第四節(jié)平面及其方程

1、第四節(jié)第四節(jié) 平面及其方程平面及其方程一、圖形與方程一、圖形與方程二、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程三、平面的一般方程三、平面的一般方程四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲面在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲面s（或曲線(xiàn)（或曲線(xiàn)l)與與三元方程（或方程組）三元方程（或方程組）0),(zyxf或或0),(0),(21zyxfzyxf),(zyx都是都是有下述關(guān)系：有下述關(guān)系： （1）曲面）曲面s（或曲線(xiàn)（或曲線(xiàn)l)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足 上述方程（或方程組）上述方程（或方程組）. （2）滿(mǎn)足上述方程（或方程組）的）滿(mǎn)足上述方程（或方程組）的 曲面曲面s（或

2、曲線(xiàn)（或曲線(xiàn)l)上的坐標(biāo)上的坐標(biāo).那么，上述方程（或方程組）叫曲面那么，上述方程（或方程組）叫曲面s（或曲線(xiàn)（或曲線(xiàn)l)的方程的方程，而曲面，而曲面s（或曲線(xiàn)（或曲線(xiàn)l)叫做上述方程（或方程組）的圖形叫做上述方程（或方程組）的圖形.一、一、圖形與方程圖形與方程xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線(xiàn)向量法線(xiàn)向量法線(xiàn)向量的法線(xiàn)向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxmnmm 0必有必有00 nmmn二、平面的點(diǎn)

3、法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，平面稱(chēng)為方程的圖形平面稱(chēng)為方程的圖形其中法向量其中法向量,cban 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 已知點(diǎn)已知點(diǎn))4 , 1, 2(1 m和和)7 , 2 , 6(2m，求過(guò)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)1m且與且與21mm垂直的平面方程垂直的平面方程. ,6 , 4 , 3211 mmn所求平面的一個(gè)法向量為所求平面的一

4、個(gè)法向量為, 0)1(6)2(4)3(3 zyx即即. 07643 zyx由點(diǎn)法式方程，得由點(diǎn)法式方程，得解解例例 2 2 求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn))4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程. 解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 015914 zyx由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.

5、,cban 三、平面的一般方程三、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過(guò)平面通過(guò) 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論 情形情形.例例 3 3 一平面過(guò)點(diǎn)一平面過(guò)點(diǎn))2, 3, 4( 和和)1, 1 , 4( 且平行且平行于于x軸，求其方程軸，求其方程. , 0 dczby從從而而所所求求平平面面為為：解解得得,

6、4,3dcdb 解解所以設(shè)平面方程為：所以設(shè)平面方程為：所求平面平行于所求平面平行于x軸，可知軸，可知, in),(cban 設(shè)設(shè)，0 a則則將已知兩點(diǎn)代入得將已知兩點(diǎn)代入得 0023dcbdcb0143043 zyddzdy即即，例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解,ada ,bdb ,cdc 將將

7、代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1

8、( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 例例5 5解法（解法（1）)2 , 2 , 2(21 mm垂直垂直及及)3 , 2 , 1(21 nmm所求平面的法向量與所求平面的法向量與求其方程.求其方程.垂直于垂直于且且和和一平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)一平面經(jīng)過(guò)點(diǎn), 0532)5 , 1 , 4()3 , 1, 2(21 yyxmm)2, 4 , 2(22232121 kjimmn取為取為0)3(2)1(4)2(2 zyx所求平面方程為：所求平面方程為：072 zyx即即)2(解法解法，),( cban 設(shè)所求平面法向量為設(shè)所求平面法向量為 2111 )3 , 2 , 1( mmnnnn）（則則 0320222cbacbacbca2, 得得：所求平面方程為所求平面方程為0)3()1()2( zcybxa0)3()1(2)2( zyx：即即072 zyx例例 6 6 設(shè)設(shè)),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz 外外一一點(diǎn)點(diǎn)，求求0p到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxp|pr|01ppjdn 1pnn0p 00101prnppppjn ,10101001zzyyxxpp 解解 2222222220,cbaccbabcbaan00101prnppppjn 22210222