向量及其線性運算

1、數(shù)量關系數(shù)量關系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中: 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; ; 坐標坐標, , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節(jié)第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 第八八章 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m為為起起點

2、點，2m為為終終點點的的有有向向線線段段.1m2m a21mm模長為模長為1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量： 不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑： aba a空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點構成的向

3、量構成的向量. . omm規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;平行向量：平行向量： 若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,a 與與 b 平行, ab ;記作則稱 向量共線：向量共線： 當兩個平行向量的起點放在同一 點時，它們的終點和公共起點應在一條直線上 .因此，兩向量平行又稱兩向量共線.時，如果 個終點和公共起點在一個平面上 . 就稱這 個向量共面.向量共面：向量共面：當把 個向量的起點放在同一 點(3)k k kkk二、向量的線性運算1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 : 交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .abbacba )()

4、(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba bbs3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 2. 向量的減法向量的減法abaooboboa 三角不等式ab)( abaa)( aababaabababa0baba有時特別當,ab ab一般地，一般地，任給向量任給向量 及點及點o設設 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 3 3、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1

5、 1）結合律：）結合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(例例1. 設 m 為mbacd解解:abcd 對角線的交點,ba,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd.,mdmcmbmaba表示與試用同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的

6、單位向量.0.，ababa 定定理理設設向向量量那那么么向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)使使兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設設,ab 取取取正值，取正值，同向時同向時與與當當 ab取負值，取負值，反向時反向時與與當當 ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設設ab ，又設又設ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即xyz三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則

7、組成一個空間直角坐標系組成一個空間直角坐標系. . 坐標原點坐標原點 坐標軸坐標軸x x軸軸( (橫軸橫軸) )y y軸軸( (縱軸縱軸) )z z 軸軸( (豎軸豎軸) )過空間一定點過空間一定點 o o ,o 坐標面 卦限卦限( (八個八個) )面xoy面yozzox面1. 1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念 2. 2. 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,沿三個坐標軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyx此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式 ,xi y j zkr稱稱為為向向量量任意向量 r 可用向徑 om 表示.ocoboa, ixoa, j

8、yobkzocxyzoabcnqrrmonmonomxyzo向徑在直角坐標系下在直角坐標系下 11坐標軸上的點 p, q , r ;坐標面上的點 a , b , c點點 m特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc(稱為點 m 的坐標坐標)原點 o(0,0,0) ;rrm坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則b

9、a),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab0,a 當當時時abxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成比例: 為，實實數(shù)數(shù)例2.已知兩點在ab直線上求一點 m , 使解解: 設 m 的坐標為, ),(zyx如圖所示abmo11mab, ),(111zyxa),(222zyxb及實數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.mbamammbamoaom mbomobaoom )(omobomoboa(說明: 由得定比分點公式: :,121xx,121yy121zz,1時當點 m 為 ab 的中點 ,于是得x,221xx y,221yy z2

10、21zz abmomab),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設則有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得),(111zyxa因ab得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxbomr oroqopbabaoaobba, rom作例3.在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(a等距解解: : 設該點為, ),0,0(zm,mamb 因

11、因為為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(b. ),0,0(914m思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與a , b 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與a , b 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 提示:(1) 設動點為, )0,(yxm利用,bmam得,028814 yx(2) 設動點為, ),(zyxm利用,bmam得014947zyx且0z例4. 已知兩點)5,0,4(a和, )3, 1 ,7(b解解: :求141)2,1,3(142,141,143.babababa解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，

12、一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji oyzx2. 2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩非零向量 ,ba任取空間一點 o ,aoa作,boboab稱 =aob (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標軸rr稱方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(ba特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 的夾角 ,

13、, 為其方向角方向角.oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質方向余弦的性質: :r向向量量的的單單位位向向量量rrr (cos,cos,cos ) ( , , )rx y z 例6. 已知兩點已知兩點)2,2,2(1m和, )0,3, 1(2m的模 、方向余弦和方向角 . 解解: :,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321mm(21mm21mm例7. . 設點 a 位于第一卦限, ,解解: 已知角依次為,43求點 a 的坐標 . ,

14、43則222coscos1cos41因點 a 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點 a 的坐標為 . )3,23,3(向徑 oa 與 x 軸 y 軸的夾 ,6ao且oaoaao解解設設向向量量21pp的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 設設2p的的坐坐標標為為),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz2p的的坐坐標標為為).2 , 2, 2(),4 ,

15、2, 2(21 mp3. 3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影空間一點在空間一點在 軸上的投影軸上的投影xoyzxropxi cosxr uomm 空間向量在空間向量在 軸上的投影軸上的投影urom 稱為向量在 軸u上的分向量分向量.e,ome 設 數(shù) 稱為向量在 軸上的投影，記作u或pruj r( )urpr,xxaj a pr,zzaj a pr,yyaj a kajaiaazyx 設則或記作( ) ,( ) ,( )xxyyzzaaaaaa 向量投影的性質向量投影的性質性質性質1 1( )cosuaa 其中 為向量 與 軸的夾角 au性質性質2 2()( )( )uuuabab性質性質

16、3 3()( )uuaa 例8 一向量的終點在點 ，它在 軸、 )7,1,2( bxy軸、 軸上的投影依次為 .求這向量的z4,4, 7 起點 的坐標.a解 設 的坐標為, ),(zyxa(2,1,7)abxyz 由已知可得24,14, 77xyz 所以2,3,0.xyz ( 2, 3, 0)a 即解2prcos( , )32bj aab a 例例9 9 已知已知 ，它與，它與 的夾角為的夾角為 ，求，求 . .(2,1, 2)a b4 prbj a解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上

17、的分向量為軸上的分向量為j7.向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結四、小結向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.（注意分向量與向量的坐標的（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別區(qū)別）向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.思考題思考題 1已知平行四邊形已知平行四邊形abcd的對角線的對角線ac,a bdb 試用試用 表示平行四邊形

18、四邊上對應的向量表示平行四邊形四邊上對應的向量.ba,解答解答bcad am md).(21ba dc ab am mb).(21ba abcdmab思考題思考題 2 設設jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,為為邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的對對角角線線的的長長度度.解答解答對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四邊形的對角線的長度各為平行四邊形的對角線的長度各為11, 3.mn一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的

19、向量叫做單位向量；的向量叫做單位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 與與_無關的向量稱為自由向量；無關的向量稱為自由向量；6 6、 平行于同一直線的一組向量叫做平行于同一直線的一組向量叫做_，三，三個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做_ _ _；7 7、兩兩向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我們們稱稱這這兩兩個個向向量量相相等等；8 8、兩兩個個模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互為為逆逆向向量量；9 9、把把空空間間中中一一切切單單位位向向量量歸歸結結到

20、到共共同同的的始始點點，則則終終點點 構構成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習習 題題 11010、把平行于某一直線的一切單位向量歸結到共同的、把平行于某一直線的一切單位向量歸結到共同的 始點，則終點構成始點，則終點構成_；1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,應滿足應滿足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,應滿足應滿足_ _ _ _ . .二二、 用用向向量量方方法法證證明明：對對角角線線互互相相平平分分的的四四邊邊形形是是平平行行四四邊邊形形 .三 、 把三 、 把abc的的bc邊 五 等 分 ， 設 分 點 依

21、 次 為邊 五 等 分 ， 設 分 點 依 次 為4321,dddd， 再 把 各 分 點 與 點， 再 把 各 分 點 與 點a連 接 ， 試 以連 接 ， 試 以abccab ,表示向量表示向量adadadad4321,和和 . .練習題練習題1答案答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大??； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起點；、起點； 6 6、共線向量、共線向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半徑為、半徑為 1 1 的球面；的球面； 1010、距離等于