勾股定理思維導圖題型總結

1、勾股定理思維導圖題型總結（一)勾股定理：勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2b=c2我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”. 要點詮釋：2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一,其主要應用：(1）已知直角三角形的兩邊求第三邊(在中,則，,）（2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系,求直角三角形的另兩邊()利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法,用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形經過割補拼接后,只要沒有重疊，沒有空隙,面積不

2、會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證.方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證4:勾股數(shù)能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，,為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見勾股數(shù)可以提高解題速度，如;；;；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：(為正整數(shù)）;(為正整數(shù))(，為正整數(shù)）5、注意：(1）勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關系相互轉化證明的。（2)勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關系，可以用于解

3、決求解直角三角形邊邊關系的題目。（3)勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。(4)推理格式： ab為直角三角形 ac2+bc2=a2.(或a2+2=2）(二)勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長分別為:、b、c,且滿足2+2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c;(2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系,若c=a22,則abc是以為直角的直角三角形（若ca22，則bc

4、是以為鈍角的鈍角三角形；若c2a+2,則abc為銳角三角形）。（定理中，,及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長,滿足，那么以，,為三邊的三角形是直角三角形,但是為斜邊)：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別:勾股定理是直角三角形的性質定理,而其逆定理是判定定理;聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反,都與直角三角形有關。4:互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。六、隨堂練習1在中，,、的對邊分別為、和若，,則= ; 斜邊上的高為 .若，,則= .斜邊上的高為

5、 .若，且，則= ,斜邊上的高為 .若,且，則= ，.斜邊上的高為 .正方形的邊長為3，則此正方形的對角線的長為 .3.正方形的對角線的長為4，則此正方形的邊長為 .4有一個邊長為50的正方形洞口,想用一個圓蓋去蓋住這個洞口,求圓的直徑至少多長 5.一旗桿離地面處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部處，求旗桿折斷之前有多高？6.如圖，一個長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時的距離為，如果梯子頂端沿墻下滑，那么梯子底端也外移嗎？勾股定理典型例題及專項訓練專題一:直接考查勾股定理1.已知等腰三角形腰長是1，底邊長是,求這個等腰三角形的面積。2、已知：如圖，bd90，=60，ab=4,cd2。求：四邊形acd的

6、面積。:在bc中，ab=13，,高2,則bc的長為多少？4：已知如圖，在bc中，c0,ab=，ac4，ad是bc邊上的高，求bc的長。、如圖,在rac中，ab=90，cdab于,設ab，cb，c=a,cd。求證：（) （2)（3） 以為三邊的三角形是直角三角形練習6.如圖,abc中，a=a,=45，ac的垂直平分線分別交ab、a于d、，若cd=1，則bd等于()a.1 bc. d.7.已知一直角三角形的斜邊長是2,周長是2+，求這個三角形的面積.8如圖,分別以各邊為直徑作半圓,求陰影部分面積6.如圖，ac中，abac20，bc=2,d是c上一點,且dac,求bd的長.如圖，bc中,acb=90

7、,acbc,p是ac內一點，滿足p=,b=1，pc=2，求pc的度數(shù).8.已知ab中,cb=90，ac=3,=4,（1)a平分bac,交bc于d點。求d長 （2）be平分abc,交a于，求c長專題二 勾股定理的證明abcl1、如圖,直線上有三個正方形,若的面積分別為5和1，則的面積為( )（a)4（)（)(d)552、如圖是2年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標中的圖案,其中四邊形abd和ef都是正方形. 證:bfda圖圖第3題圖3、圖是一個邊長為的正方形,小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（ ）. b. c. d專題三 網格中的勾股定理1、如圖,在單位正方形組成

8、的網格圖中標有ab、cd、ef、h四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ) abc(a）cd、ef、h (）ab、e、gh （c）ab、d、gh (d)ab、cd、2、如圖，正方形網格中,每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形ab中,邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（ ) 2 d 33、（210年四川省眉山市)如圖，每個小正方形的邊長為1,a、b、c是小正方形的頂點，則a的度數(shù)為（ ）.0 b.60 .45 .304、如圖,小正方形邊長為,連接小正方形的三個得到，可得abc,則邊ac上的高為( ）a . d. 、如圖,正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的

9、格點為頂點畫一個邊長為3、的三角形.所畫的三角形是直角三角形嗎？說明理由6、如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出面積為2的三個形狀不同的三角形(要求頂點在交點處，其中至少有一個鈍角三角形）專題四 實際應用建模測長、如圖（），水池中離岸邊d點.5米的處,直立長著一根蘆葦，出水部分的長是05米,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端b恰好落到d點，并求水池的深度a2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方,離地高米的墻上,任何東西只要移至5米以內,燈就自動打開，一個身高1米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？3、臺風是一種自然災害,它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據

10、氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220千米處有一臺風中心,其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級,該臺風中心現(xiàn)正以5千米/時的速度沿北偏東30方向往c移動,且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級,則稱為受臺風影響.（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由.(2)若會受到臺風影響,那么臺風影響該城市持續(xù)時間有多少？(3)該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?專題五 梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米,那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?2、一架方梯長2米，如圖,斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米,(1)這個梯子的頂端距地面有多高？（2)如

11、果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米? 3、如圖，梯子a斜靠在墻面上,cc,a=b，當梯子的頂端a沿ac方向下滑x米時，梯足b沿cb方向滑動y米,則x與的大小關系是( )a. b c. d 不能確定專題六 最短路線1、如圖,學校教學樓旁有一塊矩形花鋪,有極少數(shù)同學為了避開拐角走“捷徑”,在花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了（ ）步路（假設2步為米)，卻踩傷了花草. 、6b、 c、4d、32、如圖，一圓柱體的底面周長為20,高a為10，bc是上底面的直徑。一螞蟻從點a出發(fā),沿著圓柱的側面爬行到點,試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個圓柱體，底面周長為20,高ab為10

12、,在圓柱的下底面a點處有一只螞蟻,它想繞圓柱體側面一周爬行到它的頂端c點處，那么它所行走的路程是多少？ac4、如圖,假如這是一個圓柱體的玻璃杯， ad是杯底直徑，是杯口一點，其他已知條件不變，螞蟻從外部點a處爬到杯子的內壁到達高的中點e處,最短該走多遠呢?(杯子的厚度不計)ba、如圖，一只螞蟻從一個棱長為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點a向頂點b爬行，問這只螞蟻爬行的最短路程為多少米?6、如圖，長方體的長為1cm,寬為1c，高 為20cm,點b到點c的距離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從a點爬到b點,需要爬行的最短距離是多少?bca2015107、如圖,是一個三級臺階,它的每一級的

13、長、寬、高分別為2m、.3、2m，a和是臺階上兩個相對的頂點,a點有一只螞蟻,想到b點去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺階爬行到點的最短路程是多少?ab030.22.專題七 折疊三角形1、如圖,一塊直角三角形的紙片，兩直角邊c=6,bc8?，F(xiàn)將直角邊ac沿直線ad折疊,使它落在斜邊a上，且與e重合,求cd的長、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使a與重合,折痕為d,若已知ac=10，c=6c,你能求出ce的長嗎?3、如圖,b的三邊bc=,ac=4、ab=,把ab沿最長邊ab翻折后得到bc,則c的長等于( ）a. . c. .專題八 折疊四邊形1、折疊矩形ad的一邊ad，點d落在bc邊上的點f處

14、,已知ab=cm,c=10m,求(1)cf的長 (2)ec的長.2、在矩形紙片bc中,a=4cm，ab10cm，按圖所示方式折疊,使點b與點d重合，折痕為ef,求（）de的長；(2)ef的長。abcdeg第3題圖f3.矩形紙片cd的邊長a=，d=.將矩形紙片沿ef折疊，使點與點重合，折疊后在其一面著色(如圖）,則著色部分的面積為_.4、如圖,把矩形bcd沿直線d向上折疊,使點c落在的位置上，已知ab=3,c=7,重合部分ebd的面積為_5、如圖5,將正方形abcd折疊，使頂點a與cd邊上的點m重合,折痕交ad于e，交bc于f,邊b折疊后與bc邊交于點g。如果m為d邊的中點，且e=6，求正方形bcd的面積6、矩形abcd中,ab=6，bc,先把它對折,折痕為ef,展開后再沿g折疊