動(dòng) 光速前言：眾所周知，電路分析的基本方法是根據(jù)電路元件的拓?fù)潢P(guān)系和kvl，kcl定律，列出方程，再結(jié)合支路元件的電氣特性進(jìn)行求解。而動(dòng)態(tài)元件的出現(xiàn)將會(huì)導(dǎo)致列出的方程可能包含高階微分項(xiàng)，給求解帶來麻煩。而恰當(dāng)使用類比法，就可以將復(fù)雜的高階電路轉(zhuǎn)化成相對(duì)簡(jiǎn)單的物理模型進(jìn)行求解正文：1） 類比機(jī)械振動(dòng)求解高階電路響應(yīng)首先我們可以從一個(gè)簡(jiǎn)單但是典型的例子入手探討求解的方法。如

2、圖是一個(gè)沒有激勵(lì)源的rlc串聯(lián)回路，試求其零輸入響應(yīng)。這個(gè)電路對(duì)應(yīng)電路方程是二階齊次微分方程：（取電容帶電量q為因變量） 圖1 rlc串聯(lián)電路 qc+ld2qdt2+rdqdt=0 (1)求解這個(gè)方程是有一定難度的。-bv下面我們?cè)倏次覀冚^為熟悉的物理模型：彈簧振子機(jī)械振動(dòng)。如圖是一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)，取向右為正方向，假定振子系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)還受到與速度方向相反，大小正比于速度大小的阻力bv，則根據(jù)牛頓第三定律，其力學(xué)方程可寫為：圖2 彈簧振子系統(tǒng) -kx-bdxdt=md2xdt2化簡(jiǎn)可得：md2xdt2+bdxdt+kx=0 (2)比照（1）（2）兩式，不難發(fā)現(xiàn)，若令k=1c，m=l，r=b，x=

3、q，則兩個(gè)方程完全相等，所以這種形式的振子系統(tǒng)和rlc串聯(lián)電路完全可以一一對(duì)應(yīng)起來。根據(jù)我們非常熟悉的力學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，阻尼振子運(yùn)動(dòng)方程的解為：令0=km =b2ma) 欠阻尼情況：當(dāng)202時(shí)x=a0e-tcost+ (3)式中=02-202時(shí)x=c1e-(-2-02)t+c2e-(+2-02)t (4)c) 臨界阻尼情況：當(dāng)2=02時(shí)x=c1+c2te-t (5)不失代表性，本文僅討論欠阻尼情況下的解，其他情況類似，讀者可自行討論。令k=1c，m=l，r=b，x=q，代入（3）式，可得q=q0e-r2ltcos1lc-b24m2+ (6)兩側(cè)同除以c可得：uc=uc0e-r2ltcos1lc-b

4、24m2+ (7)這個(gè)式子與我們使用經(jīng)典法解出的表達(dá)式結(jié)論是一樣的。以上只是最簡(jiǎn)單的電路，那么如果電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更加復(fù)雜一些又該怎么樣呢？我們可以在rlc電路中再串聯(lián)進(jìn)一個(gè)電感，記為l，顯然，(1)式改寫為qc+(l+l)d2qdt2+rdqdt=0 (8)而若在彈簧振子模型中振子的另一端再連接一個(gè)一端固定的彈簧k，(2)式改寫為(m+m)d2xdt2+bdxdt+kx=0 (9)若想重新建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)滿足k+k= m+m，則m=k.可見若是在回路中添加串聯(lián)電感對(duì)應(yīng)著振子質(zhì)量的增加。同理，添加并聯(lián)電感對(duì)應(yīng)振子質(zhì)量倒數(shù)的增加；并聯(lián)電容對(duì)應(yīng)振子勁度系數(shù)增加，串聯(lián)電容對(duì)應(yīng)振子勁度系數(shù)倒數(shù)增加。當(dāng)然

5、，也可以選取回路中其他參量（例如電流）作為因變量，此時(shí)對(duì)應(yīng)構(gòu)建的振子模型參數(shù)與電路參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系將發(fā)生變化，在此不再贅述。類比法求解電路方程在電路比較簡(jiǎn)單的時(shí)候具有計(jì)算簡(jiǎn)便速度快的優(yōu)點(diǎn)，但是在電路較為復(fù)雜的時(shí)候由于對(duì)應(yīng)的振子模型難以構(gòu)建，或者即使構(gòu)建出來，振子模型也需要另外求解，因而并不適用。2） 類比電路求解其他物理模型：本文以求解光速為例，討論類比電路在求解其他物理模型時(shí)的應(yīng)用。我們先來看一個(gè)電路模型：如圖是一個(gè)無限長(zhǎng)lc網(wǎng)絡(luò)，角頻率為的交流電電流波沿著它傳播，相鄰兩電容上的交流電相移為因網(wǎng)絡(luò)無限，由對(duì)稱性各電容電感電參量幅值均相等，可記作ucn=u0sint-nucn+1=u0sint-

6、(n+1)假設(shè)電流向右傳播，最左端n=0，由于網(wǎng)絡(luò)中沒有阻性元件，可得到：uc0=u0sintic0=i0costul0=u0costil0=i0sint則圖中icn=i0cost-n=cu0cost-n由kvl:ucn+uln-ucn+1=0uln=u0sint-n+1-sint-n =2u0sin2cos(t-n+12) iln=-2u0lsin2sin(t-n+12)由kcl：icn=iln-iln-1將前述結(jié)論代入cu0cost-n=2u0lsin2(sint-n-12-sint-n+12)ccost-n=4lsin22cost-n其對(duì)所有t恒成立，故：2lc=4sin22=2(1-c

7、os)=arccos(1-122lc)要求2lc2定義電流波的速度為某一相位在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離，則v=lt 又=t 得到v=l=larccos(1-122lc)眾所周知，電磁波傳播的速度與頻率無關(guān)，下面開始考慮什么情況下電流波傳播速度也與頻率無關(guān)。注意到1時(shí)，cos1-122，且cos=1-122lc得到lc1而此時(shí)，v=l=larccos(1-122lc)=llc現(xiàn)在我們將這個(gè)模型應(yīng)用與真空當(dāng)中，如圖是兩塊平行載流平面，現(xiàn)在截取其高為h，長(zhǎng)為l，間距為d的一個(gè)區(qū)域。lhd顯然整個(gè)空間是由許許多多這樣的單元構(gòu)成。考慮一列平行于l方向的電磁波，首先令單元的尺度足夠小，使的滿足lc1，則前面討論的模型可以適用。求出正對(duì)面積間的電容，和假定兩平面載流線