2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第九講第2課時(shí)最值范圍證明問(wèn)題學(xué)案新人教版

1、第二課時(shí)最值、范圍、證明問(wèn)題考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一圓錐曲線中的最值問(wèn)題自主練透例1(2021廣東調(diào)研)已知圓x2y22x260的圓心為f1，直線l過(guò)點(diǎn)f2(，0)且與x軸不重合，l交圓f1于c，d兩點(diǎn)，過(guò)f2作f1c的平行線，交f1d于點(diǎn)e設(shè)點(diǎn)e的軌跡為(1)求的方程；(2)直線l1與相切于點(diǎn)m，l1與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為a與b，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)m且與l1垂直，l2與的另一個(gè)交點(diǎn)為n當(dāng)|ab|取得最小值時(shí)，求abn的面積解析(1)因?yàn)閒1cef2，所以f1cdef2d又f1cf1d，所以f1cdf1dc，則edf2ef2d，所以|ed|ef2|，從而|ef2|ef1|ed|ef1|df1|x2y22

2、x260可化為(x)2y232，所以|ef2|ef1|42從而e的軌跡為以f1(，0)，f2(，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(剔除左、右頂點(diǎn))所以的方程為1(y0)(2)易知l1的斜率存在，所以可設(shè)l1的方程為ykxm(k0)聯(lián)立消去y，得(14k2)x28kmx4m280因?yàn)橹本€l與相切，所以(8km)24(14k2)(4m28)0即m28k22l1在x軸、y軸上的截距分別為，m，則|ab|3，當(dāng)且僅當(dāng)8k2，即k時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)k2時(shí)，|ab|取得最小值，此時(shí)m26，根據(jù)對(duì)稱性，不妨取k，m，此時(shí)2xm，即xm，從而ym，聯(lián)立消去y，得9x216x160，則xmxnxn，解得xn，所以|mn

3、|xmxn|，故abn的面積為34例2(2021四川省聯(lián)合診斷)已知拋物線x28y，過(guò)點(diǎn)m(0,4)的直線與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，又過(guò)a，b兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線交于p點(diǎn)(1)證明：直線pa，pb的斜率之積為定值；(2)求pab面積的最小值解析(1)證明：由題意設(shè)l的方程為ykx4，聯(lián)立，得x28kx320，因?yàn)?8k)24(32)0，所以設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x232，設(shè)直線pa，pb的斜率分別為k1，k2，對(duì)y，求導(dǎo)得y，所以k1，k2，所以，k1k22(定值)(2)由(1)可得直線pa的方程為y(xx1)直線pb的方程為y(xx2)聯(lián)立，得點(diǎn)p的坐標(biāo)為，由

4、(1)得x1x28k，x1x232，所以p(4k，4)于是|ab|8，點(diǎn)p到直線ab的距離d，所以spab16(k22)，當(dāng)k20，即k0時(shí)，pab的面積取得最小值32名師點(diǎn)撥處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等變式訓(xùn)練1(2021廣東省佛山市質(zhì)檢)已知f為橢圓c：1(ab0)的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)o的動(dòng)直線l與c交于a，b兩點(diǎn)當(dāng)a的坐標(biāo)為時(shí)，|

5、ob|bf|(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)延長(zhǎng)bf交橢圓c于q，求qab的面積的最大值解析(1)由a，得b，而|ob|bf|f(2,0)，即c2由，解得a25，b21橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21(2)當(dāng)直線bf斜率不存在時(shí)，bf：x2，此時(shí)b，|bq|，a，sqab4；當(dāng)bf所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)bf：yk(x2)(k0)，聯(lián)立，得(15k2)x220k2x20k250，設(shè)b(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x2，x1x2則|bq|又o到bq的距離d，則a到bq的距離為，sqab令15k2t(t1)，則sqab4當(dāng)時(shí)，(sqab)max綜上，qab的面積的最大值為考點(diǎn)二圓錐曲線中的范圍問(wèn)題

6、師生共研例3(2021西安模擬)已知橢圓c：1(ab0)的右焦點(diǎn)為f(1,0)，且點(diǎn)p在橢圓c上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)t(0,2)的直線l與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)a，b，且aob為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍解析(1)由題意，得c1，所以a2b21因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓c上，所以1，所以a24，b23則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)設(shè)直線l的方程為ykx2，點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40因?yàn)?8(4k21)0，所以k2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2因?yàn)閍ob為銳角，所以0，即x1x2y1y20所以x1x2(kx12)(kx

7、22)0，即(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所以k2綜上可知k2，解得k或k所以直線l的斜率k的取值范圍為引申本例中，若0，則k_，若o在以ab為直徑的圓內(nèi)，則k的取值范圍是_名師點(diǎn)撥求解范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍變式訓(xùn)練2(2021廣東省質(zhì)檢)已知橢圓c的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是(1,0

8、)，(1,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)q(0,2)，若c上總存在兩個(gè)點(diǎn)a、b關(guān)于直線yxm對(duì)稱，且4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析(1)因?yàn)闄E圓c的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義得2a2，所以a因?yàn)閏1，所以b2a2c21因此，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21(2)根據(jù)題意可設(shè)直線ab的方程為yxn，聯(lián)立，整理得3x24nx2n220，由(4n)243(2n22)0，得n23設(shè)a(x1，x1n)，b(x2，x2n)，則x1x2，x1x2又設(shè)ab的中點(diǎn)為m(x0，x0n)，則x0，x0n由于點(diǎn)m在直線yxm上，所以m，得n3m，代入n23，得9m23，所以

9、m因?yàn)?x1，x1n2)，(x2，x2n2)，所以2x1x2(n2)(x1x2)(n2)2由4，得3n24n812,3n24n40得n2，得3m2，所以m由得m，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為考點(diǎn)三圓錐曲線中的證明問(wèn)題師生共研例4(2018課標(biāo)卷)設(shè)橢圓c：y21的右焦點(diǎn)為f，過(guò)f的直線l與c交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線am的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：omaomb解析(1)由已知得f(1,0)，l的方程為x1，由已知可得，點(diǎn)a的坐標(biāo)為或所以am的方程為yx或yx(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，omaomb0當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，直線om為ab的垂直平分線所以omaom

10、b當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1，x2，直線ma，mb的斜率之和為kmakmb，將由y1kx1k，y2kx2k得kmakmb，將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220，所以，x1x2，x1x2則2kx1x23k(x1x2)4k0，從而kmakmb0，故ma，mb的傾斜角互補(bǔ)，所以omaomb綜上，omaomb名師點(diǎn)撥圓錐曲線中的證明問(wèn)題，常見(jiàn)的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過(guò)定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法解

11、決證明問(wèn)題的答題模板 變式訓(xùn)練3(2021河北張家口模擬)已知橢圓e：1(ab0)的焦距為4且過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓e的方程；(2)設(shè)a(0，b)，b(0，b)，c(a，b)，過(guò)b點(diǎn)且斜率為k(k0)的直線l交橢圓e于另一點(diǎn)m，交x軸于點(diǎn)q，直線am與直線xa相交于點(diǎn)p證明：pqoc(o為坐標(biāo)原點(diǎn))解析(1)由題可知，2c4，c2，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為(2,0)，(2,0)由橢圓的定義知2a4，a2，b2a2c24，橢圓e的方程為1(2)證明：易得a(0,2)，b(0，2)，c(2，2)，直線l：ykx2與橢圓x22y28聯(lián)立，得(2k21)x28kx0，xm，從而m，q直線am的斜率為，直線am

12、的方程為yx2令x2得p，直線pq的斜率kpq直線oc的斜率koc，kpqkoc，從而pqoc名師講壇素養(yǎng)提升圓錐曲線中的對(duì)稱問(wèn)題例5試確定m的取值范圍，使得橢圓1上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y4xm對(duì)稱解析解法一：設(shè)橢圓上兩點(diǎn)a(x0u，y0v)，b(x0u，y0v)，ab的中點(diǎn)為c(x0，y0)a，b關(guān)于y4xm對(duì)稱，kab又兩式相減，得，y03x0而點(diǎn)c在直線y4xm上，點(diǎn)c在橢圓1內(nèi)，1m解法二：設(shè)橢圓上兩點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)關(guān)于直線y4xm對(duì)稱設(shè)ab的中點(diǎn)為p(x0，y0)，則又由得00y1y23(x1x2)，得y03x0代入y04x0m，得x0m，y03m以下同解法一引申(1)在例題中將橢圓1換成拋物線y22x，則相應(yīng)m的范圍為_(kāi)(，36)_(2)在例題中將直線改為ymx，則相應(yīng)的m的范圍為_(kāi)(2，)_名師點(diǎn)撥圓錐曲線上兩點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題是圓錐曲線的常見(jiàn)題型，處理方法是：1設(shè)對(duì)稱兩點(diǎn)所在的直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，由0建立不等關(guān)系，再由對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍2用參數(shù)表示中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍