命題及其關(guān)系充分條件與必要條件

1、命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1能寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系 2理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.課85準(zhǔn)備厘空戳g實星遁【自主梳理:i .命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫 做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.2. 四種命題及其關(guān)系（1）四種命題一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p和q的否定,于是四種命題的形式就是原命題：若p則q（p? q）;逆命題：若 q貝U p（q? p）;否命題：若綈p則綈q（綈p?綈q）;逆否命題：若綈q則綈p（綈q?綈p）.（2）四種

2、命題間的關(guān)系若P.畑若務(wù)則卩3遜逆仰命題（3）四種命題的真假性 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性. 兩個命題為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.3. 充分條件與必要條件若p? q,貝U p叫做q的充分條件；若 q? p，則p叫做q的必要條件；如果 p? q，則p 叫做q的充要條件.自我檢測:1 . （2010湖南）下列命題中的假命題是（）A . ?x R, lg x= 0B . ?x R, tan x= 1C. ? x R , x（2009 浙江）x0”是“xm 0”的（）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件0D . ? x R,2x0答案 C解析對于C選項，當(dāng)x= 0時，

3、2. （2010 陜西）a0”是 a|0 的（ A .充分不必要條件C.充要條件答案 A解析 a0? |a|0, |a|0a0,03= 0，因此？x R , x30是假命題.）B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件 a0”是 間0”的充分不必要條件.C .充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 A解析 對于x0”？ “xm 0”，反之不一定成立，因此x0”是“xm 0”的充分而不必要條件.4 .若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s,則s是p的逆命題t的()A .逆否命題B .逆命題C .否命題D .原命題答案 C解析 由四種命題逆否關(guān)系知，s是p的逆命題t的否命題.5. (2011宜

4、昌模擬才)與命題“若a M，貝U b M ”等價的命題是()A .若aM ,則bMB .若bM,則aMC .若aM,則bMD .若b M,則aM答案 D解析因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可.探究點一四種命題及其相互關(guān)系【例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.(1) 實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2) 等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧.解題導(dǎo)引給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定.解(1)逆命題：若一個數(shù)的

5、平方是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù).真命題.否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負(fù)數(shù).真命題.逆否命題：若一個數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù).真命題.(2) 逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高.真命題.否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等.真命題.逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高.假命題.(3) 逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心， 且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線.真命題.否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧.真命題.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的

6、垂直平分 線.真命題.變式遷移1有下列四個命題： “若x + y= 0，則x, y互為相反數(shù)”的逆命題； “全等三角形的面積相等”的否命題； “若q 0,所以x2 + 2x+ q= 0有實根，其 逆否命題與原命題是等價命題，真；的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假.探究點二充要條件的判斷例2 給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件.p： x 2 = 0; q： (x 2)(x 3) = 0.(2) p :兩個三角形相似；q：兩個三角形全等.(3) p： m 2； q：方程 x2 x m= 0 無實根.(4) p： 個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等.解(1) vx 2=

7、0? (x 2)(x 3) = 0；而(x 2)(x 3) = 0x 2 = 0.p是q的充分不必要條件.(2) v兩個三角形相似兩個三角形全等；但兩個三角形全等？兩個三角形相似.p是q的必要不充分條件.(3) m 2?方程 x2 x m= 0 無實根；方程x2 x m= 0無實根- m 2.p是q的充分不必要條件.(4) 矩形的對角線相等， p? q；而對角線相等的四邊形不一定是矩形， 十p.p是q的充分不必要條件.變式遷移2 (2011邯鄲月考)下列各小題中，p是q的充要條件的是() p: m6 ； q: y = x2 + mx+ m+ 3有兩個不同的零點；f 一 x p:= 1 ； q：

8、 y= f(x)是偶函數(shù)；f x p: cos a= cos 3； q: tan a= tan 3； p: A A B = A； q： ?uB? uA.A . B . C . D .答案 D解析 q： y= x2 + mx + m+ 3 有兩個不同的零點 ？ q： A= m2 4(m+ 3)0? q: m6? p;當(dāng)f(x) = 0時，由 喬知；若a， 3= kn+才，k Z時，顯然cos a= cos 3,但 tan a tan 3; p: AA B= A? p： A? B? q： ?uA? uB.故符合題意.探究點三充要條件的證明例3 設(shè)a，b，c ABC的三邊，求證：方程 x2 + 2a

9、x+ b2= 0與x2 + 2cx b2= 0有公 共根的充要條件是/ A= 90解題導(dǎo)引有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件” ？“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論” ？ “條件”是證明命題的必要性證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性. 證明必要性：設(shè)方程x2 + 2ax+ b2= 0與x2+ 2cx b2= 0有公共根xo,則 x2+ 2axo+ b2= 0, x0 + 2cxo b2= 0,b2兩式相減可得 xo=，將此式代入 x0+ 2axo+ b2= 0,c a可得 b2 + c2= a2,故/A= 90 (2)充分性：A = 90 .b2+ c2=

10、a2, b2= a2 c2 將代入方程 x2+ 2ax + b2= 0, 可得 x2+ 2ax+ a2 c2 = 0, 即(x+ a c)(x+ a + c) = 0.將代入方程x2+ 2cx b2= 0,可得 x2+ 2cx+ c2 a2= 0,即(x + c a)(x+ c+ a)= 0.故兩方程有公共根 x= (a + c).所以方程x2 + 2ax+ b2= 0與x2 + 2cx b2= 0有公共根的充要條件是/ A = 90 變式遷移3 已知abz 0,求證：a+ b= 1的充要條件是 a3+ b3 + ab a2 b2= 0. 證明 必要性：I a+ b = 1,.a + b 1=

11、 0.a3+ b3 + ab a2 b2=(a+ b)(a2 ab+ b2) (a2 ab+ b2) =(a+ b 1)(a2 ab+ b2)= 0.(2)充分性：a3+ b3 + ab a2 b2= 0,即(a+ b 1)(a2 ab+ b2)= 0. 又 ab z 0,. .a工 0 且 bz 0.a2 ab+ b2= (a ；)2+ 4b20.a + b 1 = 0，即卩 a + b= 1.綜上可知，當(dāng) abz 0時，a + b= 1的充要條件是a3+ b3+ ab a2 b2= 0.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例：（12分）已知兩個關(guān)于 x的一元二次方程 mx2 4x + 4= 0和x2 4m

12、x + 4m2 4m 5 = 0，且m乙求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件.【答題模板】解 .mx2 4x+ 4= 0是一元二次方程，2分/mz 0.另一方程為x2 4mx+ 4m24m 5= 0,兩方程都要有實根,1 = 16 1 m 0,&= 16m2 4 4m2 4m 5 0,6分解得 m 4, 1.兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù),4m Z,.m為4的約數(shù),8分4m 4m 5 Z.m= 1 或 1,當(dāng) m= 1 時，第一個方程x1. 研究命題及其關(guān)系時， 要分清命題的題設(shè)和結(jié)論， 把命題寫成“如果，那么 的形式，當(dāng)一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性. 在解決

13、充分條件、必要條件等問題時，要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷,同時還要弄清是p對q而言，還是q對p而言.還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別. 本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. + 4x 4= 0的根為非整數(shù)， 而當(dāng)m= 1時，兩方程均為整數(shù)根，12 分.兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m= 1.【突破思維障礙】本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復(fù)雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決， 兩方程有實根易想 A 0求出m的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與 兩根之積都是整數(shù).【易錯點剖析】易忽略一元二次方程這個條件隱含著mz 0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是

14、整數(shù).課堂小絢課E竦耳醫(yī)驕駆摘練規(guī)蒞答超（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1. （2010天津模擬）給出以下四個命題：若 abw 0,貝U aw 0 或 bb,貝U am2bm2;在 ABC 中，若 sin A= sin B, 則A= B;在一元二次方程 ax2 + bx + c= 0中，若b2 4ac0,則方程有實數(shù)根.其中原命 題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是（）A .B .C.D .答案 C解析 對命題，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題，其原命題、逆命題、否命題、逆 否命題全部為真；對命

15、題，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假.n2. （2010 浙江）設(shè) 0x2,則 “sin2x1 ”是 “sin x1 ”的（）A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件答案 B解析 0xn，.0sin x1.xsin x1? xsin2x1，而 xsin2x1xsin x1.故選B.3. （2009 北京）“a=2knk Z）” 是“ cos 2a=壬”的（）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件答案 An1解析 由 a= 6+ 2k nk Z）可得到 cos 2a= ?.1n由 cos 2

16、 a= 得 2 a= 2k n k Z）. a= k n （k Z）.1n所以 cos 2 a= 2不一定得到 a= 6+ 2kn（k Z）.4. （2011威海模擬）關(guān)于命題“若拋物線y= ax2 + bx+ c的開口向下，貝V x|ax2+ bx +c0工？”的逆命題、否命題、逆否命題，下列結(jié)論成立的是（）A .都真B .都假C.否命題真D .逆否命題真答案 D解析 本題考查四種命題之間的關(guān)系及真假判斷.對于原命題：“若拋物線y= ax2 + bx+ c的開口向下，貝U x|ax2 + bx+ c0豐?”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：若x|ax2+ bx+ c0豐

17、?，則拋物線y= ax2 + bx+ c的開口向下”是一個假命題，因為當(dāng)不等式ax2 + bx+ c0，即拋物線的開口可以向上因此否命題也是假命題.5. (2011 棗莊模擬)集合 A= x|x|w 4, x R, B = x|x5”的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件答案 B解析 A = x| 4w x4, a4a5，但 a5? a4.故選 B.二、填空題(每小題4分，共12分)6. “ xi0 且 X20”是“ xi + X20 且 X1X20 ”的條件.答案充要7. (2011 惠州模擬)已知 p： (x 1)(y 2) = 0, q: (

18、x 1)2+ (y 2)2= 0，則 p 是 q 的 條件.答案必要不充分解析 由(x 1)(y 2) = 0 得 x= 1 或 y= 2，由(x 1)2+ (y 2)2 = 0 得 x= 1 且 y = 2,所 以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分條件.&已知p(x): x2 + 2x m0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù) m的取值范圍 為.答案3,8)解析 因為p(1)是假命題，所以1 + 2 mW 0，解得m3;又因為p(2)是真命題，所以4+ 4 m0，解得m8.故實數(shù)m的取值范圍是3 m8.三、解答題(共 38分)9. (12分)(2011許昌月考)分別寫出

19、下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它 們的真假.(1) 若q1，則方程x2 + 2x+ q = 0有實根；(2) 若 ab = 0，則 a= 0或 b= 0;(3) 若 x2 + y2= 0，貝V x、y 全為零.解(1)逆命題：若方程x2+ 2x+ q = 0有實根，則q1，為假命題.否命題：若q1，則方程x2 + 2x+ q = 0無實根，為假命題.逆否命題：若方程 x2 + 2x+ q = 0無實根，則q1，為真命題.(4分)逆命題：若a = 0或b = 0，貝U ab= 0，為真命題.否命題：若abz 0，貝U 0且b豐0，為真命題.逆否命題：若 az 0且bz 0，貝y abz 0，為真命題.(8分)逆命題：若x、y全為零，則x2 + y2= 0，為真命題.否命題：若x2+ y2z 0，則x、y不全為零，為真命題