模態(tài)參數(shù)辨識的頻域方法

1、子曰：“學而時習之，不亦說乎？ ”振動力學（無阻尼自由振動 （單自由度系統(tǒng)，阻尼自由振動 強迫振動建立運動微分方程求固有頻率無阻尼自由振動多自由度系統(tǒng)阻尼自由振動強迫振動建立運動微分方程求響應 一般來說，任何具有彈性和慣性的力學系統(tǒng) 均可能產(chǎn)生機械振動。機械結構產(chǎn)生振動的內在原因是本身具有振 動時儲存動能和勢能，而且釋放動能和勢能, 并能使動能和勢能相互轉換的能力。慣性元件、彈性元件和阻尼元件是離散振動 系統(tǒng)三個最基本的元件：慣性元件儲存和釋放動能 彈性元件儲存和釋放勢能阻尼元件耗散振動能量振動系統(tǒng)的自由度根據(jù)三 項基本元件確定:橫梁質量為零，系 統(tǒng)有幾個自由度？-橫梁質量不為零， 系統(tǒng)有幾個

2、自由度?單自由度系統(tǒng)“自由振動主要內容1運動微分方程2固有頻率的計算方法3.等效質量與等效剛度自由度系統(tǒng)“自由振動運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，依照下面步驟可列出系統(tǒng)的運動微分方程：1. 取定一個坐標系描述系統(tǒng)的運動；2. 設質量塊沿坐標正向有一位移，對質量塊進行 受力分析；3. 按牛頓第二定律建立質量塊的運動方程；4確定系統(tǒng)的初始條件。mx + kx = Ox(0) = x0,x(0) = x0I x + 斫 x = 0 、兀(0) = %x(0) = x0x + x = o(1)求解方程(1),可以得到兀二 4 cosf + 4 sin co - Acos(fijnt - cp)由初始條件

3、x(0) = x0,x(0) = x0 ,可得A = xo 企=X。%0 = A co s(0)x0 = -A co sin (p)A = Jx： +(fo/)2(p- arctan從上面分析可以看出，單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動，它的周期和頻率為T 壬 2fn= = =丄 Q叫 V kjn T 2tt 171 m九的單位是Hz,它也只與系統(tǒng)的剛度、質量有關，與外界條件無關。所以九也稱為系統(tǒng)的固有頻率。以后對叫和九不加區(qū)分，通稱為 固有頻率。固有頻率的計算方法振動系統(tǒng)的固有頻率是最重要的振動參數(shù)。 正確、簡潔地測定固有頻率是確定系統(tǒng)振動 特性的基本任務之一。列出系統(tǒng)運動微分方程進而求出

4、系統(tǒng)固有頻率是一種常用的方法，這需要知道系統(tǒng)的剛 度和質薑。還有其它地方法可用來求單自由度系統(tǒng)地固 有頻率：=J靜位移法能量法靜態(tài)位移法（單位加速度法）靜止時在重力的作用下彈簧被壓縮，根據(jù)虎克定律有A = g,因而 co1 = k/m = g / Amg kx噸 HA). 使用靜態(tài)位移法計算固有頻率P18.例2.2自由度系統(tǒng)“自由振動能量法位移函數(shù)x = 4cos(/- 0)系統(tǒng)動能T = mcdA1 sin2 (co J - (p)系統(tǒng)勢能U =COS2(6t)n/ - (p)機械能守恒九=U單自由度系統(tǒng)紿由振動使用能量法計算固有頻率P18.例2.3系統(tǒng)勢能為：U =討2護系統(tǒng)動能為：E =

5、耳護+斗曲=匕4- W沖 jLZ2d(； + U) = j(/ + mr2) + 臚g 二 09kr:I + mr等效剛度的計算步驟1.計算系統(tǒng)的變形分布模型；2以某一特定點的位移為參量計算系統(tǒng)的勢 能；3從系統(tǒng)勢能表達式中提出該點位移平方的1/2,剩余的部分即為系統(tǒng)相對于該點的等 效剛度。等效質量的計算步驟1.假定系統(tǒng)的速度分布模型（模式），一般 的速度分布可以取為與變形分布模型一致;2以某一特定點的速度為參量計算系統(tǒng)的動 能；3從系統(tǒng)動能表達式中提出該點速度平方的 1/2,剩余的部分即為系統(tǒng)相對于該點的等 效質量。P21 例 2.5解:設軸1轉角為恥令u%/血則為=*人講+ 誕=確+寺厶詭

6、U = +婦就+ 錯=*(*%： + 曲因此系統(tǒng)的等效質量為人+b等效剛度為?+花。Theory of Vibration with Applications返回首頁%mx - -ex - kxF丿丄*“ cr，*/圖示為一有阻尼的彈簧質量系統(tǒng)的簡化模 型。以靜平衡位置O為坐標原點，選x軸鉛直 向下為正，有阻尼的自由振動微分方程Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁方程的解為rtx-eTheory of Vibration with Applications返回首頁第2

7、章 單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動-1運動微分方程E_Theory of Vibration with Applications頁第2章 單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動-1運動微分方程E_運動微分方程x+2nx + x = 0斤=_農 +J2 r2=-n-Jn2特征根Theory of Vibration with Applications頁第2章 單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動-1運動微分方程E_特征方程 r2 + 2nr+虻=0特征根與運動微分方程的通解的形式與阻尼有關強阻尼%）情形r = -n Jn2 -此 x = ent（?占產(chǎn)鬲 +）臨界阻尼=叫）情形nr9 = nx = enz （Cj +C2

8、0弱阻尼情形（X叫）特征根斤二 _& + j二一TZ + jdq=-n-i 尿丄n2 二-n-Mdr = ndx - e (G coso)屛 + C2 sin codt)其中C和q為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。 設（=0時，兀=兀0,丘=丘0可解Cx=x0 C2 =兀。+ 其中 j = VL cod = J疋一oTheory of Vibration with Applications頁第2章 單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動_ ,運動微分方程臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態(tài)。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運動規(guī)律在性質上發(fā)生變化的重要臨界值。設為臨界阻尼系數(shù)，由于$=/叫=1,即

9、c. = 2nm 2com 2ykmQf cq只取決于系統(tǒng)本身的質量與彈性常量。由c2nmn二=-QCc2co m co.nn:阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是：稱為阻尼比的原因。Theory of Vibration with Applications返回首頁振幅減縮率的自然對數(shù)稱為對數(shù)減縮率或對數(shù)減幅 系數(shù)，以/表示5 in 皆 g 嚴”）二lneM 二沖d = nTd第2章單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動E3例 在欠阻尼(f血=0如 圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比厶Theory of Vibration with Applications返回首頁if第2章單自由度系統(tǒng)“阻尼自由振動5解：振動

10、衰減曲線的包絡線方程為兀=處設/ R兩點在包絡線上的幅值 為Xp、XR ,則有oRY“2兀 Ng |nNTd乞=嚴=p=XrJi-/當：2 2tc Ng = In p_ 2kN此式對估算小阻尼系統(tǒng)的Z值是很方便的。例如，經(jīng)過10個周 期測得P、R兩點的幅值比2,將N=10、心2代入上式，得到 該系統(tǒng)的阻尼比二=丄 = 00112伍 Theory of Vibration with Applications頁Theory of Vibration with Applications返回首頁典型的受簡諧激勵的單自由度系統(tǒng)如右圖所示。根 據(jù)牛頓第二定律有mx-cx-k-kx = Fq cos 妙=k

11、A cos cot(2.4-1)這里，佗是激勵的幅值，血是激勵的頻率，而A定義為A = Fjk即系統(tǒng)在靜力條件下受一個大小為F.的力作用時的位 移，它是與時間無關的常量。引入這個參數(shù)的目的是要 比較靜力位移和動力位移，以揭示靜力學與動力學的差 別。另外，還可以使一些振動參數(shù)無量綱化，便于理論 分析。對式(2.4-1)整理，得x + 2(dux + x =仍:/cos 血(2-4-2)式(242)是二階非齊次線性常微分方程。根據(jù)微分方程理論，它的解由兩部分組成根據(jù)線性常微分方程理論，運動方程(242)的特解可以寫成如下形式X = XcO3(G)t-(p) (2.4-3)式中，X是響應的振幅，卩是

12、位移相對激勵的相角，均是與時間無關的常 數(shù)。將式(2.43)代入式(2.42)可以得到Theory of Vibration with Applications返回首頁第2章單自由度系統(tǒng)一簡諧強迫振動 系illillllllllllllilllllilllllllllX(con -co )(coscot cos cp + sin cot sin cp)-(sin cot cos cp - cos cot sin cp) = coAcoscot等號兩邊cos血和sin cot的系數(shù)應分別相等!(/：-q2)cos0 + 2勿nQsineJx = coA (/： -6?2)sin-2Ocos ex

13、=o解出得Theory of Vibration with Applications頁Theory of Vibration with Applications頁A2 I2Theory of Vibration with Applications頁第2章單自由度系統(tǒng)一簡諧強迫振動第頻特性與相頻特性一Theory of Vibration with Applications返回首頁第2章單自由度系統(tǒng)一簡諧強迫振動第頻特性與相頻特性一這時系統(tǒng)的動應力最大，對系統(tǒng)（或結構）的破壞 最大。大家計算一下，當厲取何值時，|/7（血）|取最大, 最大值為多少?Theory of Vibration with

14、 Applications返回首頁(3)阻尼越大(即：越接近1),共振峰越低。7T當厲從0到1時，0從0到一；當帀從1到002jr吋，0從到龍。(5)阻尼不同時，0厲特性曲線不同，但當7 = 1 時，無論阻尼比：如何，位移落后于激振力的相位7T差總是一。我們可以利用這一特點測定系統(tǒng)的固有2頻率這種方法稱為相位共振法。相角有直觀的物理意義，當系統(tǒng) 質量M運動到靜平衡位置時，失衡 質量與轉軸中心的連線與水平線的 夾角即為此相角。當=1共振時， 0=兀/2,當系統(tǒng)質量經(jīng)過零點時， 失衡質量恰好在轉軸中心的正上方。Theory of Vibration with Applications返回首頁系統(tǒng)的

15、支承部分如果有運動也可使系統(tǒng)發(fā)生強迫振動。如果支承的 運動可以用簡諧函數(shù)描述，則系統(tǒng)的振動可用簡諧強迫振動理論來分析。上圖所示模型，設支承點的位移是簡諧函數(shù)，可表示為y =沁根據(jù)牛頓第二定律，得到如下方程H 第2章單自由度系統(tǒng)一簡諧強迫振動理論的應用 支承運動引起的強迫振動iwc = -lc(x _ y) _ c(x _ 刃可改寫為iwc + cx + kx = cy + ky上式右端的兩項相當于由阻尼器和彈簧傳遞的兩個激勵力。 無 + (Dx = 2(o ny + o)y (2.5-1)令x = Xe代入方程(2.5-1)可得Theory of Vibration with Applicat

16、ions返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁2亦加+ /： G) + 2.(0 nG)i +2的+1滬+2的+ 1Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁振動力學總結0pnu_dE25 o.Theory of Vibration with Applications返回首頁兩自由度系統(tǒng)的振動一引Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration wit

17、h Applications返回首頁多自由度系統(tǒng)的特點:。各個自由度彼此相互聯(lián)系，某一自由度的振動往 往導致整個系統(tǒng)的振動。0運動微分方程的變量之間通常相互耦合，需要求解聯(lián)立方程oTheory of Vibration with Applications返回首頁多自由度系統(tǒng)的運動微分方程-牛頓第二定律矢量建模方法影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法牛頓第二定律建模片枷）(a)叼衍切(為-2) 切(尤2-龍1)內知以為研究對象，有厲無=一代兀+ k2(x2 一X)-c& +C2G2 無)+片(1)以加2為研究對象，有（2）m2x = k2（%j 一 x2） + c2（ij 一 左2）- 心花一

18、。彳禺 + d（f）將方程(1)、(2)整理可得片f2M(a)mxx + (cj + c2)xj -c2x2 + & + k2- k2x2 - Ft)(3)加2無1 +-。2攵+(C2 +03)2+-他西 +( + k3)x2 F2(t)(4)將方程(3)、(4)寫成矩陣形式mx0m9_uq + c2C25 pilC2 + 5鳥k、+ k?一 k，2Mx + Cx + kx = F(O觀乏目由度系統(tǒng)mm一二二-多自由度系統(tǒng)的運動微分方程洋頓第二龕律統(tǒng)量憲直方怯影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法影響系數(shù)法剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數(shù)（在單自由度 系統(tǒng)中，簡稱彈性常數(shù)）。它表示系統(tǒng)單位變形所

19、需 的作用力。具體地說，如果使第丿個質量沿其坐標方 向產(chǎn)生單位位移，沿其它質量的坐標方向施加作用力 而使它們保持不動，則沿第i個質量坐標方向施加的 力，定義為剛度影響系數(shù)冷；在第/個質量坐標方 向上施加的力稱剛度影響系數(shù)心。由剛度影響系數(shù)的物理意義，可直接寫出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法稱為剛度影響系 數(shù)法；同理,還可以根據(jù)柔度影響系數(shù)建立位移方程。因此剛度矩陣為何+心他00k +心_心=kji一上3剛度矩陣一般是對稱的。實際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質。即k = kt0k、+ k.3剛度矩陣的特點：0主對角線元素飼為與自由度七連接的彈簧剛度之和；Q非主對角線元素心為與自由度

20、七和勺連接的彈簧剛度的負值。0固有頻率主振型 0主坐標和正則坐標 0固有頻率相等的情形Theory of Vibration with ApplicationsTheory of Vibration with Applications返回首頁網(wǎng)國+K = 0x = Asin 伽+ 0)將解式代入系統(tǒng)運動微分方程，并消去血(曲+初，得到KA - 692MA = 0KA = 6)2MA(K /M)A = 0工、人24)7A=心=(A,“丿Mx +K = 0x = A sin伽+ 0)（K-”M）A = OB二K-/M 特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于 是得到該系統(tǒng)的頻率方

21、程（或特征方程）。K-2M =0式是關于莎的次多項式，由它可以求出個固有頻率（或 稱特征值）。因此，個自由度振動系統(tǒng)具有個固有頻率。(K-2M)A = 0對應于3,可以求得A嘰 它滿足(K - M)A(/) = 0A(0為對應于y的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以q的頻率作 自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第i階主振型,也稱固有振型或主模態(tài)。對于任何一個自由度振動系統(tǒng),總可以找到個固有頻率和與之對應的階主振型A(,)=対、a2 =A(,)別“)、 雞)、A(n)Theory of Vibration with Applications返回首頁主振型矢量可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。特征矩陣

22、B = K_/M用矩陣B的第f行第/列的代數(shù)余子式把第j行第/列 的元素替換掉得到就是B的伴隨矩陣，WadjBo所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。主振型也可由式(K-/M)A = 0求得,co2,代入V(K /m)A =o歸一化后，即令普)=1 (2123)可得主振型Theory of Vibration with Applications返回首頁主振型的正交性主振型矩陣與正則振型矩陣主坐標和正則坐標(Aw)rMAw=O(AfKA=0心 j表明，對應于不同固有頻率的主振型之間，既關于質量 矩陣相互正交，又關于剛度矩陣相互正交，這就是主振 型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應

23、的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質量矩陣和剛度矩陣正交。 1 = J= Mj(A)T KA()i = 1,2,3,屮令j = i,2 (A(/)rKAw 匕.一 (A 紓 MA 一MK,稱為第i階主剛度或第Z階模態(tài)剛度；稱為第i階主質量或第i階 模態(tài)質量。以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個/ZX 階方陣，稱此 方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁JZ JZ 7 z z ? / / / /( 1 /l 2 : (- A AJ/ J/

24、2 21 2A A7 7 1 1 : z(- nAAr = （A少少）=Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁根據(jù)主振型的正交性,主剛度矩陣可以導出主振型矩陣的兩個性質嚴TAp MAP = MpMAptKAp =Kp mp= 姙主質量矩陣Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Application

25、s返回首頁使Mp由對角陣變換為單位陣將主振型矩陣的各列除以其對應主質量的平方根，即 第i階正則振型 =50這樣得到的振型稱為正則振型。Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁正則振型的正交關系是第，階固有頻率（桃）廠翊）=鈴1 = JTheory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁以各階正則振型為列，依次排列成一個 x階方陣，稱此方陣 為正則振型矩陣，即（4

26、世）秋）二由正交性可 導出正則矩 陣兩個性質A：MAn二I二A：KAn + QTheory of Vibration with Applications返回首頁X1.主坐標首先用主振型矩陣進行坐標變換，即坐標矢量x = Apx這組坐標變換的物理意義，可由展開式看出= （A A A（）xpXP2/ 、x2xi=A 兀 p! + AxP2+-+A（Xpn=A XP + A XP2XPni = 1,2,3、nTheory of Vibration with Applications返回首頁Xj = Xp + Xp2 +* , i = 1,2,3, ,例因子新坐標Theory of Vibration

27、 with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁即原物理坐標的各位移值，都可以看成是由個主振型按一 定的比例組合而成。如果令Xpx1, xPi = 0(i = 2,3,)則可得 X = A系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等，即每個主坐標的值等 于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小。已知自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程M x + Kx=0當仁0時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為兀(0) = % = (“ (0) x2 (0)X, (0)x(0) = x0 = ( (0) x2 (0)(0)求系統(tǒng)對初始條件

28、的響應。求解的方法是:Q利用主坐標變換或正則坐標變換，將系統(tǒng)的方程式轉換 成於獨立的單自由度形式的運動微分方程；。利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標 或左則坐標表亦的響應；0再反變換至原物理坐標求出n自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應。本節(jié)只介紹用正則坐標變換求解的方法。Theory of Vibration with Applications返回首頁例1圖是三自由度振動系統(tǒng)，設=他=為=匕Theory of Vibration with Applications返回首頁兀3坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質量矩陣和剛?！考?= 2加，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇X1、兀2、 度矩陣

29、分別為m 00M = 0 m 000 2mTheory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁2k-k-k2k-k0-kk將M和K代入頻率方程|k-2m| = o2k a) mk0k2k co2mk = 00kk 2a)mTheory of Vibration with Applications返回首頁k(k2”一9 川+9 co1、3=0解方程得到= 0.1267, m求出系統(tǒng)的三個固有頻率為喝=1272止m=3.1007mTheory of Vibration with Appl

30、ications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁1.760Q V mcdx =0.355Q/,= 1.1281V m再求特征矩陣的伴隨矩陣Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁B = K /M =2k-co2m-k0-k2k - arm-k0-kk-2co2mTheory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications

31、返回首頁(1.0000 1.0000、川J0.7274A二-1.1007j0.4709丿j 0.2115 丿(2k - cont)伙-269%)-，kk-2com)k2adjB =k(k-2cotn)(2k-co2m)伙一 2/加) k(2k-co2rri)k2k(2k- co2m)(2k-co2ni)2 -k2設取其第三列（計算時可只求出這一列），將J值代入，得到第一階主振型為1.0000A =1.8733,2.5092丿得到第二、三階主振型為三個主振型由圖所示Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with

32、Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁例5試求例1中系統(tǒng)的主振型 矩陣和正則振型矩陣。解：將在例1中求得的各階主 振型依次排列成方陣，得到主振Theory of Vibration with Applications返回首頁型矩陣1.0000Ap = (A(,)AA)二 1.87331.0000 1.00000.7274-1.1007Theory of Vibration with Applications返回首頁25092 -0.47090.21151 0 0由質量矩陣，可求出主質量矩陣M=m0 1 00 0 2001.9726m002.3010m17.1014mMp 二 A；MAp= 00于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣Theory of Vibration with Applications返回首頁Theory of Vibration with Applications返回首頁0.2418Av = = 0.45300.60670.71200.65920.5179-0.7256-0.33530.13