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文檔簡介
1、 現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響,包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看,主要因素是確定的,隨機因素可以忽略,或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn),那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮,就應建立隨機模型。本章討論如何用隨即變量和概率分布描述隨機因素的影響,建立隨機模型-概率模型。 如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復雜性及人們認識程度的限制,無法分析實際對象內(nèi)在的因果關系,建立合乎機理規(guī)律的模型,那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù),基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析建立模型,這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機模型統(tǒng)計回歸模型。一一 傳送系統(tǒng)的效率傳送系統(tǒng)的效率在機械化
2、生產(chǎn)車間里,排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,工作臺上放一條傳送帶在運轉,帶上設置若干鉤子,工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走,如圖。當生產(chǎn)進入穩(wěn)定狀態(tài)后,每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的,而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快,帶上鉤子越多,效率越高。要求構造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標,并在簡化假設下建立模型描述這個指標與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關系。傳送帶掛鉤工作臺1 1 模型分析模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率,在工人生產(chǎn)周期(即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間)相同的情況下,需要
3、假設工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后,要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺,他可以將產(chǎn)品掛上帶走,要么沒有空鉤子經(jīng)過,他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn),以保證整個系統(tǒng)周期性的運轉。 工人生產(chǎn)周期相同,但由于各種因素的影響,經(jīng)過相當長的時間后,他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致,認為是隨機的,并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。由上分析,傳送系統(tǒng)長期運轉的效率等價于一周期的效率,而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。2 2 模型假設模型假設3)在一周期內(nèi)有 個鉤子通過每一工作臺上方,鉤子均勻排列,到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。m4)每個工人在任何時刻都能觸到
4、一只鉤子,且之能觸到一只,在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間,如果他能觸到的鉤子是空的,則可將產(chǎn)品掛上帶走;如果非空,則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠退出這個傳送系統(tǒng)。1)有n個工人,其生產(chǎn)是獨立的,生產(chǎn)周期是常數(shù), 個工作臺均勻排列。n2)生產(chǎn)已進入穩(wěn)態(tài),即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。 將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比,記作 ,設帶走的產(chǎn)品數(shù)為 ,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為 ,則 。需求出 。d得到 的步驟如下:(均對一周期而言)任一只鉤子被一名工人觸到的概率是 ;任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是 ;由工人生產(chǎn)的獨立性,任一只鉤子不被所有 個工人掛
5、上產(chǎn)品的概率,即任一只鉤子為空鉤的概率是 ;任一只鉤子非空的概率是 。snnsd/s 如果從工人的角度考慮,分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率,這與工人所在的位置有關(如第1個工人一定可掛上),這樣使問題復雜化。我們從鉤子角度考慮,在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序,處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的 只鉤子求出每只鉤子非空的概率 ,則 。mpmps pm/1m/11nnm11nmp111傳送系統(tǒng)的效率指標為nmnmnmpd111mn為了得到比較簡單的結果,在鉤子數(shù) 相對于工人數(shù) 較大,即 較小的情況下,將多項式 展開后只取前3項,則有mnnm11mnmnnmnnmd21121112如果將一周期內(nèi)未帶
6、走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作e再假定1n,則mneed2,1當40,10mn時, 上式給出的結果為%5 .87d用d的精確表達式計算得%4 .89d這個模型是在理想情況下得到的,其中一些假設,如生產(chǎn)周期不變,掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)等是不現(xiàn)實的,但模型的意義在于,一方面利用基本合理的假設將問題簡化到能夠建模的程度,并用簡單的方法得到結果;另一方面所得到的簡化結果具有非常簡單的意義:指標de1與n成正比,與m成反比。通常工人數(shù)目n是固定的,一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù) 增加一倍,可使“效率” 降低一倍。me思考:思考:如何改進模型使“效率”降低?(可理解為相反意義的效率)在原來放置一只鉤子處放置的兩只
7、鉤子成為一個鉤對。一周期內(nèi)通過m個鉤對,任一鉤對被任意工人觸到的概率mp/1,不被觸到的概率pq1,于是任一鉤對為空的概率是nq,鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是1nnpq,一周期內(nèi)通過的m2個鉤子中,空鉤的平均數(shù)是12nnnpqqm帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是122nnnpqqmm未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是122nnnpqqmmn按照上一模型的定義,有111112211nnmmnmnmdenm11和111nm的近似展開,可得2226621mnmnnenm11展開取4項,111nm展開取3項。而上一模型中的方法有mne41有1eemn32當32 nm 時,1,所以該模型提供的方法比上一個模型好。注意:利用 報童每天
8、清晨從報社購進報紙零售,晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為 ,零售價為 ,退回價為 ,假設。即報童售出一份報紙賺,退回一份賠。報童每天購進報紙?zhí)?,賣不完會賠錢;購進太少,不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量,以獲得最大收入。模型分析:模型分析:購進量由需求量確定,需求量是隨機的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律,即在他的銷受范圍內(nèi)每天報紙的需求量為 份的概率是r rf, 2 , 1 , 0r有了 和 rfcba,就可以建立關于購進量的優(yōu)化模型。假設每天購進量是n份,需求量r是隨機的,r可以小于,等于或大于n,所以報童每天的收入也是隨機的。那么
9、,作為優(yōu)化模型的目標函數(shù),不能取每天的收入,而取長期賣報(月,年)的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看,這相當于報童每天收入的期望值,簡稱平均收入。記報童每天購進n份報紙的平均收入為 ng,如果這天的需求量nr,則售出r份,退回rn份;如果需求量nr 則n份將全部售出。需求量為r的概率是 rf,則 nrnrrnfbarfrncbrbang01問題歸結為在 cbarf,已知時,求n使 ng最大。 ndrrpcbnnpbadndg0通常需求量r和購進量n都相當大,將r視為連續(xù)變量便于分析和計算,這時概率 rf轉化為概率密度函數(shù) rp nndrrnpbadrrprncbrbang0計算 drrpbadrrpcbdrrpbannpbannn0則令使報童日平均收入達到最大的購進量0dndg,得到 cbbadrrpdrrpnn0n應滿足上式。因為 cabadrrpn0 10drrp,所以根據(jù)需求量的概率密度 rp的圖形可以確定購進量n在圖中用21,pp分別表示曲線 rp下的兩塊面積,則cbbapp21 rpo n r1p2p因為當購進超過n份報紙時, drrppn01是需求量r不超過n的概率,即賣不完的概率; drrppn2是需求量rn的概率,即賣完的概率,所以上式表明,購進的份數(shù)n應該使賣不完與賣完的概率之比,恰好等于賣出一份賺的錢ba與退回一
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