大學(xué)物理第三章

1、.第3章習(xí)題一、填空題3.1.1 跨過定滑輪的細(xì)繩下端系質(zhì)量為的物體，在物體以的恒定加速度下落一段距離的過程中，繩的拉力對(duì)物體做的功為考察物體以的恒定加速度下落一段距離的過程。設(shè)初速率為，末速率滿足（3-1）物體受到重力和繩子的拉力的作用，合外力做功為（3-2）注意到重力是保守力，其做功為（3-3）對(duì)物體使用動(dòng)能定理，有（3-4）聯(lián)立（3-1）（3-4），可求出繩的拉力對(duì)物體所做的功為3.1.2 高的瀑布每秒鐘下落水，假設(shè)水下落過程中動(dòng)能的75由水力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)換成電能，則此發(fā)電機(jī)的輸出功率為。依題設(shè)，每秒鐘有質(zhì)量為的瀑布水下落。取水和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在水從瀑布最高點(diǎn)下落的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有經(jīng)

2、水力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)換后的電能為精品.由于以上電能是每秒鐘產(chǎn)生的，所以發(fā)電機(jī)的輸出功率為3.1.3 質(zhì)量為的汽車以的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為0.10。在水平路面上行駛發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為 。小車的速率小車勻速行駛，故3.1.4 以恒定速率拉一小船所需的力與速率成正比，使該小船速率達(dá)到所需的功率為，使小船速率達(dá)到所需的功率為，則是的 倍。 依題意，設(shè)以恒定速率拉船所需的力與速率滿足如下關(guān)系其中為一常數(shù)。所需的功率為所以3.1.5 速度為的子彈射穿木板后，速度恰好變?yōu)榱?。設(shè)木板對(duì)子彈的阻力恒定不變，那么，當(dāng)子彈射入木板的深度等于木板厚度的一半時(shí)，子彈速度的大小為。以質(zhì)量為的子彈為對(duì)象，考察子彈以初速從與厚度為木

3、板相碰至恰好射穿的過程，設(shè)木板對(duì)子彈的平均阻力為，依據(jù)動(dòng)能定理，可知精品.現(xiàn)考察子彈從木板相碰至射入木板的深度為木板厚度的一半（設(shè)此時(shí)子彈的速率為）的過程，仍然對(duì)子彈使用動(dòng)能定理，有由以上兩式，可解出所求子彈速率為3.1.6 質(zhì)量為的貨物平放在卡車車廂底板上，卡車以的加速度起動(dòng)，4秒內(nèi)摩擦力對(duì)該貨物所做的功為?？疾熵浳镒造o止開始隨汽車勻加速運(yùn)動(dòng)4秒內(nèi)的過程，顯然，初速率，而4秒末的速率為在該過程中，貨物受到3個(gè)力的作用，即：重力，車廂底板對(duì)它的支持力和靜摩擦力，對(duì)貨物使用動(dòng)能定理，合外力做功為所以摩擦力做功為3.1.7 以的水平推力推一個(gè)原來靜止的小車，使它沿水平路面行駛了。若小車的質(zhì)量為，小

4、車運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為0.10，則小車的末速為?？疾煨≤噺撵o止出發(fā)至行駛5m的過程，小車受到四個(gè)力的作用，分別為：重力,地面的支持力和摩擦力，還有推力。由動(dòng)能定理，有精品.而和其中摩擦力所以小車的末速為3.1.8 從輕彈簧原長開始，第一次拉伸，在此基礎(chǔ)上，第二次再拉伸，繼而，第三次又拉伸，則第三次拉伸彈簧與第二次拉伸彈簧彈力所做功之比為。由于彈簧的彈性力是保守力，其做功為第一次拉伸的過程，彈性力做功為在此基礎(chǔ)上，第二次再拉伸的過程，彈性力做功為繼而，第三次又拉伸的過程，彈性力做功為所求第三次拉伸彈簧與第二次拉伸彈簧彈性力所做功之比為3.1.9 功的大小不僅與物體的始、末位置有關(guān)，而且還與物體的運(yùn)

5、動(dòng)路徑有關(guān)，這樣的力稱 。精品.非保守力3.1.10 有一倔強(qiáng)系數(shù)為的輕彈簧，豎直放置，下端懸一質(zhì)量為的小球，先使彈簧為原長，而小球恰好與地接觸，再將彈簧上端緩慢地提起，直到小球剛能脫離地面為止。在此過程中外力所作的的功為?？疾煨∏颍厍蚝蛷椈山M成的系統(tǒng)，對(duì)題設(shè)的過程應(yīng)用功能原理，有又可解出3.1.11 以初速率將質(zhì)量為的物體豎直向上發(fā)射出去，物體運(yùn)動(dòng)過程中受空氣阻力而損耗的能量為。如果不計(jì)空氣阻力，則物體上升的高度將比有空氣阻力時(shí)增加 。如果不計(jì)空氣阻力，設(shè)物體能達(dá)到的高度為。今取物體，地球?yàn)橄到y(tǒng)，在物體自初速率發(fā)射（p態(tài)，設(shè)高度為0）至最高點(diǎn)（q態(tài)）的過程中，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有同樣的過程

6、，考慮到空氣阻力，設(shè)物體能達(dá)到的高度為，對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理，有因重力是保守力，它在此過程對(duì)物體做功由以上三式，可得所求沒有空氣阻力時(shí)物體上升的高度將比有空氣阻力時(shí)增加精品.3.1.12 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿豎直平面內(nèi)半徑為的光滑圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)時(shí)的速率為，使質(zhì)點(diǎn)能沿此圓形軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，的值至少應(yīng)為。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，其受力情況如圖3-1所示，設(shè)此物體的速率為，則有質(zhì)點(diǎn)能沿此圓形軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道的條件為軌道對(duì)物體的作用力取物體，圓形軌道和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在物體從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)的過程，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可知 圖3-1由以上三式可求出3.1.13 一皮球從高處自由落下，與地面

7、碰撞后，豎直上跳，起跳速率為落地速率的3/5，不計(jì)空氣阻力，皮球跳起能達(dá)到的最大高度為 。取皮球，地球?yàn)橄到y(tǒng)，在皮球自高度為自由下落至剛觸地（設(shè)此時(shí)皮球速率為）的過程中該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有再考察皮球自地面起跳（此時(shí)皮球速率為）至最高點(diǎn)（設(shè)高度為）的過程，該系統(tǒng)機(jī)械能仍然守恒，有由以上兩式，可求出皮球跳起能達(dá)到的最大高度為精品.二、選擇題3.2.1 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力同時(shí)作用下的位移為，其中一個(gè)力，則這個(gè)力在該位移過程中所做的功為：（ ）a. b. c. d. 因?yàn)檫xb。3.2.2 質(zhì)量為的物體置于電梯底板上，電梯以加速度勻加速下降距離，在此過程中，電梯作用于物體的力對(duì)物體所做的功為：（ ）a.

8、b. c. d. 人受到兩個(gè)力的作用，分別為重力和電梯地板對(duì)他的支持力。法一：因人隨電梯相對(duì)于地面勻加速下降，故可知，方向豎直向上。在人下降的過程中，支持力做功為法二：考察人隨電梯下降的過程，由動(dòng)能定理，有因重力是保守力，故又，人以勻加速度下降了，其初、末速率滿足如下關(guān)系精品.聯(lián)立以上三式，可知支持力做功為選d。3.2.3 一單擺擺動(dòng)的最大角度為，當(dāng)此單擺由向平衡位置（）擺動(dòng)過程中，重力做功功率最大的位置為：（ ）a. b. c. d. 由于機(jī)械能守恒，所以功率不變當(dāng)時(shí)，與垂直，a排除；當(dāng)時(shí)，b排除；而當(dāng)時(shí)，一般大于0。說明重力做功的功率是有變化的，d也排除，故選c。3.2.4 質(zhì)量完全相等的

9、三個(gè)滑塊、和，以相同的初速度分別沿摩擦系數(shù)不同的三個(gè)平面滑出，到自然停止時(shí)，滑過的距離為，滑過的距離為，滑過的距離是，則摩擦力對(duì)滑塊做功最多的是：（ ）a. b. c. d. 三個(gè)摩擦力的功相同考察滑塊以初速滑到自然停止的過程，由動(dòng)能定理，知所以三個(gè)摩擦力做功相同，選d。3.2.5 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)恒力和 作用下，在位移過程中，其動(dòng)能由零變?yōu)?，已知，則和的大小關(guān)系為：（ ）a. b. c. d. 條件不足不能判斷考察質(zhì)點(diǎn)在兩恒力作用下發(fā)生位移的過程，因質(zhì)點(diǎn)的初始動(dòng)能為0，表明自靜止開始運(yùn)動(dòng)，而所受的外力為恒力，故其運(yùn)動(dòng)為定向的直線運(yùn)動(dòng)，此過程外力做功為精品.對(duì)質(zhì)點(diǎn)的前述過程應(yīng)用動(dòng)能定理，得所以顯

10、然與有關(guān)，而題設(shè)并沒有給出的值，所以估計(jì)的條件不足，選d。3.2.6 半徑為的圓盤以恒定角速度繞過中心且垂直于盤面的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為的人要從圓盤邊緣走到圓盤中心處，圓盤對(duì)他所做的功為：（ ）a. b. c. d. 人受到三個(gè)力的作用，分別是重力，盤面對(duì)人的支持力和摩擦力?？疾烊藦膱A盤邊緣走至中心的過程，由動(dòng)能定理，有當(dāng)人離盤心時(shí)，他的速率為所以，圓盤對(duì)人做的功為選d。3.2.7 以下列4種方式將質(zhì)量為的物體提高，提升力做功最小的是：（ ）.將物體由靜止開始勻加速提升，使速度達(dá)到；.物體從初速度勻減速上升，使速度達(dá)到；c. 以的速度勻速提升； d. 以的速度勻速提升。物體受到重力和拉力的作用，

11、考察物體提高的過程，由動(dòng)能定理，得精品.因重力是保守力，故所以可知b選項(xiàng)支持力做功最小。3.2.8 下面關(guān)于保守力的說法，正確的是：（ ）. 只有保守力作用的系統(tǒng)，動(dòng)能與勢(shì)能之和保持不變；b. 保守力總是內(nèi)力；c. 保守力做正功，系統(tǒng)勢(shì)能一定增長； d. 質(zhì)點(diǎn)沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，作用于它的某種力所做的功為零，則這種力稱為保守力。選d。3.2.9 在同一高度以相同速率同時(shí)將質(zhì)量相同的兩個(gè)物體拋出，一個(gè)豎直上拋，一個(gè)平拋，不計(jì)空氣阻力，由拋出到落地過程中，下列說法中正確的是：（ ）a. 重力對(duì)兩物體做功相等； b. 重力對(duì)兩物體做功的平均功率相等；c. 兩物體的動(dòng)能增量不相等； d. 兩物體落

12、地時(shí)的機(jī)械能相等。選a、d。3.2.10 跳傘運(yùn)動(dòng)員在剛跳離飛機(jī)，其降落傘尚未打開的一段時(shí)間內(nèi)，下列說法中正確的是：（）a. 空氣阻力做正功； b. 重力勢(shì)能增加； c. 動(dòng)能減?。?d. 空氣阻力做負(fù)功。選d。3.2.11 當(dāng)重力對(duì)物體做正功時(shí)，物體的：（）a. 重力勢(shì)能一定增加，動(dòng)能一定減少； b. 重力勢(shì)能一定減少，動(dòng)能一定增加；精品.c. 重力勢(shì)能一定減少，動(dòng)能不一定增加；d. 重力勢(shì)能不一定減少，動(dòng)能一定增加。選c。3.2.12 以相同的初速度將質(zhì)量相等的三個(gè)小球、斜上拋，、的初速度方向與水平面之間的夾角依次是，。不計(jì)空氣阻力，三個(gè)小球到達(dá)同一高度時(shí)，速度最大的是：（ ）a. 球；

13、b. 球； c. 球； d. 三個(gè)球速率相等。因?yàn)槊總€(gè)球在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，又初始時(shí)刻三球的機(jī)械能相等，所以選d。3.2.13 將一小球系于豎直懸掛的輕彈簧下端，平衡時(shí)彈簧伸長量為，現(xiàn)用手托住小球，使彈簧不伸長，然后釋放任其自己下落，忽略一切阻力，則彈簧的最大伸長量為：（ ）a. b . c. d. 因掛載小球的彈簧伸長就可平衡，有（3-5）以彈簧，小球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，考察彈簧在原長時(shí)對(duì)小球放手，至小球下落（設(shè)此時(shí)小球速率為）的過程，由機(jī)械能守恒，有當(dāng)彈簧的伸長量達(dá)到最大值時(shí)，小球的速率瞬間為0，則上式改為（3-6）聯(lián)立（3-5）和（3-6）兩式，可得彈簧的最大伸長量選d。3.2.14 如果

14、一個(gè)系統(tǒng)在一個(gè)過程中只有保守力做功，那么該過程中：（ ）a. 動(dòng)能守恒； b. 機(jī)械能守恒； c. 動(dòng)量守恒； d. 角動(dòng)量守恒。精品.因題設(shè)保守力并未限于內(nèi)力，如此未能保障系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故此題無解。3.2.15 水平拋出一物體，物體落地時(shí)速度的方向與水平方向的夾角為 ，取地面為零勢(shì)能面，則物體剛被拋出時(shí)，其重力勢(shì)能和動(dòng)能之比為：（ ） a. b. c. d. 考察物體和地球組成的系統(tǒng)，則在物體以初速自拋出點(diǎn)下落落地（設(shè)落地速度為）的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有再由運(yùn)動(dòng)的疊加性原理，即初速為的平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速（）直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。對(duì)落地時(shí)的速度作如圖3-2的分析

15、，有聯(lián)立以上兩式，可知 圖3-2所以有選d。3.2.16 關(guān)于機(jī)械能是否守恒，下列敘述中正確的是：（）. 作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能一定守恒；b. 作勻變速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能不可能守恒；. 外力對(duì)物體做功為零時(shí)，機(jī)械能一定守恒；d. 只有重力對(duì)物體做功，物體機(jī)械能一定守恒。若系統(tǒng)包含物體和地球，則可選d。3.2.17 一物體靜止在升降機(jī)的地板上，在升降機(jī)加速上升的過程中，地板對(duì)物體的支持力所做的功等于：（ ）精品.a. 物體勢(shì)能的增加量； b. 物體動(dòng)能的增加量； c. 物體動(dòng)能的增加量減去物體勢(shì)能的增加量；d. 物體動(dòng)能的增加量加上克服重力所做的功。選d。3.2.18 如圖所示，通過定滑輪懸

16、掛兩個(gè)質(zhì)量為、的物體（），不計(jì)繩子質(zhì)量及繩子與滑輪間的摩擦。在向下運(yùn)動(dòng)一段距離的過程中，下列說法中正確的是：（ ）選擇題3.2.18圖示.勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量；.勢(shì)能的減少量等于勢(shì)能的增加量；.機(jī)械能的減少量等于機(jī)械能的增加量；.機(jī)械能的減少量大于機(jī)械能的增加量。 因?yàn)閮晌矬w，定滑輪，繩，地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，若不計(jì)定滑輪的質(zhì)量，可選c。若考慮定滑輪的質(zhì)量，則有一部分機(jī)械能能將變?yōu)槎ɑ喌霓D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，所以選d。3.2.19 自由落下的小球從接觸豎直放在地上的彈簧開始，到彈簧被壓縮到最短的過程中：（ ）a. 小球的動(dòng)能先減小后增大； b. 小球的機(jī)械能守恒； c. 小球的重力勢(shì)能減小，

17、動(dòng)能增加；d. 小球的機(jī)械能減小，小球與彈簧的總機(jī)械能守恒。因?yàn)樾∏?，彈簧和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以不嚴(yán)格的情況下可選d。三、計(jì)算題3.3.1 沿傾角為的斜面拉一質(zhì)量為的小車勻速上坡，拉力的方向與斜面間成角，小車與斜面間的摩擦系數(shù)為0.20，使小車前進(jìn)拉力所做的功為多少？ 精品.解：如圖3-3所示，小車受到四個(gè)力的作用，分別為重力，拉力，斜面對(duì)它的支持力和摩擦力，由于小車在斜面上作勻速運(yùn)動(dòng)，在xoy坐標(biāo)系下，有注意到摩擦力，則拉力 圖3-3所求拉力做功為另外，也符合題意，則拉力做功為3.3.2 一地下蓄水池深，面積為，池中水面低于地面。（取） （1） 要用一臺(tái)抽水機(jī)將池中的水全部吸到地面

18、，至少應(yīng)做多少功？ （2） 若抽水機(jī)所消耗的電功率為，效率80，抽完這池水所需的時(shí)間為多少？解：考察質(zhì)量為的水被抽水機(jī)抽高米（并設(shè)出口水速為）的過程，應(yīng)用動(dòng)能定理，有精品.因重力是保守力，其做功為所以抽水機(jī)做功為為使抽水機(jī)做功最少，可設(shè)抽水機(jī)出水口水速很低（），此時(shí)并且抽水機(jī)的進(jìn)水口置于水面（如此達(dá)致最?。＃?） 如圖3-4所示，在地面上取原點(diǎn)并取 圖3-4豎直向下為軸，在處取薄層水為研究對(duì)象，這部分水的體積為，其中為池塘地面積。設(shè)水的密度為，則這薄層水的質(zhì)量為將其抽出池塘，抽水機(jī)至少需做功所以，把池塘的水全部抽完，抽水機(jī)至少做功（2）設(shè)所求時(shí)間為，因抽水機(jī)的電功率以效率轉(zhuǎn)化為抽水功率，故所

19、求時(shí)間3.3.3 用鐵錘將一根鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，第一次擊釘時(shí)，鐵釘被擊入木板，設(shè)每次錘擊時(shí)，鐵釘獲得的速度均相等，則第二次擊釘，能將鐵釘擊入多深？解：取鐵釘進(jìn)入木板的方向?yàn)閤軸，依題設(shè)，當(dāng)鐵釘進(jìn)入木板的深度為時(shí)，受到木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?考察第一次擊釘?shù)倪^程，在此過程中，設(shè)質(zhì)量為的鐵釘從錘子獲得的速度為，釘子從木板表面（）進(jìn)入到深度為的位置，對(duì)鐵釘應(yīng)用動(dòng)能定理，有即（3-7）再應(yīng)用在第二次擊打的過程，有即（3-8）聯(lián)立（3-7）和（3-8），可解所求第二次擊打，能將鐵釘擊入3.3.4 質(zhì)量為的機(jī)車，由車站出發(fā)沿水平軌道行駛，經(jīng)過后速度增加為，經(jīng)歷的時(shí)間

20、為，若機(jī)車所受摩擦阻力是車重的倍，求機(jī)車的平均功率。解：機(jī)車受到四個(gè)力的作用，分別為牽引力，重力，路軌對(duì)它的支持力和摩擦力，由動(dòng)能定理，有機(jī)車的牽引力做功所以機(jī)車的平均功率精品.3.3.5 質(zhì)量為的物體，從高度為4，長為13.6的斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng)，物體到達(dá)斜面下端后，沿表面性質(zhì)相同的水平面繼續(xù)向前滑行。已知摩擦系數(shù)為0.16，試求：（1）物體滑到斜面下端時(shí)的速率；（2）物體在水平面上能滑行的最大距離。解：對(duì)斜面上的物體進(jìn)行受力分析，如圖3-5所示，有所以斜面對(duì)物體的摩擦力對(duì)于高，長的斜面，有（1）考察物體自斜面頂端滑至斜面底端的過程，對(duì)物體使用動(dòng)能定理，有圖3-5而和所以物體滑到斜面

21、底端的速率為（2）考察物體自斜面底端沿水平面滑行至靜止的過程，由動(dòng)能定理，有而所以精品.所求物體在水平面上滑行的最大距離為3.3.6 質(zhì)量為的炮彈，以的初速度射出。（1） 如果炮彈是豎直向上發(fā)射的，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能是多少?（2） 如果炮彈以仰角發(fā)射，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能是多少？解：一般地，設(shè)炮彈以仰角和初速發(fā)射，則依據(jù)運(yùn)動(dòng)疊加原理，可將炮彈的運(yùn)動(dòng)視為水平方向作的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向作初速為的上拋運(yùn)動(dòng)的合成。于是，水平方向分運(yùn)動(dòng)的重力勢(shì)能恒為0，以炮彈和地球?yàn)橄到y(tǒng)，炮彈豎直方向分運(yùn)動(dòng)的過程機(jī)械能守恒，考察炮彈從發(fā)射至到達(dá)最高點(diǎn)的過程，有當(dāng)炮彈處于最高點(diǎn)時(shí)，它的重力勢(shì)能為各分運(yùn)動(dòng)勢(shì)能之和，即

22、（1）當(dāng)仰角時(shí)，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能為（2）當(dāng)仰角時(shí)，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能為3.3.7 在半徑為的固定球面頂點(diǎn)處，一物體由靜止開始下滑。（1）如果為光滑球面，求物體離開球面處距離球面頂點(diǎn)的高度；（2）如果物體與球面之間存在摩擦，物體離開球面處距球面頂點(diǎn)的高度大于還是小于？解：精品.（1）在光滑球面的條件下，如圖3-6（a）所示，物體在球面上滑行時(shí)，受到兩個(gè)力的作用，分別為重力，球面對(duì)物體的支持力，且有（3-9），且，當(dāng)物體恰好離開球面時(shí)，球面對(duì)物體的支持力，代入上式，得（3-10）以物體，球面和地球?yàn)橄到y(tǒng)，考察物體從球面 圖3-6（a）頂端滑至恰好離開球面的過程，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即（3-11

23、）而與的關(guān)系為（3-12）由以上三式，可解出（2）在物體與球面之間存在摩擦力的條件下，如圖3-6（b）所示，物體在球面上滑行時(shí)，受到三個(gè)力的作用，分別為重力，球面對(duì)物體的支持力和摩擦力，且有（3-13） 圖3-6（b）其中。當(dāng)物體恰好離開球面時(shí)，球面對(duì)物體的支持力，代入上式，得（3-14）考察物體從球面頂端滑至恰好離開球面的過程，如圖3-6（b），對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理，有即（3-15）而與的關(guān)系為（3-16）精品.比較（3-10）（3-12）和（3-14）（3-16），設(shè)若，即，注意到，可知，由（3-10）和（3-13），可得，表明此時(shí)物體還壓在球面上。此時(shí)繼續(xù)增大，則由（3-16）可知，也增大

24、，且也增大，由（3-15）知也增大，再由（3-13）知減小。可知當(dāng)適當(dāng)?shù)貙⒃龃蟮侥骋恢禃r(shí)，則為零，此時(shí)物體恰好離開物體。所以。3.3.8 質(zhì)量為的小球懸掛在勁度系數(shù)為1、原長為的輕彈簧一端，彈簧另一端固定。開始時(shí)，彈簧水平放置且為原長，然后將小球靜止釋放任其下落，當(dāng)彈簧通過鉛垂位置時(shí)其長度為，求此時(shí)小球的速度。解：考察彈簧從水平放置且為原長運(yùn)動(dòng)至彈簧通過鉛垂位置的過程，則由彈簧，小球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有則小球的速率為3.3.9 將質(zhì)量為的小球系于長度為的細(xì)線下端構(gòu)成單擺。開始時(shí)，單擺懸線與豎直向下方向成角（），擺球的初速率為，試求：（1） 取擺球最低位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的總機(jī)械能

25、是多少？（2） 擺球在最低位置的速率是多少？（3） 使此單擺的懸線能達(dá)到水平位置，初始時(shí)刻擺球應(yīng)具有的最小速率是多少？（4） 使單擺不擺動(dòng)，而不斷地沿豎直圓周運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻擺球應(yīng)具有地最小速率是多少？解：（1）以擺球，細(xì)繩和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)的機(jī)械能為其中所以系統(tǒng)的機(jī)械能為精品.（2）在單擺從位置擺到最低位置（設(shè)此時(shí)擺球的速率為）的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有可解出（3）在單擺從位置擺到擺線剛好達(dá)到水平位置（設(shè)此時(shí)擺球的速率為）的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，一般有為使擺球的初速率最小，可令單擺的擺線剛好達(dá)到水平位置時(shí)，擺球的速率為0，即所求擺球的初速率最低為，（4）設(shè)擺球在最高位置時(shí)的速率為，并設(shè)擺線對(duì)擺球的拉力為，則有為使擺球的初速率最小，可令，即在單擺從位置擺到小球到達(dá)最高位置（