幾種常見的曲面及其方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1幾種常見的曲面及其方程幾種常見的曲面及其方程即( , , ),M x y z0000(,)Mxyz由兩點(diǎn)間距離公式得特別,當(dāng)M在原點(diǎn)時,球面方程為定值為 RxyzoM0M表示上(下)球面 .222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、幾種常見的曲面及其方程1.球面222zRxy 第1頁/共23頁 例1 方程222420 xyzxz 表示怎樣的曲面. 解 通過配方，把原方程寫成222(2)(1)5.xyz對比（1）式知，它表示球心在點(diǎn)（2,0,-1）,半徑為的球面.5第2頁/共23頁xyz引例. 分

2、析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 222xyR沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) 1( , ,0),Mx ylM1M( , , )M x y z點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222xyR222xyR222xyR第3頁/共23頁xyzxyzol平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.22221xyabz 軸的平面.0 xy

3、表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l叫做母線.xyzoo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22yx第4頁/共23頁2l柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線( , )0F x y 方程表示( , )0G y z 方程表示( , )0H z x 方程表示3l機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1lxxyyzz第5頁/共23頁定義2. 一條平面曲線 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)

4、軸 .例如 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共23頁故旋轉(zhuǎn)曲面方程為( , , ) ,M x y z當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,11(,)0f y z111(0,),My zC若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 111(0,)My z( , , )M x y z2211,zzxyy則有22(, )0fxyz則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到( , )0f y z ozyxC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共23頁:( , )0Cf y z oyxz22(,)0fyxz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共23頁例2 將面上的橢圓z分別繞y軸和軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成

5、的旋轉(zhuǎn)曲面方程為z即即繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為yxyOzaab222221yxzab222221xyzab22221yzab2222221xyzbab2222221xyzaabyoz第9頁/共23頁 例3 求面上的拋物線繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖7-28）的方程。 解 方程中的x不變，換成便得到旋轉(zhuǎn)拋物線的方程為 例4 求面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐面的方程。 解 所求圓錐面的方程為即xyOzxoy22yzyoz22()xa yz2(0)xaya2xay(0)zky k22zkxy 2222()zkxy第10頁/共23頁三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面

6、僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx0GxHyIzJ(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共23頁zyx2222221 ( , ,)xyza b cabc為正數(shù)(1)范圍：,xaybzc(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓22221,0 xyabz22221,0yzbcx222210 xzacy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 黃綠紅第12頁/共23頁2222221xyzabc與11()zzzc的交線為橢圓：1zz(4) 當(dāng)

7、ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣11()yyyb的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時為球面.(3) 截痕:2222222222111()()abccxyczcz( , ,a b c為正數(shù))機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z11()xxxa第13頁/共23頁2222xyzpq2.橢圓拋物面( p , q 同號)zyx特別,當(dāng) p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共23頁空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ,

8、, )0( , , )0F x y zG x y z221236xyxz第15頁/共23頁表示上半球面與圓柱面的交線C. yxzao機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222220zaxyxyax 第16頁/共23頁zyxo( )( )( )xx tyy tzz t稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線,vt b令2hb的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .M機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cossinxatyatzvtcossinxayazb2當(dāng)時，第17頁/共23頁例5 設(shè)一動點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于z軸的正方向上升( 都是常數(shù))則點(diǎn)M的幾何軌跡叫做

9、螺旋線（圖7-34），試圖建立其參數(shù)方程。解 取時間t為參數(shù)，設(shè)t=0時動點(diǎn)在處，動點(diǎn)在點(diǎn)處，過點(diǎn)M作xoy面的垂線，則垂足的坐標(biāo)為由于是動點(diǎn)在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，而線段的長是時間t內(nèi)動點(diǎn)上升的高度，所以經(jīng)過時間t，得222xyav,v( ,0,0)A a( , , )M x y z( , ,0)Mx yAOM MMMM,AOMtMMvt 第18頁/共23頁coscos,sinsin,.xaAOMatyaAOMatzMMvt從而因此螺旋線的參數(shù)方程為cos,sin,.xatyatzvt第19頁/共23頁( , )0H x y 消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程( , )00H x yz( , )00R y zx( , )00T x zyzyxCC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )0( , , )0F x y zG x y z第20頁/共23頁zyxC1o222200 xyyz2222221:(1)(1)1xyzCxyz機(jī)動 目錄 上頁