汽車租賃案例課件

1、 汽車租賃案例 摘要 汽車租賃業(yè)正在欣欣向榮地發(fā)展，本為就汽車租賃公司如何獲得最大利潤和保持“穩(wěn)態(tài)”經(jīng)營方案這些問題進行分析，建立線性規(guī)劃模型，給出最大利潤的經(jīng)營安排。對于問題一和問題二，我們從利潤出手，首先分析汽車的變化情況，然后對公司總收入及車輛的轉移費用、邊際成本、機會成本予以表示，最后再建立最大利潤的目標函數(shù)。再從公司的經(jīng)營方式入手，根據(jù)顧客對A,B,C,D四個租借點汽車的不同需求量和具有有限修理能力的B,C租借點的修理能力設立約束條件，建立線性規(guī)劃模型，利用 LINGO軟件對模型進行求解，得出該公司擁有505輛時利潤最大為108269元，且實現(xiàn)“穩(wěn)態(tài)”經(jīng)營。這時每天各個租借點的汽車安

2、排去下表：日期/租借點 A B C D星期一 70 178 311 68星期二 57 136 205 55星期三 61 142 257 71星期四 60 167 165 70星期五 137 144 195 83星期六 71 188 159 151 對于問題三，我們定義“不滿意度”，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)求出各個租借點的“不滿意度”，最后我們對四個租借點不滿意度的平均值進行比較，選擇“不滿意度”最高的租借點提高需求量。并且增加的需求量對公司的長期運轉影響不大。通過計算我們得出，需要在d租借點提高需求量來減少顧客的不滿意程度。 健壯性又稱魯棒性，對于問題四，我們需要改變原來數(shù)據(jù)來觀察數(shù)據(jù)的魯棒性。我們的

3、改動量為原數(shù)據(jù)的1%,4%,8%，然后定義改變前后對應決策變量差值的絕對值之和除以改變前決策變量值的和為，分析的變化情況，如果值越接近于1，說明該數(shù)據(jù)的健壯性越差，如果值越接近0，說明該數(shù)據(jù)健壯性越好。通過具體的計算分析，我們可以看出我們的模型的健壯性較好。對于問題五，我們首先分析出有九項方案可供使用，再分別用控制變量法對這九項方案進行討論分析，首先對單項方案的情況進行分析，選擇利潤最大的方案，在單項方案基礎上對兩項方案進行比較分析，然后對三項方案進行比較分析，比較最大利潤，選擇利潤最大的方案。經(jīng)過計算比較分析，我們得出選擇c方案時，公司獲得的利潤最大。關鍵詞 【線性規(guī)劃不滿意度利潤最大化穩(wěn)態(tài)

4、經(jīng)營控制變量法】 一、 問題重述一個小型的汽車租賃公司只提供一種類型的汽車，并提供以下四個租借點：A,B,C,D.需求對顧客租車的需求量有以下估計（公司每周開放從周一至周六，周日休息）：日期/租借點ABCD周一10015013583周二120230250143周三8022521098周四95195242111周五7012416099周六559611580車輛可以租借1天，2天或者3天，并于次日早上歸還至原租借點或其他任一租借點。例如于周四租借車輛2天，表示車輛必須于周六早歸還；再如周五租借汽車3天，表示于周二早上歸還車輛。周六租借汽車1天，則需次周一歸還，租借2天，則于次周二歸還。租期與原地點

5、及到達地點無關。通過以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，租期的分配為：55%的車輛被租借1天，20%租借2天，25%租借3天。當前的統(tǒng)計顯示了從各個租借點租借并歸還的比例如下：到達地點出發(fā)地點ABCDA60201010B1555255C15205411D8122753公司成本公司租賃一輛車的邊際成本（包括磨損費和經(jīng)營費）的估計如下： 租借1天 20英鎊 租借2天 25英鎊 租借3天 30英鎊其擁有一輛車的機會成本（包括資本，存放以及服務的利息）為每周15英鎊。轉移公司有可能會將完好無損的車輛（對比后面損壞的車輛）從一個租借點轉移到另一個租借點。不考慮當車子被轉移時不被租借的距離。轉移每輛車子的費用如下：（當天能不能

6、被租賃？瞬時完成還是有時間限制）到達地點出發(fā)地點ABCDA-203050B20-1535C3015-25D503525-注：-表示此轉移是不成立的。損壞的車輛顧客歸還的車輛中至少有10%是損壞的。當此情況發(fā)生時，顧客需要額外繳納100英鎊的罰金。只有兩個租借點有修理能力（容量）： B：12輛/天 C：20輛/天如果損壞的車輛被歸還到當天沒有修理能力的租借點，車輛會被轉移到有修理能力的租借點，并于次日予以維修。維修需要一天時間。修理好的汽車會被作為完好無損的車子。因此修理好的車子可能被從修理點（即 B/C修理點）租出或者轉移到另一租借點（像其他任何完好無損的車輛一樣，見上）。轉移一輛損壞的車輛同

7、轉移一輛完好無損的車輛的費用是一樣的。所以，例如，一輛于周三被歸還于A租借點的破損的車輛，在當天被轉移到任一有修理能力的租借點（B或者C），會于周四被修理，其后在周五或者于該租借點被租出，或者作為完好的車輛被轉移到其他租借點，并于周六在那里被租出。（轉移需要一天的時間？）如果一輛損壞的汽車被歸還到一個有修理能力的租借點，該車必須于此處維修；修理可以于歸還當天立即進行并完成，所以該車能夠在第二天被租出或者轉移到其他租借點（相關情況同上）。例如：一輛損壞的車輛于周三早上被歸還至B租借點（有修理能力的租借點），立即于當天在此修理，在周四或者在此地被租出，或者被轉移至其他租借點，并于周五在那里租出。價

8、格租賃價錢取決于租賃的時間長短以及是否歸還至原租借點。具體價格如下（以英鎊為單位）：歸還至原租借點歸還至另一租借點1天租期50702天租期701003天租期120150特別優(yōu)惠對于在周六租借車輛并與次周一歸還的顧客提供20英鎊的優(yōu)惠，并且這種租借被作為租期為1天的租賃。時間線在每個沒有修理能力的租借點，每天的開始我們會假設以下情況發(fā)生：1 顧客于應當歸還車輛的當天歸還車輛；2 損壞的車輛被送至修理點；3 從其他租借點轉移至該租借點的完好無損的車子到達；4 新的轉移被發(fā)出；5 車輛被租借給顧客們。在每個有修理能力的租借點，每天的開始我們會假設以下情況發(fā)生：1 顧客于應當歸還車輛的當天歸還車輛；2

9、 從其他租借點轉移至該租借點的完好無損的車子到達；3 于前一天修好的車輛準備被租出或者轉移至其他租借點；4 新的轉移被發(fā)出；5 車輛被租借給顧客們；6 損壞的車輛，無論來自其他租借點或者被歸還至此租借點，于上午進行維修。方案為了使每周的利潤最大化，公司希望獲得一個穩(wěn)態(tài)的方案，即在每周固定的日子，將固定預計數(shù)目的車輛安排于固定的租借點。1 公司需要擁有多少車輛？2 每天將車輛分別安排于哪個租借點？3 如果公司致力于在某一租借點提高需求量，哪個租借點最值得被選定？4 你認為你的模型與數(shù)據(jù)間的關系多健壯？（健壯性）5 公司在考慮如何最有效的擴大租借點的維修能力/容量。如下的每周固定成本包括擴建所需貸

10、款的利息支付：a. 于B租借點擴大維修服務，每天維修容量增加20輛車，則每周消耗固定成本25000英鎊b. 于B租借點進一步擴大維修服務，每天維修容量增加15輛車，則每周消耗固定成本增加18000英鎊c. 于C租借點擴大維修服務，每天維修容量增加25輛車，則每周消耗固定成本30000英鎊d. 于C租借點進一步擴大維修服務，每天維修容量增加20輛車，則每周消耗固定成本增加22000英鎊e. 于D租借點建立維修服務，每天維修容量為15輛車，則每周消耗固定成本20000英鎊如果以上任何方案被采用，則必須完全實施該方案，即不可是進行部分擴建。當進一步擴大方案被采用，前提必須是進一步擴建已經(jīng)完成。例如，

11、C租借點的方案（b）不可采用，除非方案（a）已經(jīng)選定。如果方案（b）被選定，那么方案（a）也必須被選擇，其共被算作2方案。一共最多可以選擇3項方案。二、 基本假設1.顧客按時歸還所借出的車輛。2.由于考慮的是最佳情況所以我們假設每次歸還的車輛損壞只有10%。3.轉移需要一天的時間。4.每次歸還和所租天數(shù)都和以往的統(tǒng)計相符合。5.所有損壞的車輛都能被修復。6.汽車租賃的價格不會改變。7.汽車租期與原地點及到達地點無關。8.顧客對汽車的品牌和新舊沒有要求。三、 符號說明 M公司汽車的總量M1 （j=1,2,3,4,5,6）表示第j天公司完好汽車的庫存量Sij（i=a，b，c，d）（j=1,2,3,

12、4,5,6）表示第i租借點在第j天的完好汽車庫存量Yij（i=a，b，c，d）（j=1,2,3,4,5,6）表示在i租借點在第j天歸還的汽車數(shù)量Lij （i=a，b，c，d）（j=1,2,3,4,5,6）表示在i租借點第j天租出去汽車的數(shù)量Tikj-1（i=a，b，c，d，k=a，b，c，d，其中ik）（j=1,2,3,4,5,6）表示從第i租借點轉移完好的到第k租借點的汽車數(shù)量Gij（i=b，c）（j=1,2,3,4,5,6）表示i租借點第j天維修汽車的數(shù)量M2（j=1,2,3,4,5,6）第j天該公司租憑汽車的總和M3（j=1,2,3,4,5,6）第j天該公司處于修理中的汽車數(shù)量M4（j=

13、1,2,3,4,5,6）該公司第j天各租借點轉移的汽車數(shù)量Bikj（i=a，d，k=b，c）（j=1,2,3,4,5,6）表示從i租借點到k租借點轉移損壞汽車的數(shù)量Wij （i=a，d）（j=1,2,3,4,5,6）表示第j天i修理點未能修理的車輛數(shù)TC公司成本C1表示邊際成本C2表示轉移費用C3表示機會成本 Qj維修能力為零的租借點的轉移維修車輛矩陣Tj轉移完好的汽車數(shù)量矩陣CT轉移費用矩陣R1每周的租金收入R2每周的罰金收入TR每周公司的總收入L每周總利潤四、 問題分析為了使每周的利潤最大化，公司希望獲得一個穩(wěn)態(tài)的方案。l 問題一在每周固定的日子，將固定預計數(shù)目的車輛安排于固定的租借點，所

14、以我們需要了解汽車的動態(tài)變化。在使每周利潤最大的情況下，求出公司需要擁有多少車輛，我們可用線性規(guī)劃進行建模求解，首先，建立求最大利潤的目標函數(shù)，然后根據(jù)決策變量：轉移費用、邊際成本、機會成本以及公司的收益建立約束條件，再用lingo進行求解。 利潤=收入-支出 為了維持穩(wěn)態(tài)，所以要使得公司不購入新車的情況下可以持續(xù)的運行下去，使得車輛每周的損壞車輛數(shù)目要與維修能力相當，為了了解我們公司的收益情況，所以我們需要分析汽車的變化情況。汽車的變化情況轉移得租賃的才維修的歸還的轉移完好的車輛轉移維修的車輛當天維修的車輛次日維修的車輛歸還完好的車輛歸還損壞的車輛l 問題二 根據(jù)問題一的求解過程即可得出問題

15、二的解，即每天將車輛分別安排于哪個租借點。l 問題三對于問題三，公司提高需求量是為了盡量滿足各個租借點顧客的需求，我們由此引出“不滿意度”這個量來衡量公司最值得在哪個租借點增加需求量，且不滿意度越高，公司越值得在該點增加需求量，由于顧客的不滿意度是由顧客一周的平均需求量（X1）,以及供求差以及供求差的方差（）決定的，定義“供求比例”：k=,當k的值大于0且小于1，表示該租借點供不應求，當k的值小于0，說明該租借點供大于求，當供大于求時，則不用考慮提高該點的需求量。很明顯可以看出顧客的不滿意程度與供求比例以及方差成正比，所以我們定義“不滿意度”：F=k* ，當F的值越大，說明顧客不滿意度越高，所

16、以我們對四個租借點滿意度的平均值進行比較，選擇F值最高的租借點提高需求量。并且增加的需求量對公司的長期運轉影響不大。l 問題四五、 模型的建立 模型一： 首先設定公司汽車的總量為M，且： M=M1+M2+M3+M4 i. 公司汽車的情況（1）求第j天公司完好汽車的庫存（j=1,2,3,4,5,6）： M1=Saj+Sbj+Scj+Sdj其中M1表示第j天公司完好汽車的庫存量，Sij（i=a，b，c，d）表示第i租借點在第j天的完好汽車庫存量。由于A,D兩租借點是沒有維修能力的，那么A,D兩點過完好車輛的進出情況應該一致，B,C兩點因具有維修能力，可以額外獲得維修好的汽車。所以，A,D有如下的表

17、達式：Saj= Saj-1+Yaj-10%*Yaj-Laj +Tbaj-1+Tcaj-1+Tdaj-1-Tabj-1+Tacj-1+Tadj-1Sdj= Sdj-1+Ydj-10%*Ydj-Ldj +Tbdj-1+Tcdj-1+Tadj-1-Tdbj-1+Tdcj-1+Tdaj-1s.t Saj0，Sdj0再求B，C兩租借點完好汽車的庫存情況：Sbj= Sbj-1+Ybj-10%*Ybj-Lbj +Tabj-1+Tcbj-1+Tdbj-1-Tbaj-1+Tcbj-1+Tbdj-1+GbjScj= Scj-1+Ycj-10%*Ycj-Lcj+Tacj-1+Tbcj-1+Tdcj-1-Tcaj-1

18、+Tcbj-1+Tcdj-1+Gcjs.t Sbj0，Scj0其中Yij（i=a，b，c，d）表示在i租借點在第j天歸還的汽車數(shù)量，Lij （i=a，b，c，d）表示在i租借點第j天租出去汽車的數(shù)量，Tikj-1（i=a，b，c，d，k=a，b，c，d，其中ik）表示從第i租借點轉移完好的到第k租借點的汽車數(shù)量，Gij（i=b，c）表示i租借點第j天維修汽車的數(shù)量。（2）第j天該公司租憑汽車的總和（j=1,2,3,4,5,6）： M2=55%Laj+Lbj+Lcj+Ldj+20%Laj-1+Lbj-1+Lcj-1+Ldj-1+25%Laj-2+Lbj-2+Lcj-2+Ldj-2(3)第j天該公

19、司處于修理中的汽車數(shù)量 M3=Wbj+Wcj+Babj-1+Bdbj-1+Bacj-1+Bdcj-1(4)該公司第j天各租借點轉移的汽車數(shù)量M4=Tabj+Tacj+Tadj+Tbaj+TbcjTbdj+Tcaj+Tcbj+Tcdj+Tdaj+Tdbj+Tdcj+ Babj+Bdbj+Bacj+Bdcjii. 每天歸還的汽車中受損汽車的情況由于A,D兩個租借點沒有修理能力，歸還到這兩個租借點的受損汽車必須當天轉移到有修理能力的B或C租借點進行修理，則：Babj+Bdbj=10%*YajBacj+Bdcj=10%*YdjBikj（i=a，d，k=b，c）表示從i租借點到k租借點轉移損壞汽車的數(shù)量

20、。到達b，c租借點已修的汽車數(shù)量：Gbj=min12，Babj-2+Bdbj-2+ 10%*Ybj-1+Wbj-1Gcj=min20，Bacj-2+Bdcj-2+ 10%*Ycj-1+Wcj-1當天未能修理的車輛數(shù)：Wbj=max0, Babj-2+Bdbj-2+ 10%*Ybj-1+Wbj-1-12Wcj=max0, Bacj-2+Bdcj-2+ 10%*Ycj-1+Wcj-1-20Wij （i=a，d）表示第j天i修理點未能修理的車輛數(shù)。日期/租借點ABCD周一10015013583周二120230250143周三8022521098周四95195242111周五7012416099周六5

21、59611580從表中我們可以看出周二的需求量是最大的為743輛，當周二的需求量基本滿足時，其余的日期只需要局部的調(diào)整就可以最大限度的滿足顧客的需求，所以假設周二為固定的轉移時間，又因為實際的需求量是不會超過需求量的，所以需滿足：YijYTYT=100150120230802251358325014321098951957012455962421111609911580iii. 公司成本 TC=C1+C2+C3其中C1表示邊際成本，C2 表示轉移費用，C3表示機會成本C1=C2=C3=15*M Qj=0Babj00Bacj000000Bdbj00Bdcj0 維修能力為零的租借點的轉移維修車輛矩

22、陣 Tj=0tabjtbaj0tacjtadjtbcjtbdjtcajtcbjtdajtdbj0tcdjtdcj0 轉移完好的汽車數(shù)量矩陣CT=0202003050153530155035025250 轉移費用矩陣iv. 公司的收益（1） 每周的租金收入 R1=+（2） 每周的罰金收入R2=100*10%每周公司的總收入 TR=R1+R2模型一：（1） 目標函數(shù)的建立max L=TR-TC（2） 最終模型Max L= R1+R2-（ C1+C2+C3）s.t M1=Saj+Sbj+Scj+SdjSaj= Saj-1+Yaj-10%*Yaj-Laj +Tbaj-1+Tcaj-1+Tdaj-1-T

23、abj-1+Tacj-1+Tadj-10Sdj= Sdj-1+Ydj-10%*Ydj-Ldj +Tbdj-1+Tcdj-1+Tadj-1-Tdbj-1+Tdcj-1+Tdaj-10Sbj= Sbj-1+Ybj-10%*Ybj-Lbj +Tabj-1+Tcbj-1+Tdbj-1-Tbaj-1+Tcbj-1+Tbdj-1+Gbj0Scj= Scj-1+Ycj-10%*Ycj-Lcj+Tacj-1+Tbcj-1+Tdcj-1-Tcaj-1+Tcbj-1+Tcdj-1+Gcj0M2=55%Laj+Lbj+Lcj+Ldj+20%Laj-1+Lbj-1+Lcj-1+Ldj-1+25%Laj-2+Lbj-2

24、+Lcj-2+Ldj-2M3=Wbj+Wcj+Babj-1+Bdbj-1+Bacj-1+Bdcj-1M4=Tabj+Tacj+Tadj+Tbaj+TbcjTbdj+Tcaj+Tcbj+Tcdj+Tdaj+Tdbj+Tdcj+ Babj+Bdbj+Bacj+BdcjBabj+Bdbj=10%*YajBacj+Bdcj=10%*YdjGbj=min12，Babj-2+Bdbj-2+ 10%*Ybj-1+Wbj-1Gcj=min20，Bacj-2+Bdcj-2+ 10%*Ycj-1+Wcj-1Wbj=max0, Babj-2+Bdbj-2+ 10%*Ybj-1+Wbj-1-12Wcj=max0, Bacj-2+Bdcj-2+ 10%*Ycj-1+Wcj-1-20YijYT模型的求解：問題一的求解： 對于該多元規(guī)劃模型，我們利用lingo進行求解，得出該公司要有198.3+9+273+25=505.3輛汽車用于出租才能獲得最大利潤和“穩(wěn)態(tài)”的經(jīng)營方案，星期六借出去的總車輛數(shù)為346量，則租借一天的數(shù)量有346*55%=190.3輛，所以優(yōu)惠額為190.3*20=3806元，則此時公司獲得的最大利潤為112075-3806=108269元