中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)——方法上(4)課件

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)1 2-1 計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法與技巧計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法與技巧一一. 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1. 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo) ( P45 中 3(1) )2. 用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求導(dǎo) ( P46 中 3(2) )復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則3. 特殊求導(dǎo)方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法利用一階微分形式不變性( P49 中中 4(3)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)24、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun

2、)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1( )()0nkkn knkC uv中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)35. 高階導(dǎo)數(shù)的求法 ( P49 中4 )(1) 遞推歸納求出(2) 利用萊布尼茲公式(3) 轉(zhuǎn)化間接求出(4) 參數(shù)方程求高階導(dǎo)數(shù)6. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) ;界點(diǎn)處按左、右導(dǎo)數(shù)定義討論 .若 f (x) 在界點(diǎn)0 x處左 連續(xù), 左 近旁可導(dǎo),這是因?yàn)?0()limxxfx00)()(xxxfxf0lim( )xf)(0 xx( 參考參考P86 例例15 )分段函數(shù)分段求導(dǎo) , 0()f

3、x(右)存在 , 0()fx(右)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)4二二. 實(shí)例分析實(shí)例分析例例1. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) :, 1)(lim, )() 1()() 1 (12001xxxxfx求. ) 1 (f ,sin1sin1arcsin)()2(xxxxf求. )0(f 且對(duì)任意 x 有, )(3)3(xfxf,31)0()3( f設(shè)求. )3(f 解解: (1) ) 1 (f1) 1 ()(lim1xfxfx)() 1(lim199920001xxxx2001中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)5(2),sin1sin1arcsin)()2(xxxxf求. )0(f

4、 )0(f0( )(0)limxf xfxxxxxxsin1sin1arcsinlim01 且對(duì)任意 x 有, )(3)3(xfxf,31)0()3( f設(shè)求. )3(f (3) )3(fhfhfh)3()3(lim0 lim0hh)(3hf)0(3f)0(3f 1中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)6(4) 設(shè)2( )(1)(2)()xxnxf xeeen(0)f A1( 1)(1)!nn( 1) (1)!nn1( 1)!nn( 1)!nn(0)0f(0)f 0( )(0)limxf xfx20lim(2)()xnxxeen1( 1)(1)!nn 其中n為正整數(shù)，（ ）；解解 因?yàn)?01

5、2考研考研A、B、C、D、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)72、設(shè)21yxye ( )yy x21yxye 202xd ydx10 x 0y 2,yxye y(0)0;y(0)1y2021.xd ydx是由方程的隱函數(shù)，則 ；解解 將代入方程得 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得則再求導(dǎo)得 ，即所確定2012考研考研22()yyeyy中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)83、設(shè)函數(shù)ln1( ),211xxf xxx( ( ) ,yf f x0 xdydx40 xdydx0( ( )( )xff xfx( (0)(0)( 1)(0)fffff( )f x(0)( 1)2ff04xdydx ；解解 由

6、的表達(dá)式可知，則2012考研考研中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)9例例2. 設(shè)1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf試確定常數(shù) a , b 使 f ( x ) 處處可導(dǎo), 并求. )(xf ( P53 例例3 )解解:)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x1xaxf)(時(shí)1xxxf2)(時(shí)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)10)(xf1x, bxa 1x12(1),a b1x,2xba12(1)ab利用)(xf1x在處可導(dǎo) ,(1 )(1 )(1)fff) 1 () 1 (ff即12a, 1,2ba2) 1 ( f思考思考:)(xf 必有)(x

7、f1x, bxa 1x1,1x,2x1,21,2)(xxxxf是否為連續(xù)函數(shù)是否為連續(xù)函數(shù) ?中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)11例例3. 設(shè))(xf求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 并討論)(x的連續(xù)性 .解解:0,3xxx0,0 x)()(xffx )(x0)(,)()(3xfxfxf0)(,0 xf0,59xxx0,0 x0,4xx0,0 x0,4xx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)12)(x0,4xx0,0 x0,4xx)(x0,43xx0,43xx0 x34 x),(C中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)13例例4 4 設(shè)函數(shù)解解(2005 考研）考研）3( )lim 1nn

8、nf xx( )f x(,) ，則在內(nèi)（ ）；A、處處可導(dǎo)； B、恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；C、恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； D、至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。333330lim1111( )lim11lim1211nnnnnnnnnxxfxxxxxxx 311( )1xf xxx( )f x(, 1)( 1,1)(1,) 在顯然可導(dǎo)，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)14例例4 4 設(shè)函數(shù)311( )1xf xxx解解(2005 考研）3( )lim 1nnnf xx( )f x(,) ，則在內(nèi)（ ）；A、處處可導(dǎo)； B、恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；C、恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； D、至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。1x 31(1)( 1)l

9、im3,1xxfx ( 1)0f 1x 在分段點(diǎn)處，所以為不可導(dǎo)點(diǎn)；則共有2個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。C1x (1)0,f1x 處，所以311(1)lim31xxfx在分段點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)15例例5 5 設(shè)函數(shù)解解(2005 考研）考研）( )f x連續(xù)， 求極限000() ( )lim.()xxxxt f t dtxf xt dtxtu 00()( )xxf xt dtf u du0000( )( )lim( )xxxxxf t dttf t dtxf u du000( )lim( )( )xxxf t dtf u duxf x令原式00( )( )( )xxf t

10、dtf u duxf(0, )x( ,0)x0( )lim( )( )xxfxfxf x0( )(0)1lim( )( )(0)(0)2xffff xff由積分中值定理 或原式中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)16例例6. 設(shè), ),0(,yx有求. )(xf解解: 在, )()()(yfxfyxf)()()(yfxfyxf, 1y, )0() 1 (af中, 令得) 1 ()()(fxfxf0) 1 (fyxxfyxxfxfy)()(lim)(0yxxfyfxfy)()1 ()(lim0yyfxy)1 (lim10) 1 (1fxxa,ln)(Cxaxf令 x = 1 ,得 C = 0

11、 ,故xaxfln)(0( (1)( )limyf xyf xxy中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)1731)(xff例例7. 設(shè)函數(shù))(yfx 的反函數(shù)及均存在 , 且求求)(1xfy)(11）（、xffxff ,0)(1xff解解:212)(xdxfd及12( ).()d fxd xxdxfd)(1xdydydxd1)(1yf 1f )(1xf212)(xdxfd xdd)(11xff21)(xff)(1xff xdxfd)(1)(1xff 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)182. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xdd

12、yxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見(jiàn) P103 題4 )中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)19例例7. 設(shè)函數(shù))(yfx 的反函數(shù)及均存在 , 且求求)(1xfy)(11）（、xffxff ,0)(1xff212)(xdxfd及12( ).()d fxd x)()(21xdxfdxdxff)(11xdx2)(211xffx1f )(1xfxdxfd)(1中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)20例例8 8、求ba,ln()0( )0 xaxxf xebx0 x (0).f (0 )1(0),fbf (0 )lnfaln1(0)abf 0(1)(0)lim1,xx

13、ebbfx0()ln1(0)lim1,xn axafxa1,1,(0)1.abf 的值，使函數(shù)在處可導(dǎo)，并求 解解 函數(shù)在x = 0處連續(xù)有則函數(shù)在x = 0處可導(dǎo)有中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)21例例9. 設(shè)曲線方程為求解解: 已知曲線的參數(shù)方程為, )cos1 ( ar.2 ycosrx cos)cos1 ( asinry sin)cos1 ( a則xdydy cos)cos1 (sin2asin)cos1 (cossina2coscos)2sin(sin23cotxdydy 23223csc)2sin(sinaay32 dyddxddyd dxd中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方

14、法上(4)22例例10.10.設(shè)函數(shù)(2005 (2005 考研）考研）( )yy x22ln(1)xttyt ( )yy x3x 3x 232tt1, 3t ln(1)yt1t 1,ln2ty11111228ttdytdxt8ln28(3)yx 0y 13ln28x 是由參數(shù)方程在處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解解 時(shí)，解得由于的定義域?yàn)?，所以，該處法線的斜率為法線方程，令，得為法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。求曲線確定，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)23例例11. 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) :)0() 1 (cdxcbxayxxxxxy8cos4cos2coscossin

15、)2(解解:(1)12)(cdxcdacbcay2)(cdacbyn!) 1(nn) 1()(ncdx11( 1)!()()nnnn bcad ccxdxy16sin161)2()216sin(16161)(nxynn)216sin(161nxn)(1nxa1)(!) 1(nnxan中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)24例例12 12 設(shè)解解得232xyxx( ).ny( )( )11() 21nnyxxx( )11!( 1)()nnnnxaxa ( )1111( 1)! (2)(1)nnnnyn xxx ，求 由公式 和萊布尼茨公式111( 1)!(2)(1)nnnnxx 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)

16、徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)25例例1313 試確定常數(shù)的值, ,a b c23(1)1()xebxcxaxo x 230(1)10limxxebxcxaxx 220(12)lim3xxebbxcxcxax20(212(4 )lim6xxecbbc xcxx 042lim6xbccx10221040babcbc 121,336abc 解解 根據(jù)題設(shè)和洛必達(dá)法則，由于得解得 使得(2006 考研）考研）中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)262-2 微分中值定理的理解微分中值定理的理解及其應(yīng)用方法及其應(yīng)用方法 (P65)一一. 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1. 微分中值定理的理解及它們之間的關(guān)系微分中值

17、定理的理解及它們之間的關(guān)系(1) 幾個(gè)中值定理的關(guān)系幾個(gè)中值定理的關(guān)系 ( P71 圖圖2-4 )中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)27羅爾定理羅爾定理0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()(bfaf)()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf柯西中值定理柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)28(2) 中值定理的條件是充分的,

18、但非必要.可適當(dāng)減弱. 因此例如, 設(shè))(xf在),(ba內(nèi)可導(dǎo),且()(),f af b則至少存在一點(diǎn), ),(ba使.0)(f證證: 設(shè)輔助函數(shù))(xF(),f axabxaxf, )(),f bxb顯然)(xF在,ba上連續(xù), 在),(ba內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知 , 存在一點(diǎn), ),(ba使,0)(F即.0)(f閱讀閱讀 P85 例例13 , 例例14中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)29二二. 實(shí)例分析實(shí)例分析例例1. 當(dāng) 時(shí), 試證0 x)21)(41()(211xxxxx(P76 例例2)證證: 設(shè),)(ttf當(dāng) 時(shí),0 x)(tf在 1,xx上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 因此有

19、)1)(0()(211xxxxx解出) 1(2141)(xxxx, 則0 x時(shí) 21)( x1) 1(212xxx 211)(4122121xx0中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)30又因, ) 1(2141)(xxxx41)0(xlim)() 1(2141xxxxxxxx) 1(lim214121及)(x在),0單調(diào)遞增 , 于是.21)(41x 說(shuō)明說(shuō)明: 中值定理只告訴位于區(qū)間內(nèi)的中值存在 , 一般不能確定其值 , 此例也只給出一個(gè)最好的上下界 .0)( x中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)312 2、(1)證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)(2009(2009考研）考研）證明證明

20、（1） 令( )f x , a b( , )a b( , )a b( )( )( )().f bf afba在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在使得( )( )( )( )( )() , f bf aF xf xf axaxa bba( )F x , a b( , )a b( )( )0,F aF b( , )a b( )( )( )( )0f bf aFfba由題意可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理可得，存在使得且( , )a b( )( )( )()f bf afxa即存在使得，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)32第三講第三講 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 及及微分中值定理微分中值定理 的

21、應(yīng)用的應(yīng)用中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)332 2、 (2)證明：若函數(shù)(2009(2009考研）考研）證明證明 （2）對(duì)于任意的( )f x0 x (0, )(0)0lim( )xfxA(0)f(0).fA在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,則存在，且(0, )t( )f x0, t(0, ) t0( )(0)(0)limtf tfft0( )limtftt0lim( )(0, )tft0lim( )tft0lim( )fA(0)f(0).fA，函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由右導(dǎo)數(shù)定義及拉格朗日中由于 , 故 存在，且 值定理有中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)34例例2. 設(shè)函數(shù)在)(xf

22、),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(Mxf證明在)(xf),(ba內(nèi)有界. (P77 例例3)證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對(duì))(xf在以xx ,0為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理得)()()(00 xxfxfxf( 界于 與 之間)0 xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxf令, )()(0abMxfK則對(duì)任意, ),(bax,)(Kxf即在)(xf),(ba內(nèi)有界.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)35例例3. 設(shè))(xf在,ba上連續(xù), 在,0ba 證明存在, ),(ba),(ba內(nèi)可導(dǎo),且使2)()()()()(ffa

23、bbaafbbfa證證: 因?yàn)樗C結(jié)論左邊為ababbaafbbfaaafbbf)()()()()(設(shè)輔助函數(shù)xxfxF)()(由于,ba上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 且,)()()(2xxfxfxxF易推出所證結(jié)論成立 .)(xF在中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)36例例4. 設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上二階可導(dǎo), 且,0) 1 ()0( ff證明至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使.1)(2)( ff分析分析: 在結(jié)論中將換為,x得xxfxf 12)()(積分積分Cxxfln)1ln(2)(lnCxfx)()1 (2證證: 設(shè)輔助函數(shù))()1 ()(2xfxxF因)(xf在 1 ,0上滿足

24、羅爾定理?xiàng)l件,所以存在因此)(xF在 1 ,上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故必存在, ) 1 ,(使0)(F即有) 1 ,0() 1,(,1)(2)( ff, ) 1 ,0(使.0)(f中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)37例例5. 設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上連續(xù), 在,0)0(f但當(dāng), ) 1,0() 1 ,0(x時(shí)) 1 ,0(內(nèi)可導(dǎo),且,0)(xf求證對(duì)任意自然數(shù) n , 必有使( )(1).( )(1)n ffff 分析分析: 在結(jié)論中換 為,x得積分積分)1 ()1 ()()(xfxfxfxfnCxfxfnln)1 (ln)(lnCxfxfn )1 ()()1 ()()(1fffnn0

25、)1 ()(ffn因,0)1 ()(ffn所以)1 ()1 ()()(ffffn證證: 設(shè)輔助函數(shù))1 ()()(xfxfxFn顯然)(xF在 1 ,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件,因此必有, ) 1,0(使,0)(F即中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)38例例6. 設(shè))(xf在,ba上連續(xù), 在, 1)()(bfaf證明存在, ),(,ba),(ba內(nèi)可導(dǎo),且使1)()(ffe證證:轉(zhuǎn)化為證efefe)()(設(shè)輔助函數(shù), )()(xfexFx由于它在,ba滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,(P118 題題8)即證xxxxexfe)( )(因此存在, ),(ba使),()()(FabaFbF)()(ffeab

26、eeab( )( )( )bae f be f aFba中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)39再對(duì)轉(zhuǎn)化為證efefe)()(xex )(在,ba上用拉氏中值定理 ,則存在, ),(ba使eabeeab因此),(,)()(baefefe)()(ffeabeeab, ),(ba中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)40例例7 7（1）證明方程110 (1)nnxxxn (1 2,1)xnxlimnnx1( )1 (1)nnf xxxxn( )f x1 2,111(1)122( )11212nf102n (1)10,fn ( )0f x (1 2,1)x(1 2,1)x12( )(1)211

27、0nnfxnxnxx ( )f x(1 2,1)x( )0f x 在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2）記上式方，證明存在，并求此極限。則 在 上連續(xù)，且由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。當(dāng)時(shí)，故 在內(nèi)單調(diào)增加。綜上所述，方程2012考研考研程的實(shí)根為證證 （1）令中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)41( )0f x (1 2,1)x nx11,nnnnnxxx1111111nnnnnnnxxxx110nnx1nnnnnxxx1111nnnnnxxx1,1,2,nnxxn nx nx nxlimnnax111nnnnxxxn 11 21nxx11aa1 2a lim1 2nn

28、x綜上所述，方程在內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。知數(shù)列有界，又 因?yàn)?所以，,于是有 即 單調(diào)減少。綜上所述，數(shù)列單調(diào)有界，故收斂，記 ，由于 令 ，并注意到，則有解得 ，即 （2） 解解 由(1 2,1)x中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)42例例8. 已知函數(shù)) 1 , 0(, 1, 0)(在上連續(xù)在xf內(nèi)可導(dǎo), 且證證: (1) 令且上連續(xù)，在則1 , 0)(xg, 1)()(xxfxg01) 1 (, 01)0(gg證明, 1) 1 (, 0)0(ff;1)(),1, 0() 1 (f使得存在) 1 , 0(故存在01)()(fg使 即1)(f(2005 考研）考研）011)()(),1, 0

29、(,)2(ff使得存在兩個(gè)不同的點(diǎn)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)43) 1 , 0(, 1, 0)(在上連續(xù)在xf內(nèi)可導(dǎo), 且(2) 根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在),1 , 0(), 0(0)0()()(fff證明, 1) 1 (, 0)0(ff使得存在1)(),1, 0() 1 (f11)()(),1, 0(,)2(ff使得存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使1)() 1 ()(fff1111)()(ff3. 已知函數(shù)),1 , 0() 1 ,(01中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)44二階導(dǎo)數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足例例9. 設(shè)函數(shù)),(,)(, )(babaxgxf在上連續(xù)在證證:

30、取得最大值，在同一點(diǎn)),()(),(bacxgxf)()()(xgxfxF令0)(, 0)()()(cFcFbFaF),()(agaf).()(),(gfba 使證明存在, )()(bgbf),(),(baca據(jù)泰勒定理, 存在221)()()()(caFcacFcFaF ！使 由此得0)( F即有),()()(bagf (2007 考研）考研）情形情形1.則有內(nèi)具有中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)45階導(dǎo)數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足),(,)(, )(babaxgxf在上連續(xù)在情形情形2.取得最大值，分別在點(diǎn)),()(),(badcxgxf，無(wú)妨設(shè)dc 0)()()(, 0)(

31、)()(dgdfdFcgcfcF),()(agaf).()(),(gfba 使證明存在, )()(bgbf使),(),(badc因此據(jù)零點(diǎn)定理, 存在, 0)()(bFaF又)(),(),(xFba上對(duì)分別在),(, 0)();,(,0)(2211bFaF),(),(, 0)(21baF 即有),()()(bagf 則有12. 設(shè)函數(shù)應(yīng)用羅爾上用羅爾定理得在再對(duì)),()(21xF定理得內(nèi)具有二cdba120)(F中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)46例例10. 設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上三階可導(dǎo), 且,0) 1 ()0( ff設(shè), )()(3xfxxF使.0)( F證證: 因) 1 (

32、F,0)0()0()0( FFF)(!31F 因,0) 1 () 1 ( fF因此,0)( F試證存在, ) 1 ,0()0(F)0(F)0(!21F )(!31F ) 1,0(利用二階泰勒公式 , 得中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)47,2)( xf例例11. 設(shè)函數(shù)在)(xf 1 ,0上二階可導(dǎo), ) 1 ()0(ff且證明. 1)( xf(P78 例例5)證證:, 1,0 x由泰勒公式得)0(f) 1 (f兩式相減 , 得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx(1)xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf ) 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(4)48例例12. 設(shè)函數(shù))(xf在),a上二階可導(dǎo), 且,0)(,0)(,0)( afafxf證明方程0)(xf內(nèi)有且僅有一根 . (P80 例例9)證證: 在在),(a),a上0)( xf)(xf 0)()(afxf)(xf由泰勒公式可知)(xf2!21)()()(axfaxafaf )(xa因,0)(,0)( faf所以,)(f又因,0)(af利