2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.4.2《用空間向量研究距離、夾角問題（1）》教學(xué)設(shè)計(jì)(含答案)

1、1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題(1) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決計(jì)算空間距離問題。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、兩條平行線及二平行平面角的距離問題，首先轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決空間距離問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。課程目標(biāo)素養(yǎng)A. 能用向量語言表示點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.B. 能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.1.數(shù)

2、學(xué)抽象：向量語言表述空間距離 2.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間距離的原理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間距離問題.1.教學(xué)重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間距離的原理2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間距離的方法多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫。如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn),修一條公路到達(dá)A點(diǎn),要想使這個(gè)路線長度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?答案：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行線及兩個(gè)平行平面的距離; 傳統(tǒng)方法和向量法.二、探究新知一、點(diǎn)到直線的距離、兩條

3、平行直線之間的距離1.點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn).設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a).點(diǎn)P到直線l的距離為PQ=a2-(a)2.2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點(diǎn)P,則兩條平行直線間的距離就等于點(diǎn)P到直線m的距離.點(diǎn)睛：點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題.1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點(diǎn),則點(diǎn)A到直線EF的距離

4、為.答案: 1746解析:如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),EF=(1,-2,1),FA=(1,0,-2),|EF|=12+(-2)2+12=6,直線EF的單位方向向量=66(1,-2,1),點(diǎn)A到直線EF的距離d=|FA|2-662=296=1746.二、點(diǎn)到平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離 點(diǎn)到平面的距離 已知平面的法向量為n,A是平面內(nèi)的定點(diǎn),P是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面的垂線l,交平面于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到平面的距離為PQ=|APn|n|.點(diǎn)睛：1.實(shí)質(zhì)上,n是直線l的方向向量,點(diǎn)

5、P到平面的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.2.如果一條直線l與一個(gè)平面平行,可在直線l上任取一點(diǎn)P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面的距離求解.3.兩個(gè)平行平面之間的距離如果兩個(gè)平面,互相平行,在其中一個(gè)平面內(nèi)任取一點(diǎn)P,可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面的距離求解.2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點(diǎn)B1到平面AD1C的距離為.答案: 83 解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),則AC=(-2,2,0),AD1=(

6、-2,0,4),B1D1=(-2,-2,0),設(shè)平面AD1C的法向量為n=(x,y,z),則nAC=0,nAD1=0,得-2x+2y=0,-2x+4z=0.取z=1,則x=y=2,所以n=(2,2,1).所以點(diǎn)B1到平面AD1C的距離d=|nB1D1|n|=83.三、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求點(diǎn)B到直線A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量A1C1=(-4,3,0),BC1=(0,3,1),所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d=|BC

7、1|2-BC1A1C1|A1C1|2=10-952=135. 用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn):(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計(jì)算正確.延伸探究1 例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點(diǎn),試求點(diǎn)C1到直線MN的距離.解:如例1解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略). 則M(2,0,1),N2,32,0,C1(0,3,1),所以直線MN的方向向量為MN=0,32,-1，MC1=(-2,3,0),所以點(diǎn)C1到MN的距離d=|MC1|2-MC1MN|MN|2=228613.延伸探

8、究2 將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點(diǎn)B到A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,3,2),所以A1C1的方向向量A1C1=(-1,3,0),BC1=(1,3,2),所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d=|BC1|2-BC1A1C1|A1C1|2=8-1+3+022=8-1=7.例2 在三棱錐S-ABC中,ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=23M,N分別為AB,SB的中點(diǎn),如圖所示.求點(diǎn)B到平面CMN的距離.思路分析 借助

9、平面SAC平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面CMN的法向量,再求距離.解:取AC的中點(diǎn)O,連接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC.又BO平面ABC,SOBO.如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(0,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2).CM=(3,3,0),MN=(-1,0,2),MB=(-1,3,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,則CMn=3x+3y=0,MNn=-x+2

10、z=0,取z=1,則x=2,y=-6,n=(2,-6,1).點(diǎn)B到平面CMN的距離d=|nMB|n|=423. 求點(diǎn)到平面的距離的主要方法(1)作點(diǎn)到平面的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.(3)向量法:d=|nMA|n|(n為平面的法向量,A為平面上一點(diǎn),MA為過點(diǎn)A的斜線段)跟蹤訓(xùn)練1 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點(diǎn).(1)求證:B1C平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.(1)證明:連接AB1交A1B于點(diǎn)E,連接DE.DEB1C,DE平面A1BDB1C平面A1BD.(2)解:因?yàn)锽1C平面A1BD,所以

11、B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.如圖建立坐標(biāo)系,則B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),DB1=(0,22,3), DB=(0,22,0), DA1=(-1,0,3).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),所以22y=0,-x+3z=0,所以n=(3,0,1).所求距離為d=|nDB1|n|=31010.金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,點(diǎn)E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點(diǎn),EF與B1D相交于點(diǎn)H.(1)求證:B1D平面ABD;(2)求證:平

12、面EGF平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.思路分析： 根據(jù)兩個(gè)平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離,即點(diǎn)面距.(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2), Ga2,1,0.所以B1D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2).所以B1DAB=0+0+0=0,B1DBD=0+4-4=0.所以B1DAB,B1DBD,所以B1DAB,B1DBD.又ABBD=B

13、,所以B1D平面ABD.(2)證明:由(1)可得AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),GF=-a2,0,0,EF=(0,1,-1),所以AB=2GF,BD=2EF,所以GFAB,EFBD.所以GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,所以平面EGF平面ABD.(3)解:由(1)(2)知,B1D是平面EGF和平面ABD的法向量.因?yàn)槠矫鍱GF平面ABD,所以點(diǎn)E到平面ABD的距離就是兩平面的距離,設(shè)為d.因?yàn)镋B=(0,0,3),B1D=(0,2,2),所以d=|B1DEB|B1D|=622+22=322.即兩平面間的距離為322.總結(jié)：求兩個(gè)平行平面的距離,先在其中一個(gè)平面上

14、找到一點(diǎn),然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離求解.注意:這個(gè)點(diǎn)要選取適當(dāng),以方便求解為主.通過生活中的現(xiàn)實(shí)情況，幫助學(xué)生回顧空間距離的概念，并提出運(yùn)用向量解空間距離的問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，進(jìn)一步體會(huì)空間幾何問題代數(shù)化的基本思想由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用空間向量解決空間距離問題的基本原理，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理

15、論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.兩平行平面,分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()A.32B.22C.3D.32答案:B 解析:兩平行平面,分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),OA=(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),兩平面間的距離d=|nOA|n|=|-2+0+1|2=22.故選B.2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()A.66B.63C.36D.33答案:D 解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸,

16、y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個(gè)法向量為n=(1,1,1),則d=|PAn|n|=33.3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是()A.12B.24C.22D.32答案:B 解析:建立坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O12,12,1.AB=(0,1,0),AD1=(-1,0,1).設(shè)n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量,則ABn=y=0,AD1n=-1+z=0,解得y=0,z=1,n=

17、(1,0,1).又OA=12,-12,-1,點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為|OAn|n|=122=24.4.RtABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC平面ABC,PC=95,則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是.答案:3 解析:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0),B(0,3,0),P0,0,95,所以AB=(-4,3,0), AP=-4,0,95,所以點(diǎn)P到AB的距離d=|AP|2-|APAB|AB|2=16+8125-25625=3.5.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點(diǎn),

18、則直線MN到平面ACD1的距離為.答案:32解析:如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M1,1,12,A(1,0,0),AM=0,1,12,AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則nAC=0,nAD1=0,即-x+y=0,-x+z=0.令x=1,則y=z=1,n=(1,1,1).點(diǎn)M到平面ACD1的距離d=|AMn|n|=32.故直線MN到平面ACD1的距離為32.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的額距離