高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課件3 新人教A版必修4

1、1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系12同角三角函數(shù)的基本關(guān)系22sin cos 1 sin tancos 31.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)由于平方關(guān)系對任意角都成立，則sin2+cos2=1也成立.( )(2)對任意角， 都成立.( )(3)在利用平方關(guān)系求sin 或cos 時(shí)，會得到正負(fù)兩個值.( )sin 2tan 2cos 242.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知 且角在第四象限，則sin =_.(2)化簡 的結(jié)果是_.(3)已知 則tan =_.1cos 2 ，21 sin5sin 2cos 5,3sin 5cos 5【解析】(1)錯誤.必須是對同一個角.(

2、2)錯誤. 沒意義，故 不成立.(3)錯誤.其正負(fù)號由角所在的象限決定.答案：(1) (2) (3)k,kZ,2k,kZ22 當(dāng)即時(shí)，tan 2sin 2tan 2cos 26【解析】(1)由于 且角在第四象限，所以答案：(2)因?yàn)?所以所以答案：(3)由 得 解得答案：1cos 2 ，213sin 1 ( ).22 32052，cos 0.5221 sin coscos .555cos 5sin 2cos 53sin 5cos tan 25,3tan 5 23tan .16 23167【要點(diǎn)探究】知 識 點(diǎn) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的五點(diǎn)說明(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

3、揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這里，“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下).關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23+cos23=1.(2)sin2是(sin )2的簡寫，不能寫成sin 2.8(3)在使用同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)要注意使式子有意義，如式子tan 90= 不成立.(4)注意公式的變形,如sin2=1-cos2，cos2=1-sin2，sin =cos tan ，cos = 等.(5)在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin 或cos 時(shí)，其正負(fù)號是由角所在的象限決定的，不可憑空想象. sin 90cos 90sin tan 9【微思考】當(dāng)角

4、的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，sin2+cos2=1也成立嗎?提示：成立.在使函數(shù)有意義的前提下，對任意角，sin2+cos2=1都成立.10【即時(shí)練】1.已知sin -cos 則sin cos 等于( )【解析】1.選C. 將所給等式兩邊平方，得故54 ，7999A. B C. D4163232.251 2sin cos 16，9sin cos .32112.化簡 的值為( )A.sin B.cos C.1 D.tan 【解析】選B. sin cos tan 1sin cos sin cos sin cos cos .sin sin cos tan 11cos cos 12 【題型示范】類型一 利用

5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值【典例1】(1)已知 并且是第二象限角，那么tan 的值等于( )(2)已知 計(jì)算下列各式的值： sin22sin cos 1.4sin 5 ，4334A. B C. D.3443.sin cos 2sin cos ，3sin cos 2sin 3cos ；13【解題探究】1.題(1)中如何求cos 的值？2.題(2)中怎樣將已知和所求聯(lián)系起來？【探究提示】1.題(1)中可利用平方關(guān)系求cos 的值，要注意角所在的象限.2.題(2)中可將已知條件變形，表示出sin 與cos 的關(guān)系或求出tan 的值，代入所求從而求解.14【自主解答】(1)選A. 由于是第二象限角，根據(jù)

6、平方關(guān)系易得 所以(2)由 化簡，得sin 3cos ，所以tan 3.方法一：原式3cos 5 ，sin 4tan .cos 3sin cos 2sin cos ，3 3cos cos 8cos 8.2 3cos 3cos 9cos 915方法二：原式原式sin cos 3cos cos sin cos 23cos cos 3tan 13 3 18.2tan 32 339 222sin2sin cos 1sincos2222tan2tan 32 31311.tan13110 16【延伸探究】題(1)中將條件“ ”改為“ ”，其他條件不變，則sin ,cos 的值各是什么？【解析】由于所以又s

7、in2+cos2 =1，且是第二象限角，所以4sin 54tan 5sin 4tan cos 5 ，4sin cos 5，4 415 41sin ,cos .4141 17【方法技巧】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問題的方法(1)已知角的某一種三角函數(shù)值，求角的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系.(2)若角所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，有兩組結(jié)果.18【變式訓(xùn)練】已知(1)求tan 的值.(2)求 的值【解析】(1)因?yàn)閟in2cos21，所以又 所以所以(2)由(1)知，1sin .3

8、2 ，222sin2sin cos 3sincos28cos.92 ，2 2cos .3sin 2tan .cos 422222sin2sin cos tan2tan 14 2.3sincos3tan11119【補(bǔ)償訓(xùn)練】若 且A是三角形中的一個角，求 的值【解析】因?yàn)?所以角A為銳角或鈍角當(dāng)A為銳角時(shí)，所以原式當(dāng)A為鈍角時(shí)，4sin A5 ，5sin A815cos A74sin A5 ，23cos A1 sin A5 ，4585631575 ；23cos A1 sin A5 ，20所以原式綜上可知， 的值為6或45835.3415 ()75 5sin A815cos A73.421類型二

9、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡【典例2】(1)化簡： _.(2)化簡 的結(jié)果為_12sin 4cos 4sin sin 1sin 1 sin 22【解題探究】1.題(1)中怎樣將“1-2sin 4cos 4”化為完全平方的形式？2.題(2)中如何處理分式結(jié)構(gòu)？【探究提示】1.可將1分解為“sin24+cos24”的形式，從而構(gòu)造出完全平方的形式.2.對于分式結(jié)構(gòu)可先通分，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行化簡.23【自主解答】(1) |sin 4cos 4|.因?yàn)?所以由三角函數(shù)線易知cos 4sin 4.所以答案：cos 4sin 412sin 4cos 422sin 42sin 4cos 4co

10、s 453442 ，12sin 4cos 4cos 4sin 4.24(2)答案：2tan2sin 1 sin sin 1sin sin sin 1sin 1 sin 1sin (1 sin ) 222222sin2sin2tan.1 sincos25【方法技巧】化簡三角函數(shù)式的一般要求及化簡技巧(1)一般要求：函數(shù)種類最少；項(xiàng)數(shù)最少；函數(shù)次數(shù)最低；能求值的求值；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使分母不含根式.26(2)化簡技巧：化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的.對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的.對于化簡含高次

11、的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2+cos2=1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.27【變式訓(xùn)練】(2014臺州高一檢測)化簡其中是第二象限角.【解題指南】先由角是第二象限角確定出sin ，cos 的符號，利用公式sin2+cos2=1對含根號的式子化簡，結(jié)合sin ，cos 的符號可去掉根號，再由可使式子最簡.21tan 1sin，sin tan cos 28【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿牵詓in 0,cos 0.故22211 sintan 1tan sinsin22cossin cos sin cos tan |()1.sincos sin cos sin 29【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡

12、：【解析】原式22sin xsin xcos x.sin xcos xtan x1222sin xsin xcos xsin xsin xcos x1cos x222222cos x sin xcos xsin xsin xcos xsin xcos xsin xcos xsin xcos x.sin xcos x30類型三 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明【典例3】(1)求證：(2)求證：2211tan.cos sin 1cos .1 cos sin 31【解題探究】1.題(1)中借助哪個式子可把切函數(shù)化為弦函數(shù)？2.欲證明題(2)中的等式，可以從什么地方著手？【探究提示】1.由切函數(shù)到弦函數(shù)可

13、通過商數(shù)關(guān)系來實(shí)現(xiàn).2.欲證明此等式，可從平方關(guān)系著手，通過平方差公式分解因式后變形即得證，或通過作差、通分變形后得差為0，即可證明等式.32【自主解答】(1) 因?yàn)?所以原式成立.(2)方法一：sin2 cos2 11cos2 sin2 (1cos )(1cos )sin sin 222sin1tan1cos 2222cossin1coscos，sin 1cos .1 cos sin 33方法二：所以sin 1cos 1 cos sin 2sin(1cos )(1 cos )(1 cos ) sin 2222sin(1cos)sinsin01cos sin 1cos sin ，sin 1co

14、s .1 cos sin 34【方法技巧】1.簡單的三角恒等式的證明思路(1)從一邊開始，證明它等于另一邊.(2)證明左、右兩邊等于同一個式子.(3)逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡.2.證明三角恒等式常用技巧及遵循的原則(1)常用技巧：切化弦、整體代換、“1”的代換等.(2)原則：由繁到簡,變異為同.35【變式訓(xùn)練】已知tan2=2tan2+1，求證：sin2=2sin2-1.【證明】因?yàn)閠an2=2tan2+1，所以tan2+1=2tan2+2，所以所以所以1sin2=2(1sin2)，即sin2=2sin21.2222sinsin12(1)coscos ，2212coscos，36【

15、補(bǔ)償訓(xùn)練】求證：2(1-sin)(1+cos)=(1-sin+cos)2.【證明】左邊=2(1+cos-sin-sincos)，右邊=(1-sin)2+2(1-sin)cos+cos2=1-2sin+sin2+2cos-2sincos+cos2=2(1+cos-sin-sincos).左邊=右邊，所以原等式成立.37【規(guī)范解答】同角正、余弦的和、差、積之間的關(guān)系問題 【典例】(12分)(2014天水高一檢測)已知sin +cos =其中0，求sin -cos 的值.13，38【審題】抓信息，找思路39【解題】明步驟，得高分40【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升失分點(diǎn)1：若沒有利用處sin cos 0，則無法判斷出sin ,cos 的具體符號，則sin -cos 的符號判斷會出現(xiàn)失誤.失分點(diǎn)2：若沒有判斷出處的關(guān)系式，則下一步利用平方關(guān)系求解sin -cos 的值時(shí)，可能會出現(xiàn)兩個.失分點(diǎn)3：若前邊的符號問題都正確，但在處書寫不正確，沒有考慮前面的符號而出現(xiàn)sin -cos = 則本例至少會扣掉2分.173，41【悟題】提措施，導(dǎo)方向1.充分挖掘解題條件在解題過程中要充分利用題中的條件，判斷出所