無窮級數(shù)整理

1、-作者xxxx-日期xxxx無窮級數(shù)整理【精品文檔】無窮級數(shù)整理一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0. 2.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對任意給定的正數(shù)，總存在使得對于任何兩個大于的正整數(shù)m和n，總有.（即部分和數(shù)列收斂）3.收斂級數(shù)具有線性性（即收斂級數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算得到的級數(shù)仍然收斂），而一個收斂級數(shù)和一個發(fā)散級數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對收斂級數(shù)的項(xiàng)任意加括號所成級數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個數(shù)項(xiàng)級數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會影響斂散性.（二）數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判斷方法（1）正項(xiàng)級數(shù)基本定理：如果正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列

2、有上界，則正項(xiàng)級數(shù)收斂.（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項(xiàng)級數(shù)和之間自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使，那么（i）當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)亦收斂；（ii）當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)亦發(fā)散. 推論：設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)和，且自某項(xiàng)以后有，那么（i）當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)亦收斂；（ii）當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)亦發(fā)散.（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項(xiàng)級數(shù)和，若，那么這兩個級數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價(jià)無窮小的內(nèi)容）另外，若，則當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)亦收斂；若，則當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)亦發(fā)散.常用度量：等比級數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；p-級數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散(時(shí)稱調(diào)和級數(shù))；廣義p-級數(shù)：

3、，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.交錯p-級數(shù)：，當(dāng)時(shí)絕對收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂.（4）達(dá)朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項(xiàng)級數(shù)，當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散；當(dāng)或時(shí)需進(jìn)一步判斷.（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項(xiàng)級數(shù)，設(shè)，那么時(shí)此級數(shù)必為收斂，時(shí)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)需進(jìn)一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，非負(fù)的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)下降，且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：，則級數(shù)與積分同斂散.2.任意項(xiàng)級數(shù)的理論與性質(zhì)（1）絕對收斂與條件收斂：絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之不然；對于級數(shù)，將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0，組成一個正項(xiàng)級數(shù)，其中；將它的所有負(fù)項(xiàng)變號而將正項(xiàng)換為0，也組成一個正項(xiàng)級數(shù)，

4、其中，那么若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)和都收斂；若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)和都發(fā)散.絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)（將其項(xiàng)重新排列后得到的級數(shù)）仍絕對收斂，且其和相同.若級數(shù)和都絕對收斂，它們的和分別為和，則它們各項(xiàng)之積按照任何方式排列所構(gòu)成的級數(shù)也絕對收斂，且和為.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對收斂，且和也為.注：，這里.（2）交錯級數(shù)的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯級數(shù)滿足，且單調(diào)減少（即），則收斂，其和不超過第一項(xiàng)，且余和的符號與第一項(xiàng)符號相同，余和的值不超過余和第一項(xiàng)的絕對值.二、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（一）冪級數(shù)1.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域（1）柯西-阿達(dá)馬定理：冪級數(shù)在內(nèi)絕對收斂，在

5、內(nèi)發(fā)散，其中為冪級數(shù)的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理：若冪級數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對收斂；又若在處發(fā)散，則它必在也發(fā)散.推論1：若冪級數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對收斂；又若冪級數(shù)在處發(fā)散，則它必在時(shí)發(fā)散.推論2：若冪級數(shù)在處條件收斂，則其收斂半徑，若又有，則可以確定此冪級數(shù)的收斂域.（3）收斂域的求法：令解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性，取并集.2.冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1）冪級數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，收斂域取交集，滿足各項(xiàng)相加；進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有：，收斂域仍取交集.（2）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且若冪級數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù)；又若冪級數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù).（3）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)

6、可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分，收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級數(shù)展開以及冪級數(shù)的求和（1）常用的冪級數(shù)展開：，x(-, +).1+x+x2+xn+ =，x(-1, 1).從而，.，x(-, +).，x(-, +).，x(-1, 1.，x(-1, 1).，x-1, 1.，x-1, 1.（2）常用的求和經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：級數(shù)符號里的部分可以提到級數(shù)外；系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有，可以與的冪合并，如將和合并為；對求導(dǎo)可消去分母因式里的,對積分可消去分子因式里的；系數(shù)分母含可考慮的展開，含或等可考慮正余弦函數(shù)的展開；有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個微分方程并求解.（二）傅里葉級數(shù)1.狄利克雷收斂定理（本定理為套話，不需真正驗(yàn)證，條件在命題人手下必然成立）若以為周期，且在-l, l上滿足：連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)；只有有限個極值點(diǎn)；則誘導(dǎo)出的傅里葉級數(shù)在-l, l上處處收斂.2. 傅里葉級數(shù)與的關(guān)系：3.以為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開：（1）在-l, l上展開：；（2）正弦級數(shù)與余弦級數(shù)：奇函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級數(shù)：；偶函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級數(shù)：；4.一些在展開時(shí)常用的積分：（1）（2）；（3）；（4）