2020年九年級數(shù)學中考三輪沖刺復(fù)習：《四邊形綜合訓(xùn)練》（解析版）

1、中考三輪沖刺復(fù)習：四邊形綜合訓(xùn)練1如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，C90，BC32，DC24，AD42，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒4個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒2個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動設(shè)運動的時間為t（秒）（1）設(shè)BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？（3）是否存在時刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由解：（1）如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形PMDC24QB

2、32t，S24（322t）38424t（0t16）；（2）由圖可知：CMPD4t，CQ2t以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若PQBQ在RtPMQ中，PQ24t2+242，由PQ2BQ2得4t2+242（322t）2，解得t；若BPBQ在RtPMB中，BP2（324t）2+242由BP2BQ2得：（324t）2+242（322t）2即3t232t+1440由于7040，3t232t+1440無解，PBBQ若PBPQ由PB2PQ2，得4t2+242（324t）2+242整理，得3t264t+2560解得t1，t216（舍去）綜合上面的討論可知：當t秒或t秒時，以B、P、

3、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形（3）設(shè)存在時刻t，使得PQBD如圖2，過點Q作QEAD于E，垂足為EADBCBQFEPQ，又在BFQ和BCD中BFQC90，BQFBDC，BDCEPQ，又CPEQ90，RtBDCRtQPE，即，解得t9所以，當t9秒時，PQBD2綜合與實踐在RtABC中，ACB90，點D為斜邊AB上的動點（不與點A，B重合）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，當ACBC8時，把線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE，連接DE，BECBE的度數(shù)為45；當BE4時，四邊形CDBE為正方形；（2）探究證明：如圖，當BC2AC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90后并延長為原來的兩倍，記為線段CE，

4、連接DE，BE在點D的運動過程中，請判斷CBE與A的大小關(guān)系，并證明；當CDAB時，求證：四邊形CDBE為矩形解：（1）ACB90，ACBC，ACBA45，ACB90，DCE90，ACBDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）CBEA45，故答案為：45；ACB90，ACBC8，AB8，當四邊形CDBE為正方形時，CDAB，BEBDAD，BEAB4，故答案為：4；（2）CBEA理由如下：BC2AC，CE2CD，ACBDCE90，ACD+DCBDCB+BCE，ACDBCE，ACDBCE，CBEA；證明：CBEA，DBC+A90，DBEDBC+C

5、BEDBC+A90，CDAB，CDB90，又DCE90，四邊形CDBE是矩形3如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點O在坐標原點處，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點（不與點A重合）EFCE，且與正方形外角平分線AG交于點P（1）求證：CEEP（2）若點E坐標為（3、0）時在y軸上是否存在點M使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由在平面內(nèi)是否存在點Q，使四邊形CEPQ為正方形，若存在，請直接寫出Q點坐標，若不存在，說明理由（1）證明：如圖1，在OC上截取OKOE連接EK，OCOA，COABA090，OEKOKE45，AP為正方形OCBA的外

6、角平分線，BAP45，EKCPAE135，CKEA，ECEP，CEFCOE90，CEO+KCE90，CEO+PEA90，KCECEA，在CKE和EAP中，CKEEAP（ASA），ECEP；（2）解：y軸上存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形如圖2，過點B作BMPE交y軸于點M，連接BP，EM，則CQBCEP90，所以O(shè)CECBQ，在BCM和COE中，BCMCOE（ASA），BMCE，CEEP，BMEPBMEP，四邊形BMEP是平行四邊形，BCMCOE，CMOE3，OMCOCM2故點M的坐標為（0，2）如圖3，存在點Q使四邊形CEPQ是正方形，過點Q作QHy軸于點Q，則QHCCOE90，HQ

7、C+HCQ90，QCE90，HCQ+ECO90，ECOCHQ，四邊形CEPQ是正方形，CQEC，HCQOEC（AAS），HCOE2，HQOC5，則HO7，點Q的坐標為（5，7）4如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分EAD，交CD于點F（1）如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AEBE+2CE；（2）在（1）的條件下，求的值；（3）如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CGDF時，求證：HGAG解：（1）如圖1，延長BC交AF的延長線于點G，ADCG，DAFG，又AF平分DAE，DAFEAF，GEAF，EAEG，點F為CD的中點，CFDF

8、，又DFACFG，F(xiàn)ADG，ADFGCF（AAS），ADCG，CGBCBE+CE，EGBE+CE+CEBE2CEAE；（2）設(shè)CEa，BEb，則AE2a+b，ABa+b，在RtABE中，AB2+BE2AE2，即（a+b）2+b2（2a+b）2，解得b3a，ba（舍），；（3）如圖2，連接DG，CGDF，DCDA，ADFDCG，ADFDCG（SAS），CDGDAF，HAFFDG，又AFHDFG，AFHDFG，又AFDHFG，ADFHGF，ADFFGH，ADF90，F(xiàn)GH90，AGGH5已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，將MBN繞點B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

9、邊AD、DC（或它們的延長線）于點E、F（1）當MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AECF時（如圖1），求證：ABECBF；求證：AE+CFEF；（2）當MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，AECF，此時，（1）中的兩個結(jié)論是否還成立？請直接回答（1）證明；ABAD，BCCD，ABCF90，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；證明：ABECBF，BEBF，ABECBF，MBN60，BEF是等邊三角形ABECBF（ABCMBN）（12060）30BEBFEF，AEBE，CFBF，AE+CFBE+BFEF；（2）解：ABECBF不成立；AE+CFEF成立，理由如下：AECF，ABECBF不成立延長DC至

10、點K，使CKAE，連接BK，如圖2所示：在BAE與BCK中，BAEBCK（SAS），BEBK，ABECBK，F(xiàn)BE60，ABC120，F(xiàn)BC+ABE60，F(xiàn)BC+CBK60，KBFFBE60，在KBF與EBF中，KBFEBF（SAS），KFEF，AE+CFKC+CFKFEF6已知：如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，AEBD，垂足是E點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、BF（1）求AF和BE的長；（2）若將ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應(yīng)的m的值（3）如圖，將ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個

11、角（0180），記旋轉(zhuǎn)中的ABF為ABF，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)AF所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q是否存在這樣的P、Q兩點，使DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由解：（1）四邊形ABCD是矩形，BAD90，在RtABD中，AB3，AD4，由勾股定理得：BD5，SABDBDAEABAD，AE，點F是點E關(guān)于AB的對稱點，AFAE，BFBE，AEBD，AEB90，在RtABE中，AB3，AE，由勾股定理得：BE（2）設(shè)平移中的三角形為ABF，如圖1所示：由對稱點性質(zhì)可知，12BFBE，由平移性質(zhì)可知，ABAB，41，BFBF當點F落在AB上時，ABAB，3

12、4，32，BBBF，即m；當點F落在AD上時，ABAB，62，12，51，56，又易知ABAD，BFD為等腰三角形，BDBF，BBBDBD5，即m（3）存在理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰DPQ依次有以下4種情形：如圖1所示，點Q落在BD延長線上，且PDDQ，則QDPQ，2Q+DPQ2Q，13+Q，12，3Q，AQAB3，F(xiàn)QFA+AQ+3在RtBFQ中，由勾股定理得：BQDQBQBD5；如圖2所示，點Q落在BD上，且PQDQ，則2P，12，1P，BAPD，則此時點A落在BC邊上32，31，BQAQ，F(xiàn)QFAAQ4BQ在RtBQF中，由勾股定理得：BF2+FQ2BQ2，即：（）2+（BQ）2BQ2

13、，解得：BQ，DQBDBQ5；如圖3所示，點Q落在BD上，且PDDQ，則342+3+4180，34，490212，4901AQB4901，ABQ180AQB1901，AQBABQ，AQAB3，F(xiàn)QAQAF3在RtBFQ中，由勾股定理得：BQ，DQBDBQ5；如圖4所示，點Q落在BD上，且PQPD，則2312，34，23，14，BQBA3，DQBDBQ532綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使DPQ為等腰三角形；DQ的長度分別為2或或或7如圖，在RtABD中，BAD90，AB5，過點A作ACBD，垂足為C，且AC4，E是線段CD上一點，過E作EFAD，垂足為F（1）請直接寫出AD的長為；（

14、2）如圖1，若點F在ABD的角平分線上，求DF的長；（3）如圖2，連接CF，點G為點A關(guān)于CF的對稱點連結(jié)DG，CG，當四邊形CGDF中有兩邊互相平行時，求CE的長；連結(jié)AG交BD于點H，點H在點E的上方，若BACEAH30，則解：（1）ACBD，ACB90，AB5，AC4，BC3，ABCABD，ACBBAD90，BACBDA，BD，AD故答案為（2）如圖1中，作FHBD于HFABFHB90，F(xiàn)BAFBH，BFBF，F(xiàn)BAFBH（AAS），AFFH，BABH5，BD，DH5，設(shè)AFFHx，則DFx，在RtDFH中，DF2DH2+FH2，（x）2（）2+x2，x，DF（3）如圖21中，當DGCF

15、時，設(shè)CF交AG于PA，G關(guān)于CF對稱，CF垂直平分線段CF，APPG，APF90，PFDG，APPG，AFDF，EFAB，DEBE，ECBECB3如圖22中，當DFCG時，CGAD，AFCFCG，F(xiàn)CGFCA，AFCACF，AFAC4，EFAB，BE5，ECBEBC532，綜上所述，滿足條件的EC的值為2或如圖3中，設(shè)CF交AG于PACHAPC90，PCH+ACP90，ACP+PAC90，PCHPAC，設(shè)PACPCH，AFE90，AFE+PCE180，A，F(xiàn)，E，C四點共圓，F(xiàn)AEECF，設(shè)CAB，DAB90，EAG+90，EAG30，260，30，設(shè)PCk，則APPGk，PHk，GHkkk

16、，AHk+kk，故答案為8問題背景：峰兄在探究幾何圖形的時候，發(fā)現(xiàn)了一組非常神奇的性質(zhì)：如圖1，等邊三角形ABC，CDE中，連接AD，BE可以得到ACDBCE，好學的他發(fā)問取AD，BE的中點，得到的CMN是特殊三角形嗎？請說明理由；遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形ABCD中，點O為CB的中點，構(gòu)造正方形EHMF繞O點進行旋轉(zhuǎn)，OEOF，連接AH，BE，DM，求的值；聯(lián)系拓展：如圖3，等腰RtABC，BDE中，ABAC，BDDE，BDEBAC90，當BDE繞B點旋轉(zhuǎn)的過程中取AD，CE的中點M，N，連接MN，若ABBD，且ABD30，BD1時，直接寫出MN的長度解：問題背景：如圖1中，CMN是等邊三角

17、形理由如下：ACB，DCE都是等邊三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，CADCBE，AMAD，BNBE，AMAN，ACCB，ACMBCN（SAS），CMCN，ACMBCN，ACBMCN60，MCN是等邊三角形遷移應(yīng)用：如圖2中，連接AO，OH四邊形ABCD，四邊形EFMH是正方形，ABOHEO90，ABBC，HE，OBOC，OEOF，AB2BO，EH2OE，OAOB，OHOE，ABOHEO，AOBHOE，BOEAOH，AOHBOE，聯(lián)系拓展：如圖3中，連接BM，延長BM到K，使得MKBM，連接DK，AK，BN，作KJBD交BD的延長線于

18、JABBD，BD1，AB，AMDM，BMMK，四邊形ABDK是平行四邊形，ABDK，ABDK，KDJABD30，KJBJ，J90，KJDK，DJKJ，BJBD+DJ1+，BK，BMMKBK，BDE，ABC都是等腰直角三角形，ABCDBE45，BCAB，BEBD，CBEABD，ABDCBE，ADBCEB，AMDM，ENCN，BDMBEN，BDMBEN，MBDEBN，MBNDBE45，作NMBK于M，在RtBNM中，BMBNcos45BN，BMBN，BMBM，M與M重合，BMN是等腰直角三角形，MNBM9如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，點A，點C分別在x軸，y軸上，點B坐標為（

19、4，6），點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿OCB方向運動，到點B停止設(shè)點P運動的時間為t（秒）（1）點A的坐標為（4，0）；（2）當t1秒時，點P的坐標（0，2）；（3）當點P在OC上運動，請直接寫出點P的坐標（用含有t的式子表示）；（4）在移動過程中，當點P到y(tǒng)軸的距離為1個單位長度時，求t的值解：（1）四邊形OABC是矩形，OAB90，B（4，6），AB6，OA4，A（4，0），故答案為（4，0）（2）t1時，OP212，OP2，此時點P在線段OC上，P（0，2），故答案為（0，2）（3）當點P在OC上運動時，P（0，2t）（4）當點P到y(tǒng)軸的距離為1個單位長度時，可知點P在BC

20、上，點P的坐標為（2t6，6），2t61，解得：t3.5答：當點P到y(tǒng)軸的距離為1個單位長度時，t的值為3.510在矩形ABCD中，AB6，AD8，點E是對角線BD上一動點（1）如圖1，當CEBD時，求DE的長；（2）如圖2，作EMEN分別交邊BC于M，交邊CD于N，連MN若，求tanENM；若E運動到矩形中心O，連CO當CO將OMN分成兩部分面積比為1：2時，直接寫出CN的長解：（1）矩形ABCD中，AB6，AD8BCD90，BCAD8，CDAB6BD10CEBDCEDBCD90CDEBDCCDEBDCDE（2）如圖1，過點M作MFBD于點F，過點N作NGBD于點G，BD10BDBE+DE3

21、DE+DE4DE10DE，BE設(shè)MFa，NGbBFMC90，F(xiàn)BMCBDFBMCBDBFaEFBEBFa同理可證：GDNCDBDGbEGDEDGbEMENMENMFENGE90MEF+NEGMEF+EMF90EMFNEGEMFNEGEFEGNGMF（a）（b）ba整理得：16a9027b在RtMEN中，tanENM如圖2，過點M作MFBD于點F，MPOC于點P，過點N作NGBD于點G，NQOC于點Q，設(shè)OC與MN交點為H點O為矩形中心，BD10OBODOCBD5由可得，設(shè)MFa，NGb，則BFa，DGb，OFOGNGMFOFOBBF5a，OGODDG5b（5a）（5b）ab整理得：16a609

22、b設(shè)CN5xNCQBDC，NQCBCD90NCQBDCCQCN3x，NQCN4xOQOCCQ53xMPOMONOQN90MOP+NOQNOQ+ONQ90MOPONQMOPONQi）若SOMH2SONH，且兩三角形都以O(shè)H為底MP2NQ8x解得：xCNii）若2SOMHSONH，則MPNQ2x解得：xCN綜上所述，CN的長為或11如圖，菱形ABCD中，BEAD，且BE，ABE30，連接BD、CE，作DFCE，垂足為F（1）判斷BCD的形狀（直接寫出即可）；（2）求DF的長度（3）若動點P，Q同時從點B出發(fā)，在ABD邊上運動，P沿BAD路徑勻速運動，Q沿BD+A路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，

23、已知點P的運動速度為2單位/秒，點Q的運動速度為1單位/秒，設(shè)運動時間為x秒，PBQ的面積為y，求當x為何值時，y取得最大值？最大值為多少？解：（1）BEAD，BEA90，ABE30，A60，四邊形ABCD是菱形，ABADBCCD，BCDA60，BCD是等邊三角形；（2）在RtABE中，BE，A60，AB4，ABE30，AEAB42，ABAD，A60，ABD是等邊三角形，BEAD，DEAE2，四邊形ABCD是菱形，ADBC，SCEDDEBE222，ADBC，BEAD，BCBE，在RtBCE中，CE2，DFCE，SCEDDFECDF，DF2，DF；（3）ABAD4，點P的運動速度為2單位/秒，點

24、Q的運動速度為1單位/秒，P到達A點時為2s，到達D得時為4s，則Q在BQ上；P到達D時，Q也到達D；當0x2時，P在BA上運動，Q在BD上運動，過點Q作QGAB于G，如圖1所示：則QGBQsin60x，yBPQG2xxx2，x2時，y有最大值，最大值為2；2x4時，P在AD上運動，Q在BD上運動，過點P作PHBD于H，如圖2所示：DP82x，PHDPsin60（82x）4x，yPHBQ（4x）xx2+2x（x24x）（x2）2+2，當x2時，y取最大值，最大值為2；綜上所述，當x2時，y有最大值，最大值為212如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（3，

25、4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交于y軸于點H（1）連接BM，動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以1個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設(shè)PMB的面積為S（S0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；（2）在（1）的情況下，當點P在線段AB上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，請說明理由解：（1）設(shè)點M到BC的距離為h，由SABCSABM+SBCM，即545+5h，h，當P在直線AB上運動時PBM的面積為S與P的運動時間為t秒關(guān)系為：S（5t），即St+（0t5）；當P運動到直線BC上時PM

26、B的面積為S與P的運動時間為t秒關(guān)系為：S5（10t），即St（5t10）；（2）存在當MBMP時，點A的坐標為（3，4），AB5，MBMP，MHAB，PHBH，即3t2，t1；當BMBP時，即5t，綜上所述，當t1或時，PMB為以BM為腰的等腰三角形13如圖，以矩形OABC的頂點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標系已知，OA2，OC4，點D為x軸上一動點，以BD為一邊在BD右側(cè)作正方形BDEF（1）若點D與點A重合，請直接寫出點E的坐標；（2）若點D在OA的延長線上，且EAEB，求點E的坐標；（3）若OE2，求點E的坐標解：（1）當點D與點A重合時，如圖1，

27、BDOC4，四邊形BDFE是正方形，BDDE4，BDE90，OA2，OEOA+AE2+46，E（6，0）；（2）如圖2，過E作EGAB于G，作EHx軸于H，EBEA，AGBG2，AGCGAHAHE90，四邊形AGEH是矩形，EHAG2，四邊形BDEF是正方形，BDDE，BDE90，ADB+EDHADB+ABD90，EDHABD，BADDHE90，BADDHE（ASA），DHAB4，ADEH2，OH8，E（8，2）；（3）分兩種情況：D在點A的右側(cè)時，如圖3，過E作EHx軸于H，由（2）知：BADDHE，DHAB4，ADEH，設(shè)ADx，則EHx，OH2+4+x6+x，在RtOEH中，由勾股定理得

28、：OE2OH2+EH2，解得：x2或8（舍），E（8，2）；D在點A的左側(cè)時，如圖4，過E作EHx軸于H，由（2）知：BADDHE，DHAB4，ADEH，設(shè)ADx，則EHx，OHx24x6，在RtOEH中，由勾股定理得：OE2OH2+EH2，x2+（x6）2，解得：x2或8（舍），OH268，E（2，8）；綜上，點E的坐標是（8，2）或（2，8）14如圖，已知點B（a，b），且a，b滿足|2a+b13|+0過點B分別作BAx軸、BCy軸，垂足分別是點A、C（1）求出點B的坐標；（2）點M是邊OA上的一個動點（不與點A重合），CMA的角平分線交射線CB于點N，在點M運動過程中，的值是否變化？若不

29、變，求出其值；若變化，說明理由；（3）在四邊形OABC的邊上是否存在點P，使得BP將四邊形OABC分成面積比為1：4的兩部分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由解：（1）|2a+b13|+0，B（5，3）；（2）的值不變，其值為1，理由：BCy軸，BCx軸，CNMAMN，MN是CMA的平分線，CMNAMN，CNMCMN，1；（3）由（1）知，B（5，3），BAx軸、BCy，A（5，0），C（0，3），BAx軸、BCy，OCBOAB90AOC，四邊形AOBC是矩形，ABOC3，BCOA5，S四邊形OABCOAOC15，當點P在OC上時，設(shè)P（0，m），CP3m，SBPCBCCP5（

30、3m）（3m），BP將四邊形OABC分成面積比為1：4的兩部分，SBPCS四邊形OABC3，（3m）3，m，P（0，）當點P在OA上時，設(shè)P（0，n），AP5n，SBPCABAP3（5n）（5n），BP將四邊形OABC分成面積比為1：4的兩部分，SBPAS四邊形OABC3，（5n）3，n3，P（3，0），即：滿足條件的點P的坐標為（0，）或（3，0）15如圖1，正方形ABCD中，O是對角線BD的中點，點E在邊AB上，點F在邊AD上，且OEOF（1）求證：BEAF；（2）如圖2，延長FO交BC于H，連結(jié)EH，若BE12，DF5，求EH的長；（3）如圖3，連結(jié)EF，若AB16，求AEF的面積的最大

31、值解：（1）如圖1，連接AO，四邊形ABCD是正方形，且O是BD中點，OAOB，OBEOAF45，AOB90，即BOE+AOE90，又OEOF，即AOF+AOE90，BOEAOF，BOEAOF（ASA），BEAF；（2）OBHODF45，OBOD，BOHDOF，BHODFO（ASA），BHDF5，BE12，EBH90，EH13；（3）如圖3，作ONAD于N，則ON8，SAEFS四邊形AEOFSEOF，又S四邊形AEOFSAOE+SAOFSAOE+SBOESBOA64，SAEF64OF2，OFON，SAEF648232，AEF面積的最大值為3216在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形紙片的折

32、疊”為主題開展數(shù)學活動（1）奮進小組用圖1中的矩形紙片ABCD，按照如圖2所示的方式，將矩形紙片沿對角線AC折疊，使點B落在點B處，則ADC與ABC重合部分的三角形的形狀是等腰三角形（2）勤學小組將圖2中的紙片展平，再次折疊，如圖3，使點A與點C重合，折痕為EF，然后展平，則以點A、F、C、E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由（3）創(chuàng)新小組用圖4中的矩形紙片ABCD進行操作，其中AD8cm，AB6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C的位置，BC交AD于點G，再按照如圖5所示的方式折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，則EM的長為cm解：（1）四邊形ABCD是矩形，

33、ABCD，ACDBAC，由折疊知，BACBAC，BACDAC，AMCMMAC是等腰三角形，故答案為：等腰三角形；（2）菱形，理由：如圖3，連接AE，CF，設(shè)EF與AC的交點為M，由折疊知，AMECME90，AMCM，AECE，AFCF，四邊形ABCD是矩形，ECAF，ECMFAM，CEMAFM，ECMFAM（AAS），ECFA，AEECFCFA，以點A，F(xiàn)，C，E為頂點的四邊形是菱形；（3）AD8cm，AB6cm，BD10cm由（1）可知BGGD，BG2AB2+AG2，BG236+（8BG）2，BGcmAGcm由折疊的性質(zhì)可得AMMD4cm，EMADBADBCD90，AGBCGDABGCDG，

34、且BAGEMD90ABGEMDEMcm故答案為：17某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（ABBC）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點（1）該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖中（三角板一邊與OC重合），BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的數(shù)量關(guān)系：CN2BN2+CD2，請你對這名成員在圖中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說明理由；（2）在圖中（三角板一直角邊與OD重合），試探究圖中BN、CN、CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（3）試探究圖中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，

35、并說明理由（1）證明：連結(jié)AN，矩形ABCDAOCO，ABN90，ABCD，ONAC，NANC，ABN90，NA2BN2+AB2，CN2BN2+CD2（2）如圖2，連接DN四邊形ABCD是矩形，BODO，DCN90，ONBD，NBND，DCN90，ND2NC2+CD2，BN2NC2+CD2（3）CM2+CN2DM2+BN2理由如下：延長MO交AB于E，矩形ABCD，BODO，ABCDCB90，ABCD，ABOCDO，BEODMO，BEODMO（AAS），OEOM，BEDM，NOEM，NENM，ABCDCB90，NE2BE2+BN2，NM2CN2+CM2，CN2+CM2BE2+BN2 ，即CN2

36、+CM2DM2+BN2 18如圖，在平面直角坐標系中，邊長為3的正方形OABC的邊OC落在x軸的正半軸上，邊OA落在y軸的正半軸上，點E從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿著射線AB的方向運動，點A關(guān)于OE的對稱點為點F運動時間為t秒，連接OF、EF、BF、CF（1）如圖1、當AOE30時，求CFB的度數(shù)；（2）如圖2，當t1時，求證：BFCF（3）如圖3，過點F作FGCF，且FGCF，連接AGM為AG的中點，連接CM則當t（3+3）s時，CM有最小值，CM的最小值為3解：（1）如圖1中，連接AF由翻折想性質(zhì)可知：AOEEOF30，OAOF，AOF60，AOF是等邊三角形，AFFO，OAF60

37、，四邊形OABC是正方形，ABOC，OABAOCABCOCB90，BAFCOF30，ABAFOFOC，ABFAFBOCFOFC75，F(xiàn)CBFBC15，CFB1801515150（2）如圖2中，作FMAB于M，交OC于N設(shè)FMx，EMyOAMAMNAON90，四邊形AMNO是矩形，MNAO3，AMON1+y，F(xiàn)N3x，在RtEFM和RtOFM中，則有，解得，BMCN31，BF，CF，CF2+BF2+9BC2，CFB90，CFBF（3）如圖3中，AO的延長線上截取OKOC，連接KC，KG，OMOCOFOK，COK90，CFK135，CFFG，CFG90，KFG36013590135，KFCKFG，

38、KFKF，F(xiàn)CFG，KFCKFG（SAS），KCKG3，OAOCOK，AMMG，OMKG，點M的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OM長為半徑的圓弧，當點M落在線段OC上時，CM定值最小，最小值3，此時易證：AOEEOF67.5，可得BEOB3，AE3+3，t（3+3）s故答案為：3+3，319如圖，在ABC中，ABC90，AB3cm，BC4cm，點P從點C出發(fā)，沿折線CAABBC以5cm/s的速度運動，當點P與點B不重合時，連結(jié)PB，以線段PB為對角線作正方形PDBE，設(shè)點P的運動時間為t（s），正方形PDBE的面積為S（cm2）（1）當正方形PDBE有兩邊同時落在ABC的邊上時，求t的值；（2）當點P沿折線CAAB運動時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍；（3）在整個運動過程中，正方形PDBE至少有一個頂點落在A的平分線上時，直接寫出t的值解：（1）當正方形PDBE有兩邊同時落在ABC的邊上時，設(shè)正方形的邊長為x，如圖1所示：PEAB，即：，解得：x，PE，ECBCBE4，PC，ts；（2）當0t1時，作PHBC于H，如圖2所示：則PHAB，CPHCAB，ABC90，AB3cm，BC4cm，AC5（cm），CP5t，HC4t，PH3t，BHBCHC44t，在RtPHB中，PB2PH2+BH2（3t）2+（44t）225t232t+16，SPB2t216t+8