高等數(shù)學教學課件2011第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程

1、四、全微分方程四、全微分方程為為則則稱稱若若0),(),(, dyyxqdxyxpypxq定義、定義、性性質質、.),(:,0),(),(,),(),(),(),(cyxudyyxqdxyxpdyyxqdxyxpyxduyxu 其其通通解解為為是是全全微微分分方方程程則則使使得得若若存存在在.全微分方程全微分方程證證明明0),(),( dyyxqdxyxpdyyxqdxyxpyxdu),(),(),( cyxu ),(. 0),( yxdu推論、推論、.),(),(;),(),(:,0),(),(000000cdyyxqdxyxpcdyyxqdxyxpdyyxqdxyxpyyxxyyxx 或或

2、則則通通解解為為是是全全微微分分方方程程若若;),(),(),(ypxqdyyxqdxyxpyxu 的原函數(shù)的原函數(shù)是是.),(,0),(),(),(),(:0),(為為積積分分因因子子那那么么稱稱成成為為全全微微分分方方程程如如果果使使得得，設設函函數(shù)數(shù)yxdyyxqyxdxyxpyxyx 定義、定義、.0)33()35(222324的通解的通解求求 dyyxyyxdxyxyx、例例6、解法解法1;36)33(2222yxyyxyyxx .;36)35(2324原原方方程程為為全全微微分分方方程程 yxyyxyxycdyyyydxyxyxyx 02220324)0303()35(:通解通解c

3、yxyyxxyx 030322531)23(.3123:33225cyxyyxx 通解通解、解法解法2;36)33(2222yxyyxyyxx .;36)35(2324原原方方程程為為全全微微分分方方程程 yxyyxyxy dxyxyxuyxyxxu)35(35324324);(233225yxyyxx yyxyyxxyu) )(23(3225 );(3322yxyyx 22233yxyyxyu2222233)(33yxyyxyxyyx ;31)(,)(32yyyy 取取;312333225yxyyxxu .3123:33225cyxyyxx 通解為通解為.0)33()35(222324的通解

4、的通解求求 dyyxyyxdxyxyx.0)1()1(的的積積分分因因子子并并求求其其通通解解求求方方程程 dyxyxdxxyy、例例7解解00)1()1(22 ydyxxdydxxyydxdyxyxdxxyy022 ydyxdxxyxdyydx0)()( xdyydxxyxyd0)()(23 yxdyydxxyxyd0)(22 yxdxyyxxyd;1),(22yxyx 在在以以上上方方程程兩兩邊邊乘乘以以0)(22 yxdxyyxxyd0)(ln)1( yxdxyd0)ln1( yxxyd;1).1(22是是積積分分因因子子yx cyxxy ln1).2(cxyyx 1lnxyceeyx1

5、 .:1xyceyx 通解為通解為第第14章、二階微分方程章、二階微分方程第一節(jié)、第一節(jié)、 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程)(1xfy 、21)(:cxcdxdxxfy 通解通解.).)(.(;.)!2()!1().)(.(:)(1221112211)(nnnnnnnnnnncxcxcxcdxdxdxxfycxcnxcnxcdxdxdxxfyxfy 或或的的通通解解為為.cos2的的通通解解求求方方程程xeyx 、例例1解解 dxxdxedxxeyxxcos)cos(22;sin2112cxex dxcxeyx)sin21(12;cos41212cxcxex dxcxcxeyx)co

6、s41(212.2sin8132212cxcxcxex .sin3221281cxcxcxeyx 通解通解一一階階方方程程令令 ),(:zxfdxdzzy),(2yxfy 、:通通解解為為解解得得此此一一階階微微分分方方程程的的);,(1cxzz );,(,1cxzyzy .),(21cdxcxzy .2)1(2的通解的通解求方程求方程yxyx 、例例2解解,:yz 令令;12;2)1(22dxxxzdzxzdxdzx dxxxzdz 212;1ln)1ln(ln22cxzcxz 12211cxzexzc );1(21xcz );1(21xcy .)31()1(231221cxxccdxxcy

7、 、例例3解解,cos,sinhtst sh tan)( ,tan,tan hasash dxyayx 0211211yay 0,11:002xxyayyay初值問題初值問題211zadxdz dxazdz112 dxazdz1121caxarshz 0)0()0( yz00011 ccaxarshz axshyaxshz 2caxachaxdaxshadxaxshy acachy 20)0(. 02 caxachy :懸鏈線方程為懸鏈線方程為dxysx 021,:zy 令令 tan y?.,時時是是怎怎樣樣的的曲曲線線試試問問該該繩繩索索在在平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)而而下下垂垂繩繩索索僅僅受受重重力

8、力作作用用兩兩端端固固定定設設有有一一均均勻勻柔柔軟軟的的繩繩索索),(yyfy 三、三、;dydzzdxdydydzdxdzy zy :令令,),(一階方程一階方程 zyfdydzz:得得解解出出此此一一階階方方程程的的通通解解);,(1cyzz ).,(),(11cyzdxdycyzy dxcyzdy ),(1 dxcyzdy),(1.),(21cxcyzdy .02的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy、例例4解解;,:dydzzdxdydydzdxdzyyz 令令;0022ydyzdzzdydzyzyyy cyzcyz ln,lnln;1yczeyzc ;,11dxcydyycy ,

9、1 dxcydy,ln1cxcy .:12xcecy 通解為通解為;1cxceey 第二節(jié)、第二節(jié)、 高階線性微分方程高階線性微分方程一、線性微分方程舉例一、線性微分方程舉例彈簧振動問題彈簧振動問題(1)(1)、無阻尼自由振動、無阻尼自由振動0222 xkdtxd(2)(2)、有阻尼自由振動、有阻尼自由振動02222 xkdtdxndtxd(3)(3)、有阻尼受迫振動、有阻尼受迫振動)(2222tfxkdtdxndtxd :二階線性微分方程二階線性微分方程);()()(xfyxqyxpy :二二階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程; 0)()( yxqyxpy:程程二二階階線線性性非非齊齊次次

10、微微分分方方),()()(xfyxqyxpy )(不恒等于零不恒等于零xf:階線性微分方程階線性微分方程n.,.,2 , 1,),(:);()()(.)()(1)2(2)1(1)(niixpxfyxpyxpyxpyxpyinnnnn 上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間其中其中:階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程n; 0)()(.)()(1)2(2)1(1)( yxpyxpyxpyxpynnnnn:階線性非齊次微分方程階線性非齊次微分方程n)()()(.)()(1)2(2)1(1)(xfyxpyxpyxpyxpynnnnn )(不恒等于零不恒等于零xf二、線性齊次微分方程的解的結構二、線性齊次微分方程的

11、解的結構.,.0)()(,0)()()()(2122112121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的解解也也是是的的線線性性組組合合與與則則的的兩兩個個解解是是齊齊次次線線性性方方程程與與若若函函數(shù)數(shù)ccyxqyxpyycycyyyxqyxpyxyxy 、定定理理1證證明明;)()(:yxqyxpyyl 令令. 0002122112211 ccylcylcycycl. 0; 021 ylyl.02211的解的解為為 ylycyc.;,0.,.,)(),.,(),(22112121否否則則線線性性無無關關上上線線性性相相關關個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱這這成成立立有有恒恒等等式式時時使使得得當當

12、任任意意個個不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)如如果果存存在在個個函函數(shù)數(shù)上上的的為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間設設inykykykixkkknnixyxyxynnnn 、定義定義1.),()(),(122121為常數(shù)為常數(shù)或或線性相關線性相關非零函數(shù)非零函數(shù)ccyycyyxyxy 、推論推論1證證明明, 0)(),(21221121不不全全為為零零線線性性相相關關kkykykxyxy .012211ckkyyk 不不妨妨假假設設02121 cyycyy.)(),(21線性相關線性相關xyxy.,.0)()(,0)()()()(21221121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的通通解解是是則則的的兩兩個個線

13、線性性無無關關的的特特解解是是齊齊次次線線性性方方程程與與若若函函數(shù)數(shù)ccyxqyxpyycycyyxqyxpyxyxy 、定理定理2 .,.,.0)()(.)(.,0)()(.)()(),.,(),(21111221111121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中解解的的通通是是則則個個線線性性無無關關的的特特解解的的方方程程階階齊齊次次線線性性是是若若函函數(shù)數(shù)nnnnnnnnnnnncccyxpyxpyxpyycycycynyxpyxpyxpynxyxyxy 、定理定理3三、線性非齊次微分方程的解的結構三、線性非齊次微分方程的解的結構.0)()(;)()()()(),(2121的的特特解解是是方方

14、程程那那么么的的特特解解是是方方程程如如果果 yxqyxpyyyyxfyxqyxpyxyxy、定理定理4.,.)()()(,0)()(,)()()()(21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中通通解解的的是是則則的的通通解解是是它它對對應應的的齊齊次次方方程程而而的的一一個個特特解解是是非非齊齊次次線線性性方方程程若若函函數(shù)數(shù)ccxfyxqyxpyyyyyxqyxpyyxfyxqyxpyxy 、定理定理5 .,.,.)()(.)(.,0)(.)()(),.,(),(,)()(.)()(21112211112111是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的通通解解是是則則的的線線性性無無關關解解是是對對應應的的齊

15、齊次次方方程程而而的的一一個個特特解解階階線線性性方方程程是是若若函函數(shù)數(shù)nnnnnnnnnnnnncccxfyxpyxpyycycycyyyxpyxpyxyxyxyxfyxpyxpynxy 、定理定理6.)()()()(.)()()()(;)()()()(21212211的的特特解解是是方方程程那那么么的的特特解解是是方方程程的的特特解解是是方方程程如如果果xfxfyxqyxpyyyyxfyxqyxpyxyxfyxqyxpyxy 、定定理理7、例例1.,:)()()(52求此方程的通解求此方程的通解的三個特解為的三個特解為設設xxeexxfyxqyxpy 解解分分別別是是線線性性齊齊次次方方

16、程程xexexx 52,0)()(的特解的特解 yxqyxpy,52不不恒恒等等于于常常數(shù)數(shù)xexexx .,52線線性性無無關關xexexx :)()()(的的通通解解為為則則方方程程xfyxqyxpy xxecxecyxx )()(5221.)1(215221xccececyxx 、常常數(shù)數(shù)變變易易法法四四 、例例2.,)1(22)1(1222求求方方程程的的通通解解的的齊齊次次方方程程的的解解為為所所對對應應已已知知方方程程xyxxyyxyx 解解;)(xxuy 令令uxuuxuuuxuyuxuy 2)(,222)1(2)(2)2)(1( xxuxuxuxuxux代代入入微微分分方方程程22232)1(22222 xxuxuxxuuxuxuux22232)1(22222 xxuxuxxuuxuxuux;)1(2223 xxuuxux1)1(222 xuxxuuw :令令1)1(222 xwxxw);)1()1(221)1(222dxex