2017用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式

1、.用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列- 等差數(shù)列 等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用例 1:（ 06 年福建高考題） 數(shù)列 an中, a11,an 12an1則 an( )A 2nB 2n1C 2n1D 2 n 1解法1： an 1 2an1an11 2an22(an1)又 a112an11an21an1 是首項為2 公比為 2 的等比數(shù)列an12 2n 12n ,an2n1,所以選 C解法2歸納總結(jié)： 若數(shù)列an 滿足 an 1pa n

2、q( p1, q 為常數(shù)），則令 an 1p(an) 來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項相等求的值，求通項公式。例 2：數(shù)列an中， a11, a23,an 23an 12an ，則 an。解： an 2an 12(an 1an )a2a12anan 1為首項為2 公比也為2 的等比數(shù)列。anan 12 n 1 ，（ n1）n1時. 下載可編輯.an(anan 1) (an 1an 2 )(a2 a1 ) a12n12n 22 112n2n112顯然 n=1 時滿足上式an2n1小結(jié)：先構(gòu)造an 1an等比數(shù)列，再用疊加法, 等比數(shù)列求和求出通項公式，例 3：已知數(shù)列an中 a15, a22, an

3、 2an 13an 2 , ( n 3) 求這個數(shù)列的通項公式。解：a n2 a n 13 a n 2anan 13(an 1an 2 )又 a1a27, anan1形成首項為7，公比為 3 的等比數(shù)列，則 anan 173n 2 又 an3an 1(an 13an 2 ) ，a23a113 ， an3an 1 形成了一個首項為 13，公比為 1 的等比數(shù)列則 an3an 1( 13) ( 1) n 2 34an7 3n 113 ( 1) n 1an73n 113 ( 1) n 144小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列， 屬于構(gòu)造方面比較級， 最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項公式。例 4：設(shè)數(shù)列

4、an的前項和為Sn , 若 2an2nSn 成立， (1) 求證：ann 2n 1 是等比數(shù)列。(2) 求這個數(shù)列的通項公式證明： (1) 當(dāng)n1, b a12(b1)a1 ,a12. 下載可編輯.又 ban2n(b1)Sn ban 12n 1(b1)Sn 1 ban 1ban2n(b 1) an 1an 1ban2n當(dāng) b 2時，有 an 1 2an 2nan 1(n1)2n2an2n(n1)2n2 (ann 2n 1 )又 a1 21 1 1ann 2n 1 為首項為1，公比為2 的等比數(shù)列，(2)ann 2 n 12n 1 ,an(n1) 2 n 1小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕?/p>

5、簡和提取公因式，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價值與魅力，同時也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例 5：數(shù)列 an滿足 a13, an1 2an 32n1 ，則 anA (3n1)2 nB (6n3)2n 1C 3(2n1) 2 n 1 D (3n 2)2n 1解： an 12an 3 2n 1,an 1an32n 12 nan1an3, 又a132n12n22an構(gòu)成了一個首項這3，公差為3 的等差數(shù)列，2n2. 下載可編輯.an332n(n 1) 33n22an22n 1(3n3)(6n3) 2n 1 所以選 B。2小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形an，當(dāng) nn1 時，變?yōu)?an 1 。2n2n

6、 1例 6 ： 已 知 函 數(shù) f ( x) ( x2) 2 , (x0) ， 又 數(shù) 列 an中 a12 ， 其 前 n 項 和 為Sn , (nN) ，對所有大于1 的自然數(shù) n 都有 Snf (Sn 1 ) ，求數(shù)列an 的通項公式。解：f ( x) ( x2 ) 2 , Snf (Sn 1 ) ( Sn 12) 2SnSn 12 , SnSn 12S1a12Sn是首項為2 ，公差為2 的等差數(shù)列。Sn2(n ! )22n,Sn2n2 。n 2時， anSnSn 12n22(n 1)24n 2且當(dāng) n1時， a12 41 2符合條件通項公式為an4n2例 7：（ 2006 山東高考題）已

7、知 a12 ，點（ an , an 1 ）在函數(shù) f ( x) x 2x 的圖象上， 其中 n 1,2,3,求數(shù)列 an的通項公式。解：f ( x) x 22x又 (an ,an 1 ) 在函數(shù)圖象上an 1an 22an. 下載可編輯.an 11a22a1(an1) 2nnlg(an 11)2 lg(an1)lg(an11)2, lg( a11)lg 3lg( an1)lg( an1)是首項為 lg3 公比為 2 的等比數(shù)列l(wèi)g an 1n1lg 32 n 12lg 3an132n 12 n11an 3小結(jié)：前一個題構(gòu)造出Sn 為等差數(shù)列，并且利用通項與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項公式，后一個題

8、構(gòu)造lg an1為等比數(shù)列 , 再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運用是當(dāng)今高考的重點與熱點， 因此我們在解決數(shù)列問題時應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識， 以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁 , 揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例 8：(2007 天津高考題 ) 已知數(shù)列an 滿足 a12, an 1ann 1(2) 2 n ，（ nN * ）其中0 ，求數(shù)列的通項公式方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求an 的通項公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解： an 1ann 1( 2) 2n ,( n N *,0)n 1n( 2 )( 2 )n1a

9、n 1ann 1an 12)n 1an2n1,n 1(n( )。所以n 1( 2 )n1n( 2 )n1,a120an 1an. 下載可編輯.所以an( 2 )n為等差數(shù)列，其首項為0，公差為1；nan2nn 1, an( n 1)n2nn( )例 9：數(shù)列 an中，若 a12， an 1an，則 a413anA 2B 16C 8D 3191554解：an1an,113an1313anananan1又 11,1是首項為 1 公差 3 的等差數(shù)列。a12an211(n1)356n5an2an23n2,6n52a422所以選 A64519變式題型：數(shù)列an 中， a12, an12an，求 an13an解：an12an,113an3 1 11 3anan 12an2 2 an令 11 ( 1), 則23 ,3an 12an2131 ( 13),又 135an12ana1213是首項為5公比為1 的等比數(shù)列an22. 下載可編輯.135 ( 1) n 1 ,135 ( 1) n 1an22an2 2an15 (1 ) n 1322小結(jié) : an 1f (an ) 且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造