數(shù)值分析課程試驗報告-拉格朗日和牛頓插值法

1、數(shù)值分析課程實驗報告用拉格朗日和牛頓插值法求解函數(shù)值算法名稱用拉格朗日和牛頓插值法求函數(shù)值學(xué)科專業(yè)xxxxx作者姓名xxxx作者學(xué)號xxxxx作者班級xxxxxxxxx 大學(xué)二一五年十二月數(shù)值分析課程實驗報告實驗名稱用拉格朗日和牛頓插值法求解函數(shù)值成績一、問題背景在工程技術(shù)與科學(xué)研究中，常遇到考察兩個變量間的相互關(guān)系問題。兩個變量間的關(guān)系可以通過函數(shù)表示，若 x為自變量，y為因變量，則函數(shù)關(guān)系可描述為y=f(x)。大多數(shù)問題中，函數(shù)表達式y(tǒng)=f(x)未知，人們通常采用逼近的方法處理：取得一組數(shù)據(jù)點(xi,yi ) (i=0,1,2,n ),數(shù)據(jù)點可由不同方式取得(例如，可根據(jù)工程設(shè)計要求得到，

2、也可通過采樣或?qū)嶒炄〉?，然后構(gòu)造一個簡單函數(shù) P (x)作為y=f(x)的近似表達式，即y=f(x) P(x),對于y=f(x) P(x)，若滿足P(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,n,這類問題成為插值問題。二、數(shù)學(xué)模型1.函數(shù)f(x)=lnx的一些數(shù)值如表：x1.41.51.61.71.8Inx0.33650.40550.47000.53060.5878用拉格朗日插值法計算In 1.54的近似值。2函數(shù)f(x)=, x的一些數(shù)值如表：x0.40.50.60.70.80.63250.70710.77460.83670.8944用牛頓插值法計算0.54的近似值，畫出插值函數(shù)與原函數(shù)的

3、圖形做比較。三、算法描述1.拉格朗日插值法：設(shè)已知X。,X1,X2 ,., Xn 及yi=f( x )(i=0,i,.,n),Ln(x)為不超過n次多項式且滿足Ln(X)* (i=0,1,.n).易知 Ln(x) =(x)y+.+ln(x) yn.其中,li(x)均為n次多項式且滿足式(3)(i,j=0,1,.,n),再由Xj(ji )為n次多nX xj項式li(x)的n個根知li(x) =c ij i0.最后，1由nli(Xj) c(Xij 0j iXj) 1n(XXjj 0c= j i),i=0,1,., n.n X Xjn總之，Ln(X)=ih(x)yij 0 X Xj 0, i ( )

4、 = j i式為n階Lagrange插值公式，其中，i()(i=0,1,.n)稱為n階Lagrange插值的基函數(shù)。2.牛頓插值法：插值法是利用函數(shù)f(X)在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點上取已知值，在區(qū)間的其他點上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(X)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項式，就稱它為插值多項式。當(dāng)插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)均要隨之變化，這在實際計算中很不方便。為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。牛頓插值通過求各階差商，遞推得 到的一個公式：f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.x n(x-xO).(x-x

5、 n-1)+Rn(x)。四、主要代碼1.拉格朗日插值建立函數(shù)文件：fun cti onyt,L=Lagl nterpl(x,y,xt)syms t ;n=len gth(x);ny=le ngth(y);if n=nyerrorendL=0.0;for k=1:nlk=1;for j=1: nif j=k lk=lk*(t-x(j)/(x(k)-x(j);enden d;L=L+y(k)*lk;endsimplify(L);L=collect(L);yt=subs(L, t ,xt);2.牛頓插值建立函數(shù)文件：fun cti onyt,N=Newt In terp(x,y,xt)syms t

6、;n=len gth(x);ny=le ngth(y);if n=nyerrorenda=zeros(1, n);N=y(1);w=1;for k=1:n-1yy=zeros(1, n);for j=k+1: nyy(j)=(y(j)-y(k)/(x(j)-x(k)；enda(k)=yy(k+1);w=w*(t-x(k);N=N+a(k)*w;y=yy;endyt=subs(N, t ,xt);simplify(N);N=collect(N);N=vpa(N,6);五、實驗結(jié)果及分析1.拉格朗日插值法 在命令窗口輸入：x=1.4,1.5,1.6,1.7,1.8;y=0.3365,0.4055,

7、0.4700,0.5306,0.5878; xt=1.54;yt,L=Lagl nterpl(x,y,xt);z=1:0.05:4;yz=subs(L,t,z);figure;plot(z,log(z),-r,z,yz,-b)hold onplot(x,y,marker,+)hold onplot(xt,yt,marker,o),(x_k,y_k),x=1.54)lege nd(l n(x),拉格朗日插值多項式xlabel(x)ylabel(y)yt得到結(jié)果及圖像如下：yt =0.4318得到In 1.54的近似值為0.4318。拉格朗日插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。但是由于拉格朗日

8、的插值多項式和每個節(jié)點都有關(guān)，當(dāng)改變節(jié)點個數(shù)時，需要重新計算。且當(dāng)增大插值階數(shù)時容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。2.牛頓插值法在命令窗口輸入：x=0.4 0.5 0.6 0.7 0.8;y=0.6325 0.7071 0.7746 0.8367 0.8944;xt=0.54;yt,N=Newtl nterp(x,y,xt)z=0.1:0.05:2;yz=subs(N,t,z);figure;plot(z,sqrt(z),-r,z,yz,-b)hold onplot(x,y,marker,+)hold onplot(xt,yt,marker,o)h=legend($sqrtx$,牛頓,$(x_k,y_k)$,

9、$x=0.54$);set(h,I nterpreter,latex)xlabel(x)ylabel(y)得到結(jié)果及圖像如下：yt =0.7348N =-0.291667*tA4 + 0.925*tA3 - 1.30208*tA2 + 1.46125*t + 0.2046;邊Figure 1 |Fil? dir 里 i戶 w Insert IoclsHelp |O 3 U | o x- a|BQ_得到0.54的近似值為0.7348，插值函數(shù)為N =- 0.291667*tA4 + 0.925*tA3 - 1.30208*tA2 + 1.46125*t + 0.2046,其計算精度是相當(dāng)高的。Lagrange插值法和Newton插值法解決實際問題中關(guān)于只提供復(fù)雜的離散數(shù)據(jù)的函數(shù)求值問