2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(綜合)

1、一、溫故知新一、溫故知新( (一一) ) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)，到定點平面內(nèi)，到定點F的距離與到定直線的距離與到定直線l的距離的距離比為常數(shù)比為常數(shù)e的點的軌跡的點的軌跡,當(dāng)當(dāng)e1時，是時，是雙曲線雙曲線 .當(dāng)當(dāng)0e0) (2)開口向左開口向左 y2 = -2px (p0)(3)開口向上開口向上 x2 = 2py (p0) (4)開口向下開口向下 x2 = -2py (p0)CMFle=1H 在平面內(nèi)在平面內(nèi),與一個定點與一個定點F和和一條定直線一條定直線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點F)的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋拋物線物線.點點F叫拋物線的叫拋物線的焦點焦

2、點,直線直線l 叫拋物線的叫拋物線的準(zhǔn)線準(zhǔn)線d 為為 M 到到 l 的距離的距離準(zhǔn)線準(zhǔn)線焦焦點點d的軌跡是拋物線。則點若MMNMF, 1標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形圖形焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0,)2pF2px(0,)2pF(,0)2pF 2px 2py 2py 1拋物線x24y上一點A的縱坐標(biāo)為4，則點A與拋物線焦點的距離為()A2 B3C4 D5v解析：點A與拋物線焦點的距離就是點A與拋物線準(zhǔn)線的距離，即4(1)5.v答案：D答案：Byox)0,2(pFP(x,y)一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)

3、幾何性質(zhì)拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。延伸。1、范圍范圍由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy 由于點由于點 也滿也滿足足 ，故拋物線，故拋物線(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、對稱性、對稱性yox)0,2(pFP(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的的頂點

4、頂點。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時時,x=0, 因此拋物線的頂點頂點就是坐標(biāo)原點（0，0）。注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有雙曲線有兩個頂點不同。兩個頂點不同。、頂點、頂點離心率離心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 拋物線上的點與焦拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做距離之比，叫做拋物線拋物線的的離心率離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率為e=1.5、開口方向、開口方向yox)0,2(pFP(x,y)拋物線拋物線y2 =2px（p0）的開

5、）的開口方向向右?？诜较蛳蛴?。pyxpyxpxypxy22222222+X，x軸正半軸，向右軸正半軸，向右-X，x軸負(fù)半軸，向左軸負(fù)半軸，向左+y，y軸正半軸，向上軸正半軸，向上-y，y軸負(fù)半軸，向下軸負(fù)半軸，向下特點：特點：1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線一個焦點、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線

6、標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0,2(pFP(x,y)P越大開口越大開口越大越大方程圖形準(zhǔn)線焦點對稱軸)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF) 0 ,(2pF ), 0(2pF), 0 (2pF2px2px2yp2py x軸軸x軸軸y軸軸y軸軸ox xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl練習(xí)練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上）軸上） 方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線開口方向開口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1

7、 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開口向開口向右右開口向開口向左左開口向開口向上上開口向開口向下下（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1xyOFABy2=2px2p過焦點而垂直于對稱軸的弦過焦

8、點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的，稱為拋物線的通徑，通徑，利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通、通徑的兩個徑的兩個端點端點可較準(zhǔn)確可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特畫出反映拋物線基本特征的草圖征的草圖. pp,2 pp,2|AB|=2p通徑通徑5、2p越大，拋物線張口越大越大，拋物線張口越大.P越大越大,開口越開闊開口越開闊 1、已知拋物線的頂點在原點，對稱、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸為x軸，焦點在直線軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那上，那么拋物線通徑長是么拋物線通徑長是 . 2、一個正三角形的三個頂點，都在拋、一個正三角形的三個頂點，都在拋物線物線 上，其中一個頂點為坐標(biāo)上，

9、其中一個頂點為坐標(biāo)原點，則這個三角形的面積為原點，則這個三角形的面積為 。24yx1648 3課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的線的焦半徑焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑公式：焦半徑焦半徑6、xyOFPx0p/2焦半徑及焦半徑公式焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點到焦點的距離拋物線上一點到焦點的距離P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF 歸納歸

10、納: (1)、拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它、拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；也可以無限延伸，但沒有漸近線； (2)、拋物線只有一條對稱軸、拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心; (3)、拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條、拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；準(zhǔn)線； (4)、拋物線的離心率、拋物線的離心率e是確定的為是確定的為, 、拋物線的通徑為、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張越大，拋物線的張口越大口越大.因為拋物線關(guān)于因為拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點點，并且經(jīng)過點M M（，），（，

11、），22解解:所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因為點又因為點M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx例例3 3：已知拋物線關(guān)于：已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點點，并且經(jīng)過點M M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .22三、典例精析三、典例精析24yx作圖：作圖：(1)列表列表（在第一象限內(nèi)列表）（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點：描點：022.83.54(3)連線：連線：11xyO課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：求適合下列條件的拋物

12、線的方程：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點在原點，焦點頂點在原點，焦點F F為（為（0 0，5 5）; ;（2）頂點在原點，關(guān)于頂點在原點，關(guān)于x x軸對稱軸對稱, ,并且并且經(jīng)過點經(jīng)過點M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2求滿足下列條件的拋物線的方程（1）頂點在原點，焦點是（0，4）（2）頂點在原點，準(zhǔn)線是x4（3）焦點是F（0，5），準(zhǔn)線是y5（4）頂點在原點，焦點在x軸上，過點A（2，4）練習(xí)yx162yx202xy162xy82（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)練習(xí)：頂點在坐標(biāo)原點，焦點在頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y y軸上，并且經(jīng)過點軸上，并且經(jīng)過點M

13、M（4,4,) )的的拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.AyxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)練習(xí)2 2：頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是X X軸，點軸，點M M（-5, )-5, )到焦點距離為到焦點距離為6 6, ,則則拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為52A探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。拋物鏡面：拋物線

14、繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點位置上，通過鏡面反射就變燈泡放在拋物線的焦點位置上，通過鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計原理。設(shè)計原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能經(jīng)過拋物線的焦點，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。的理論依據(jù)。例例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為位于拋物線的焦點處。已知燈

15、口圓的直徑為60cm，燈深，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置。，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面內(nèi)建立直所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系,使反射鏡使反射鏡的頂點與原點重合的頂點與原點重合, x軸垂直于燈口直徑軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得由條件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,245焦點為焦點為( ,0)845 1(2).lyk x 解：直線 的方程為x

16、yxky4)2(12由方程組244(21)0kyyk可得 只有一個公共點只有一個公共點200,16(21)0kkkk 或 11,0,2kk 或 或 k=有兩個公共點有兩個公共點2016(21)0kkk 110, 02kk 或沒有公共點沒有公共點2016(21)0kkk 11, 2kk 或11,0,2kkk 綜上所述 當(dāng)或或時,直線與拋物線只有一個公共點;11002kk 當(dāng)或時,直線與拋物線有兩個公共點;112kk 當(dāng)或時,直線與拋物線沒有公共點。24l例例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時，拱頂離時，拱頂離水面水面2米，水面寬米，水面寬4米米. 水下降水下降1

17、米后，水面寬多少？米后，水面寬多少？xoy若在水面上有一寬為若在水面上有一寬為2米米,高高為為1.6米米的船只，能否安全通過拱橋？的船只，能否安全通過拱橋？思考題思考題2BA（2,2）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距離為到水面的距離為1.5米米不能安全通過不能安全通過y=3代入得代入得26水面寬例題例題3 （1）已知點）已知點A（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點的距離是的焦點的距離是5，則，則P = 。 22(0)ypx p（2）拋物線）拋物線 的弦的弦AB垂直垂直x軸，若軸，若|AB|= ， 則焦點到則焦點到AB的距離為的距離為 。 24yx4 342（3）已知直線）

18、已知直線x-y=2與拋物線與拋物線 交于交于A、B兩兩 點，那么線段點，那么線段AB的中點坐標(biāo)是的中點坐標(biāo)是 。24yx(4,2) 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)34B有困難，找準(zhǔn)線！有困難，找準(zhǔn)線！35已知點已知點P在拋物線在拋物線y24x上，那么點上，那么點P到到點點Q(2，1)的距離與點的距離與點P到拋物線焦點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_ ) 1,41(有困難，找準(zhǔn)線！有困難，找準(zhǔn)線！有困難，找準(zhǔn)線！有困難，找準(zhǔn)線！6、已知、已知Q(4,0)，P為拋物線為拋物線 上任一點，上任一點，則則|PQ|的最小值為的最小值為( ) A. B. C. D

19、.21yx321021923C4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在直線焦點在直線x-2y-4=0上上.(2)焦點在軸焦點在軸x上且截直線上且截直線2x-y+1=0所得的弦長為所得的弦長為15.22168yxxy 或22124yxyx 或v解析：y24x，2p4，p2.v由拋物線定義知：|AF|x11，|BF|x21，v|AB|AF|BF|x1x22628.故選A.v答案：A【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】直線直線y ykxkx2 2與拋物線與拋物線y y2 28x8x有且只有一個公有且只有一個公共點，則共點，則k k的值為的值為( )( )（A A）1 1

20、 （B B）1 1或或3 3（C C）0 0 （D D）1 1或或0 0【解析解析】選選D.D.由由 得得kyky2 28y8y16160 0，若，若k k0 0，則則y y2 2，若，若k0k0，則，則0 0，即，即646464k64k0,0,解得解得k k1 1，此，此時直線時直線y ykxkx2 2與拋物線與拋物線y y2 28x8x有且只有一個公共點，綜有且只有一個公共點，綜上上,k,k0 0或或k k1.1.2ykx2,y8xDkk k0 0k = 0,k = 0,或或 =16 -16k = 0=16 -16k = 0k k = = 0 0, ,或或 k k = =1 1v題后感悟求

21、拋物線焦點弦長的一般方法v用直線方程和拋物線方程列方程組；v消元化為一元二次方程后，應(yīng)用韋達定理，求根與系數(shù)的關(guān)系式，而不要求出根；v若弦過焦點，則據(jù)定義轉(zhuǎn)化為x1x2|AB|p或y1y2|AB|p.結(jié)合中的結(jié)果可求解；v3.過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離 五、歸納總結(jié)五、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大，拋物線的張口越大越大.1、范圍：、范圍：2、對稱性：、對稱性：3、頂點：、頂點：4、離心率：、離心率：5、通徑：、通徑：6、光學(xué)性質(zhì)：、光學(xué)性質(zhì)： 從焦點出發(fā)的光線，通過拋物線反射就從焦點出發(fā)的光線，通過拋物線反