《垂直于弦的直徑》教學

1、閻良一中閻良一中 高亞玲高亞玲 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的多年前我國隋代建造的石拱橋石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中弧的中點到弦的距離點到弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 實踐探究實踐探究把一個圓形紙沿著它的任意一條直徑對把一個圓

2、形紙沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現了什么？由此你能折，重復幾次，你發(fā)現了什么？由此你能得到什么結論？得到什么結論？可以發(fā)現：可以發(fā)現：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸是它的對稱軸把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，兩側的兩個半圓重合，點點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，C 和和C 重合，重合，D 和和D重合重合活活 動動 二二如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個

3、圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現圖中有那些相等的線段和??？為什么？OEDABC（1） O是軸對稱圖形直徑是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2）線段：）線段：AE=BE?。夯。篈CC，DD.OABCED那么直徑那么直徑CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB即即AEBE，ADBD，ACBC如圖，如果直徑如圖，如果直徑CD弦弦AB，垂足為點，垂足為點E.垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧如圖，如圖，AB是是

4、O的一條（非直徑）的弦，點的一條（非直徑）的弦，點E是是AB的中點，的中點，過點過點E作直徑作直徑CD問：直徑問：直徑CD弦弦AB嗎？為什么？嗎？為什么？你還能得出什么結論？你還能得出什么結論？OABCED直徑直徑CD弦弦AB.理由：連接OA和OBAB，AOB是等腰三角形點E是AB的中點，直徑CD弦AB直徑直徑CD平分劣弧平分劣弧AB、平分優(yōu)弧平分優(yōu)弧ACB垂徑定理推論垂徑定理推論平分弦（不是直徑）的直平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧AE=BE,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AD=BD.AC=BC, 垂徑定理：垂徑定理

5、：推論：推論：CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AE=BE AC=BC, AD=BD.可推得可推得D知二得三知二得三 判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 解決

6、求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R經過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點D，根據垂徑定理得，D 是AB 的中點，C是AB的中點，CD 就是拱高BODACROD=OCCD=R7.2,7.184.372121ABAD在圖中，AB=37.4，CD=7.2，在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即 R2=18.72+（R7.2）2解得：R27.9（m）趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.弦長弦長a a、弦心距、弦心距d d、半徑、半徑R R以及弓形高以及弓形高h h之間的關系：之間的關系： ；Rhd

7、 222R2ad活動三活動三鞏固提高，靈活運用鞏固提高，靈活運用 1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑BAOE解：解：OEAB118422AEAB 在在Rt AOE 中中 222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，11 22AEAC ADAB，又又AC=AB AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.DOABCE（1） 本節(jié)課你學到了哪些數學知識？本節(jié)課你學到了哪些數學知識？（2） 在利用垂徑定理解決問題時，你掌握了哪些數學方法？在利用垂徑定理解決問題時，你掌握了哪些數學方法？（3） 這些方法中你又用到了哪些數學思想？這些方法中你又用到了哪些數學思想？別忘記還有我喲！別忘記還有我喲！作業(yè)：作業(yè)：1、教材88頁習題24.1第8題