2.2.1 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布（教、學(xué)案）學(xué)案導(dǎo)學(xué)案

1、 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：耿華麗 審稿人： 郭振宇 李懷奎2.2.1 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布【教學(xué)目標(biāo)】1. 通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用；2. 在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖；3. 通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖教學(xué)難點(diǎn)：w能通過(guò)樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布教學(xué)過(guò)程：【復(fù)習(xí)回顧】說(shuō)一說(shuō)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣各自的特點(diǎn)、操作步驟和適用的范圍。類 別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián) 系適用

2、范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等（2）每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部 分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分樣時(shí)采用簡(jiǎn)隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成【引入】在統(tǒng)計(jì)中，為了考察一個(gè)總體的情況，通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況。這種估計(jì)大體分為兩類，一類是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征。下面我們先通過(guò)案例來(lái)介紹總體分布的

3、估計(jì)?！拘轮骄俊课覈?guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢 ？你認(rèn)為，為了了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？為了制定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a，必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個(gè)范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等。因此采用抽樣調(diào)查的方式，通過(guò)分析樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全市居民用水量的分布情況。（見(jiàn)課本表21）分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將

4、它們畫出來(lái)，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息。表格則是通過(guò)改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖，則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律?？梢宰屛覀兏宄目吹秸麄€(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。一、頻率分布直方圖頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為：（1）計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差（2）決定組距與組數(shù)，（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列頻率分布表（5）畫頻率分布直方圖以課本制定居民用

5、水標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題為例，經(jīng)過(guò)以上幾個(gè)步驟畫出頻率分布直方圖。頻率分布直方圖的特征：（1）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)。（2）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。思考探究：（1）在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示什么？它們的總和是多少？（2）同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會(huì)不同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷，分別以0.1和1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓?duì)圖的印象？（3）如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)頻率分布表2-1和頻率分布直

6、方圖2.2-1，（見(jiàn)課本）你能對(duì)制定月用水量標(biāo)準(zhǔn)提出建議嗎？二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。2總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，隨著樣本容量的增加，所分組數(shù)的增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。（見(jiàn)課本）思考探究：（1）對(duì)于任何一個(gè)總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？（2）對(duì)于任何一個(gè)總體，它的密度曲線是否可以被非常準(zhǔn)確地畫出來(lái)？為什么？答：實(shí)際上，盡管有

7、些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難想函數(shù)圖象那樣準(zhǔn)確地畫出來(lái)，我們只能用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確。三.莖葉圖莖葉圖的概念：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。（見(jiàn)課本例子）2莖葉圖的特征：（）用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：一是既可以看出樣本的分布情況又能看到原始數(shù)據(jù)；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示。（）莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個(gè)

8、以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰。【例題精析】例1、下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位) （1）列出樣本頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）畫出頻率分布折線圖；（4）估計(jì)身高小于134的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.。分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題。解：（）樣本頻率分布表如下：（2、3）其頻率分布直方圖如下：（4）由樣本頻率分布表可知身高小于134cm 的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19，所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.變式訓(xùn)練：為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取

9、部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.(1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3) 在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為： 由頻率=

10、，90100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036得 （2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率 約為（3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12， 51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。例2、從兩個(gè)班中各隨機(jī)的抽取10名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢杭装啵?6，74，82，96，66，76，78，72，52，68乙班：86，84，62，76，78，92，82，74，88，85畫出莖葉圖并分析兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況。解析： 由莖葉圖

11、可知，乙班的成績(jī)較好，而且較穩(wěn)定?！菊n堂小結(jié)】 1、制作頻率分布直方圖分幾個(gè)步驟？各步驟需要注意哪些問(wèn)題？ 2、頻率分布直方圖和莖葉圖相比有什么特點(diǎn)？答：1、步驟：（1）計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差（2）決定組距與組數(shù)，（組距是人為決定的）（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列頻率分布表（必須包括分組、頻數(shù)、頻率三部分）（5）畫頻率分布直方圖（注意縱坐標(biāo)表示什么，各小長(zhǎng)方形是連在一起的）3、頻率分布直方圖無(wú)法看到原始數(shù)據(jù)，而莖葉圖能看出原始數(shù)據(jù)；但頻率分布直方圖所體現(xiàn)的內(nèi)容比莖葉圖多?！緯孀鳂I(yè)】導(dǎo)學(xué)案課后練習(xí)與提高【板書設(shè)計(jì)】一、頻率分布直方圖的步驟二、頻率分布折線圖和總體密度曲線三、莖葉圖

12、例題講解例1變式訓(xùn)練例2小結(jié) 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：耿華麗 審稿人： 郭振宇 李懷奎2.2.1 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖；二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：閱讀課本三完成下列問(wèn)題:1. 一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟有哪些? 頻率分布直方圖的特征是什么?2.莖葉圖的特征是什么?課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用；2. 在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖；3. 通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰

13、當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì)。重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖難點(diǎn)：能通過(guò)樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布學(xué)習(xí)過(guò)程【復(fù)習(xí)回顧】說(shuō)一說(shuō)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣各自的特點(diǎn)、操作步驟和適用的范圍。類 別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián) 系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等（2）每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部 分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分樣時(shí)采用簡(jiǎn)隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成

14、【新知探究】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢 ？你認(rèn)為，為了了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？【自主學(xué)習(xí)】一、頻率分布直方圖1.頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為：2.以課本制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題為例，經(jīng)過(guò)以上幾個(gè)步驟畫出頻率分布直方圖。3.頻率分布直方圖的特征：思考探究：（1）在頻

15、率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示什么？它們的總和是多少？（2）同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會(huì)不同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷，分別以0.1和1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓?duì)圖的印象？（3）如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)頻率分布表2-1和頻率分布直方圖2.2-1，（見(jiàn)課本）你能對(duì)制定月用水量標(biāo)準(zhǔn)提出建議嗎？二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1頻率分布折線圖的定義：2總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，隨著樣本容量的增加，所分組數(shù)的增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑

16、曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。（見(jiàn)課本）思考探究：（1）對(duì)于任何一個(gè)總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？（2）對(duì)于任何一個(gè)總體，它的密度曲線是否可以被非常準(zhǔn)確地畫出來(lái)？為什么？ 三.莖葉圖莖葉圖的概念：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。（見(jiàn)課本例子）2莖葉圖的特征：典型例題例1、下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(

17、單位) （1）列出樣本頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）畫出頻率分布折線圖；（4）估計(jì)身高小于134的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.。變式訓(xùn)練：為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.(1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3) 在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由。例2、從兩個(gè)班中各隨機(jī)的抽取10名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)

18、如下：甲班：76，74，82，96，66，76，78，72，52，68乙班：86，84，62，76，78，92，82，74，88，85畫出莖葉圖并分析兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況。當(dāng)堂檢測(cè)1.為了解一批數(shù)據(jù)在各個(gè)范圍內(nèi)所占的比例大小，將這批數(shù)據(jù)分組，落在各個(gè)小組里的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)叫做 （ ）a、頻數(shù) b、樣本容量 c、頻率 d、頻數(shù)累計(jì)2.在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示 （ ）a、落在相應(yīng)各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù) b、相應(yīng)各組的頻率c、該樣本所分成的組數(shù) d、該樣本的容量3.列樣本頻率分布表時(shí)，決定組數(shù)的正確方法是 （ ）a、任意確定 b、一般分為512組c、由組距和組數(shù)決定 d、根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則，靈活

19、掌握4.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40，0、125，則n的值為（ ）a、640 b、320 c、240 d、1605.為考察某種皮鞋的各種尺碼的銷售情況，以某天銷售40雙皮鞋為一個(gè)樣本，把它按尺碼分成5組，第3組的頻率為0、25，第1，2，4組的頻率分別為6，7，9，若第5組表示的是4042碼的皮鞋，則售出的200雙皮鞋中含4042碼的皮鞋為（ ）a、50 b、40 c、20 d、306.一個(gè)容量為20 的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下：（10,20,2;(20,30,3；(30，40，4；（40，50，4；（60，70，2。則樣本在區(qū)間（-，50上的頻率是（

20、）a、5% b、25% c、50% d、70%7.將一批數(shù)據(jù)分成5組列出頻率分布表，其中第1組的頻率是0、1，第4組與 第5組的頻率之和是0、3，那么第2組與第3組的頻率之和是 。反思總結(jié)課后練習(xí)與提高1.從一群學(xué)生中收取一個(gè)一定容量的樣本對(duì)他們的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行分析，前三組是不超過(guò)80分的人，其頻數(shù)之和為20人，其頻率之和（又稱累積頻率）為0、4，則所抽取的樣本的容量是 （ ）a、100 b、80 c、40 d、502.下列敘述中正確的是 （ ）a、從頻率分布表可以看出樣本數(shù)據(jù)對(duì)于平均數(shù)的波動(dòng)大小b、頻數(shù)是指落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)c、每小組的頻數(shù)與樣本容量之比是這個(gè)小組的頻率d、組數(shù)是樣本平均數(shù)除以組距3.有一個(gè)數(shù)據(jù)為50的樣本數(shù)據(jù)分組，以及各組的頻數(shù)如下，根據(jù)累積頻率分布，估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)大約占多少（ ）12、5，15、5），