偏微分方程的離散化方法ppt課件

1、離散空間離散空間tP離散時間離散時間無效網(wǎng)格無效網(wǎng)格有效網(wǎng)格有效網(wǎng)格點中心網(wǎng)格點中心網(wǎng)格塊中心網(wǎng)格塊中心網(wǎng)格xyyzx模擬區(qū)網(wǎng)格圖（井位、邊界、斷層）模擬區(qū)網(wǎng)格圖（井位、邊界、斷層）五點法注水開發(fā)五點法注水開發(fā)5年后年后XW3層含水飽和度分布圖層含水飽和度分布圖五點法注水開發(fā)五點法注水開發(fā)20年后年后XW3層含水飽和度分布圖層含水飽和度分布圖rzxxPxxPxPx)()(lim0 前前差商差商 xxxPxPxPx)()(lim0 后后差商差商 xxxPxxPxPx2)()(lim0 中心中心差商差商 Px函函數(shù)數(shù)P(x+x)利利用用Talor公公式式逼逼近近導導數(shù)數(shù) )()()()(! 4)(

2、! 3)(! 2)()()()4(432xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxPxxP (*) )2()(2)()(! 3) 2/()(! 2) 2/()(2)()2(32xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxP 1、 一階前差商一階前差商 xxPxxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截斷截斷誤差誤差)( xO 2、 一階后差商一階后差商 xxxPxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截斷截斷誤差誤差)( xO 3、 一階中心差商一階中心差商 xxxPxxPxP2)()(，xPPxPiii211 忽略忽略截斷截斷誤差誤差)(2xO xxxPxxPxP)2/()2/(，xP

3、PxPiii2/12/1 忽略忽略截斷截斷誤差誤差)2/(2xO 1、 二二階階差差商商 將將方方程程(*)正正負負相相加加,可可得得: .)(12)()(2)()()4(4 2xPxxPxxPxxPxxP 上上式式兩兩端端同同除除2x,整整理理得得: )()()(2)()(22 xOxxxPxPxxPxP 忽忽略略二二階階截截斷斷誤誤差差)(2xO 222)()(2)(xxxPxPxxPxP，211222xPPPxPiiii(用節(jié)點位置) 1、 一種常用二階差商處理方法一種常用二階差商處理方法 xxukxukxkxxxxx2221，)(2121xxx 112),(),(1xtyxutyxxu

4、xuxx ，222),(),(1xtyxxutyxuxuxx xxtyxxutyxukxtyxutyxxukxukxxxxx222112),(),(),(),(21 x x1 1x x2 2x x1、拋物型方程、拋物型方程：一維不穩(wěn)定滲流方程一維不穩(wěn)定滲流方程：tPxP22 （1）顯示差分：）顯示差分：利用 P（x，t）關于 t 的一階向前差商和關于 x 的二階差商，在點（i，n）的差分方程。 tPPxPPPninininini12112 )()21 (111ninininiPPPP，2xt，截斷誤差截斷誤差：)(2xtO 從方程可以看出：如果已知第 n（本步時間）的值niP ，就可以求得第

5、n+1時刻（下步時間）的值1niP。因此如初始條件，即 n=0 時各網(wǎng)格的 P 值已給定，就可以依次求得以后各時間的 P 值。 這種差分格式是顯式差分格式。 在顯式差分格式中：只有一個未知數(shù)1niP，由一個方程就可以求出。簡單，精度較差，時間步長受到嚴格限制，基本不用。 （2）隱式差分）隱式差分：利用利用 P（x，t）關于）關于 t 的一階向后差商和關于的一階向后差商和關于 x 的二階差商，的二階差商，在點在點（i，n+1）的差分方程）的差分方程： tPPxPPPninininini12111112 ninininiPPPP)()21 (11111 從方程可以看出：如果已知第從方程可以看出：如

6、果已知第 n（本步時間）的值（本步時間）的值niP ，為了求得第，為了求得第 n+1 時刻（下時刻（下步時間）的值步時間）的值1niP，必須解一個線性代數(shù)方程組，必須解一個線性代數(shù)方程組。即：要想求出即：要想求出1niP值，需用值，需用到第到第 n 時刻的時刻的 P 值，值，也要用到第也要用到第 n+1 時刻的時刻的 P 值。這種差分格式是值。這種差分格式是隱隱式式差分格差分格式式。在。在隱隱式差分格式中：式差分格式中：在點（在點（i，n+1） ，） ，用到（用到（i-1，n+1） 、 （） 、 （i+1，n+1） 、 （） 、 （i，n）三點。在三點。在隱式隱式差分格式中差分格式中：只有一個

7、方程，：只有一個方程，23 個未知數(shù)，但個未知數(shù)，但穩(wěn)定，穩(wěn)定，精度好，精度好，廣廣泛使用。泛使用。 以上方程的一般形式：以上方程的一般形式：iiiiiiidPbPaPc11，形成三對角矩陣。，形成三對角矩陣。 三三對對角角矩矩陣陣形形式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P

8、 5 5 P P P P 2、橢圓型方程、橢圓型方程： 二維不穩(wěn)定滲流方程二維不穩(wěn)定滲流方程 tPyPxP2222 采用：等距網(wǎng)格差分 （1）顯示差分：）顯示差分：在點（i，j，n）的差分方程（圖示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21,1,2, 1, 122 )2()2(1,1, 1, 1,1,njinjinjinjinjinjinjinjiPPPPPPPP 2xt，2yt，截斷誤差：)(22yxtO 該線性代數(shù)方程組在節(jié)點（i，j）列方程式，用到（i，j） ， （i+1，j） ， （i-1，j） ， （i，j+1） ， （i，j-1）五個點。

9、顯式：只有一個方程，1 個未知數(shù)，簡單，精度較差，時間步長受到嚴格限制，基本不用。 （2）隱式差分：）隱式差分：在點（在點（i，j，n+1）的差分方程（圖示）的差分方程（圖示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,211,1,11,21, 11,1, 122 若取正方形網(wǎng)格：若取正方形網(wǎng)格：則：則： yx njinjinjinjinjinjiPPPPPP,1,1, 11,1, 111,1)14( 該線性代數(shù)方程組在節(jié)點（該線性代數(shù)方程組在節(jié)點（i，j）列方程式，也要用到（）列方程式，也要用到（i，j） ， （） ， （i+1，j） ，） ，（i-1，j）

10、 ， （） ， （i，j+1） ， （） ， （i，j-1）五個點，但時刻不同。）五個點，但時刻不同。 隱式：只有一個方程，隱式：只有一個方程，5 個未知數(shù)個未知數(shù)，穩(wěn)定，廣泛使用。，穩(wěn)定，廣泛使用。 其一般形式是：其一般形式是：jinjijinijinjijinjijinjijifPdPbPePaPc,11.,11,1,1, 1,11,（形成五對（形成五對角矩陣）角矩陣） 五五 對對 角角 矩矩 陣陣 形形 式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3

11、3 4 4 5 5 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P

12、P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 3、Crank_Nicolson 差差分分格格式式 Crank_Nicolson 差分格式（簡稱C_N格式）是綜合顯式和隱式格式而構建，將空

13、間二階差商取為n 時刻與n+1 時刻的算術平均值，則： tPPxPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21, 11,1, 12, 1, 1)22(21 整理： njinjinjinjinjinjiPPtxPPPtxP, 1,2, 11, 11,21, 1)22()22( 截斷誤差：)(2txO 這種差分格式求解精度高，工作量與隱式差不多，在油藏數(shù)值模擬中經(jīng)常采用的格式之一。 4、其其它它差分格差分格式式 時間時間中心中心顯式顯式差分差分： tPPxPPPnjinjinjinjinji221,1,2, 1, 1 Dufort_Frankel 差分差分格式格式： tP

14、PxPPPPnjinjinjinjinjinji2)(1,1,2, 1!,1, 1 Douglas_Jones 校正校正差分差分格式格式： （1）預報預報差分差分格式格式： 2/22,2/1, 1, 122/1, 12/1,2/1, 1tPPxPPxPPPnjinjinjinjinjinjinji （2）修正修正差分差分格式格式： tPPxPPxPPPPPPnjinjinjinjinjinjinjinjinjinji,1,2/1, 12/1, 12, 1, 11, 11,1, 122)2()2( 定定產產條條件件：即即井井以以一一定定產產量量 q 生生產產。如如在在網(wǎng)網(wǎng)格格（i，j）上上有有一

15、一口口井井，產產量量 q，則則可可在在滲滲流流方方程程左左邊邊加加上上產產量量相相，生生產產井井 q 為為負負，注注水水井井 q 為為正正。 定定壓壓條條件件：即即井井以以一一定定流流動動壓壓力力 Pwf 生生產產，這這時時的的 q 未未知知，可可由由給給定定的的井井底底流流動動壓壓力力 Pwf 和和井井點點所所在在網(wǎng)網(wǎng)格格節(jié)節(jié)點點的的壓壓力力 Pij 計計算算： 把把網(wǎng)網(wǎng)格格內內井井近近似似看看成成穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)流流動動，符符合合平平面面徑徑向向流流： )/ln()(2,wewfjijirrPPKhq 如如考考慮慮油油層層彈彈性性和和油油井井表表皮皮效效應應的的影影響響，則則： )43ln()(2,srrPPKhqwe