第四不定積分

1、1第四章第四章 不定積分不定積分. 求求它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)”已已知知一一個個函函數(shù)數(shù)，如如何何微微分分學學的的基基本本問問題題是是“. . 了了積積分分學學這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生分分學學的的逆逆問問題題的的函函數(shù)數(shù)，這這類類問問題題是是微微數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，要要求求原原來來那那么么，如如果果已已知知一一個個函函分分：積積分分學學包包括括兩兩個個基基本本部部 不不定定積積分分和和定定積積分分24.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一一 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念.) )( ( )()()()( )()( . 1上的原函數(shù)上的原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間或或就稱為就稱為，那么函數(shù)，那么函

2、數(shù)或或，都有，都有上，對上，對如果在區(qū)間如果在區(qū)間定義定義idxxfxfxfdxxfxdfxfxfixi xxcos)(sin )0(1)(ln xxx.cossin的原函數(shù)的原函數(shù)是是xx.), 0(1ln內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間是是xx原函數(shù)原函數(shù) . 13問問題題：原原函函數(shù)數(shù)存存在在的的條條件件？ . 1系系？不不同同的的原原函函數(shù)數(shù)之之間間的的關(guān)關(guān) . 3原原函函數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)？ 2.4原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). . (2) 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系:).()( )( )( xfxfixxfixf ，都有，都有，使，使

3、函數(shù)函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則存在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則存在是區(qū)間是區(qū)間設(shè)設(shè)定理定理原函數(shù)原函數(shù)都是都是，則對任意常數(shù)，則對任意常數(shù)）原函數(shù)不唯一若）原函數(shù)不唯一若（注意：注意：)()( )()( 1xfcxfcxfxf xcxxxcos)(sincos)(sin 例如.)()()()()(cxgxfxfxgxf 則則的原函數(shù)，的原函數(shù)，都是都是和和若若5為為任任意意常常數(shù)數(shù)原原函函數(shù)數(shù)為為，則則其其全全體體的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)求求得得得得來來的的而而一一旦旦問問它它是是由由什什么么函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)的的原原函函數(shù)數(shù)，實實質(zhì)質(zhì)上上就就是是注注：求求函函數(shù)數(shù))()()()()(ccxfxfxfxf

4、 6不定積分不定積分 . 2任意常任意常數(shù)數(shù)積分積分號號被積函被積函數(shù)數(shù)cxfdxxf )()(被積表達被積表達式式積分變積分變量量.)( )()()( )()( 2 dxxfxfcxfxfxfxfi不定積分，記作不定積分，記作的的稱為稱為的全體原函數(shù)的全體原函數(shù)數(shù)，則數(shù)，則的一個原函的一個原函是是上，設(shè)函數(shù)上，設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間定義定義7例1 求.d5xx 解,656xx.665cxdxx.cxdxxarctan112dxx2112求例 211)(arctanxx 解8例例3 3 設(shè)曲線通過點設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線

5、方程率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為)(xfy 根據(jù)題意知,2xdxdy,22cxxdx,)(2cxxf由曲線通過點（1，2）, 1 c所求曲線方程為. 12 xy的一個原函數(shù)是即xxf2)(9不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 . 3.)( )( )( )()( )( 簇簇的曲線的曲線所得一切積分曲線組成所得一切積分曲線組成意平移意平移積分曲線沿縱軸方向任積分曲線沿縱軸方向任的某一的某一積分在幾何上表示積分在幾何上表示的不定的不定的積分曲線。于是的積分曲線。于是的圖形為的圖形為數(shù)，則稱數(shù)，則稱的一個原函的一個原函是是若若xfxfxfxfyxfxf 0 xy)(xfy c

6、xfy)(. 相平行相平行作切線，則這些切線互作切線，則這些切線互處處曲線上橫坐標相同的點曲線上橫坐標相同的點顯然，若在每一條積分顯然，若在每一條積分10注注: 1) 求導(dǎo)數(shù)與求不定積分是互逆運算求導(dǎo)數(shù)與求不定積分是互逆運算cxfxdfdxxfdxxfdcxfdxxfxfdxxf )()(;)()()()(; )()(或或2) 同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同 cxarcdxxcxdxxcot11;arctan1122可用求導(dǎo)數(shù)的方法驗證正確性可用求導(dǎo)數(shù)的方法驗證正確性.11實例實例 xx 11.11cxdxx 由于積分運算和微分運算是互逆的，因此由于積分運

7、算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二二 基本積分表基本積分表12基基本本積積分分表表 kdx)1( dxx )2( xdx)3(說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdxkckx( 是常數(shù)是常數(shù))1(11 cxcx |ln13 dxx211)4(cx arctan dxx211)5(cx arcsin xdxcos)6(cx sin xdxsin)7(cx cos xdx2cos)8( xdx2seccx tan xdx2sin)9( xdx2csccx

8、cot14 xdxxtansec)10(cx sec xdxxcotcsc)11(cx csc dxex)12(cex dxax)13()10( ln aacaax且且15例4 求積分.2dxxx 解dxxx2dxx25cx125125cx2772cxdxx1)2(1根據(jù)基本積分公式. 公式來求不定積分公式來求不定積分積分積分的形式，再用冪函數(shù)的的形式，再用冪函數(shù)的只需將其化為只需將其化為時時分式或根式表示的，這分式或根式表示的，這注：有些被積函數(shù)是用注：有些被積函數(shù)是用 x16 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(

9、xgxf等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情形）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情形）三三 不定積分的性質(zhì)（積分法則）不定積分的性質(zhì)（積分法則）17 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k 例5 求解。dxxx)1213(22dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2c 18例6 求解.)1 (122dxxxxxdxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx1112dxxdxx1112cxx|lnarctan為兩個函數(shù)之和被積函數(shù)變形化19dxxx241例7 求解：原式dxxx24111dxxx

10、)111(22cxxx arctan3320例8 求解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21cx 注：注： 被積函數(shù)有時需要進行恒等變形，再使用基本積分表被積函數(shù)有時需要進行恒等變形，再使用基本積分表.例9：求dxxxx22sincos2cosdxxxxx 2222sincossincos解：原式 dxxdxx22cos1sin1cxx tancot21解解,sinsec)(2xxxf dxxxxf sinsec)(2,costancxx , 5)0( f, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy.)5 , 0(sinsec)(,()( 92，求此曲線的方程，求此曲線的方程軸的交點為軸的交點為，且此曲線與，且此曲線與斜率為斜率為處的切