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1、第一章 集合11集合基礎(chǔ)知識點(diǎn):集合的定義:一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,一些元素組成的總體叫集合,也簡稱集。2.表示方法:集合通常用大括號 或大寫的拉丁字母A,B,C表示, 而元素用小寫的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等:構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。4.常用的數(shù)集及記法:非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;正整數(shù)集,記作N*或N+;N內(nèi)排除0的集.整數(shù)集,記作Z;有理數(shù)集,記作Q;實數(shù)集,記作R;5.關(guān)于集合的元素的特征 確定性:給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中國古代四大發(fā)明” (造紙,印刷,火藥,

2、指南針)可以構(gòu)成集合,其元素具有確定性;而“比較大的數(shù)”,“平面點(diǎn)P周圍的點(diǎn)”一般不構(gòu)成集合,因為組成它的元素是不確定的. 互異性:一個集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示為1, 2,而不是1, 1, 2 無序性:即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。練1:判斷以下元素的全體是否組成集合,并說明理由:大于3小于11的偶數(shù); 我國的小河流;非負(fù)奇數(shù); 方程x2+1=0的解;徐州藝校校2011級新生; 血壓很高的人;著名的數(shù)學(xué)家; 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)6.元素與集合的關(guān)系:(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于”兩

3、種)若a是集合A中的元素,則稱a屬于集合A,記作aA;若a不是集合A的元素,則稱a不屬于集合A,記作aA。 例如,(1)A表示“120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合,則有3A,4A,等等。(2)A=2,4,8,16,則4A,8A,32A.典型例題例1用“”或“”符號填空: 8 N; 0 N; -3 Z; Q; 設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合,則中國 A,美國 A,印度 A,英國 A。例2已知集合P的元素為, 若2P且-1P,求實數(shù)m的值。第二課時基礎(chǔ)知識點(diǎn)一、集合的表示方法列舉法:把集合中的元素一一列舉出來, 并用花括號“”括起來表示集合的方法叫列舉法。如:1,2,3,4,5,x2,3x+2,5y3

4、-x,x2+y2,;說明:書寫時,元素與元素之間用逗號分開;一般不必考慮元素之間的順序;在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序;集合中的元素可以為數(shù),點(diǎn),代數(shù)式等;列舉法可表示有限集,也可以表示無限集。當(dāng)元素個數(shù)比較少時用列舉法比較簡單;若集合中的元素較多或無限,但出現(xiàn)一定的規(guī)律性,在不發(fā)生誤解的情況下,也可以用列舉法表示。對于含有較多元素的集合,用列舉法表示時,必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號,象自然數(shù)集用列舉法表示為例1用列舉法表示下列集合:(1) 小于5的正奇數(shù)組成的集合;(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;(3) 從51到100的所有整數(shù)的集合;(4

5、) 小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(5) 方程的所有實數(shù)根組成的集合; 由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,稱為描述法。方法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。一般格式:如:x|x-32,(x,y)|y=x2+1,x|直角三角形,;說明:描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素,如(x,y)|y= x2+3x+2與 y|y= x2+3x+2是不同的兩個集合,只要不引起誤解,集合的代表元素也可省略,例如:整數(shù),即代表整數(shù)集Z。辨析:這里的 已包含“所有”的意思,所以不

6、必寫全體整數(shù)。寫法實數(shù)集,R也是錯誤的。用符號描述法表示集合時應(yīng)注意:1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形式?2、元素具有怎么的屬性?當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時,要去偽存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。例2用描述法表示下列集合:(1) 由適合x2-x-20的所有解組成的集合;(2)方程的所有實數(shù)根組成的集合(3)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。 說明:列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn),應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法,要注意, 一般集合中元素較多或有無限個元素時,不宜采用列舉法。練習(xí): 1.由方程x22x30的所有實數(shù)根組成的集合;2

7、.大于2且小于6的有理數(shù);3.已知集合Ax|-3x3,xZ,B(x,y)|yx+1,xA,則集合B用列舉法表示是 3、文氏圖集合的表示除了上述兩種方法以外,還有文氏圖法,即3,9,27A畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合,如下圖所示: 表示3,9,27表示任意一個集合A 二、集合的分類觀察下列三個集合的元素個數(shù)1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x0,則下列各式正確的是()A3A B1AC0A D1A二填空題:5已知集合A1,a2,實數(shù)a不能取的值的集合是_6已知Px|2xa,xN,已知集合P中恰有3個元素,則整數(shù)a_.7. 集合M=yZy=,xZ,用列舉法表示是M

8、。8. 已知集合A2a,a2-a,則a的取值范圍是。三、解答題:9已知集合Ax|ax23x40,xR(1)若A中有兩個元素,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若A中至多有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍1.1.2 集合間的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識點(diǎn)比較下面幾個例子,試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系:(1),;(2),;觀察可得:子集:對于兩個集合A,B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集(subset)。 記作: 讀作:A包含于B,或B包含AB A表示: 當(dāng)集合A不包含于集合B時,記作AB(或BA) 用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系: 集合相等定義:如果A

9、是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,則集合A與集合B 中的元素是一樣的,因此集合A與集合B相等,即若,則。 如:A=x|x=2m+1,mZ,B=x|x=2n-1,nZ,此時有A=B。真子集定義:若集合,但存在元素,則稱集合A是集合B的真子集。 記作:A B(或B A) 讀作:A真包含于B(或B真包含A)4.幾個重要的結(jié)論: 空集是任何集合的子集;對于任意一個集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集; 任何一個集合是它本身的子集; 對于集合A,B,C,如果,且,那么。練習(xí):填空: 2 N; N; A; 已知集合Ax|x3x20,B1,2,Cx|x3,Bx|x3,Bx|x6,則AB 。 3.

10、一些特殊結(jié)論 若A,則AB=A; 若B,則AB=A;若A,B兩集合中,B=,,則A=, A=A。典型例題【題型一】并集與交集的運(yùn)算【例1】-1123設(shè)A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB。 解:AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2,B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例3】已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB【題型二】并集、交集的應(yīng)用例:.已知3,4,m2-3m-12m,-3=-3,則m。鞏固練習(xí)1、 設(shè)A=x|x是等腰三角形,B=x|x是直角三角形,則AB。2、設(shè)A=x|x是銳角三角形,B=x|x是鈍角三角形,則AB。 3、

11、設(shè)A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,則AB。 4、已知集合Mx|x-20,則MN等于。5、設(shè)A不大于20的質(zhì)數(shù),Bx|x2n+1,nN*,用列舉法寫出集合AB。6、若集合A1,3,x,B=1,x2,AB1,3,x,則滿足條件的實數(shù)x=_7、滿足條件M11,2,3的集合M的個數(shù)是 。8. 已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且滿足AB,則實數(shù)a的取值范圍是 。集合的基本運(yùn)算基礎(chǔ)知識點(diǎn)思考1 U=全班同學(xué)、A=全班參加足球隊的同學(xué)、B=全班沒有參加足球隊的同學(xué),則U、A、B有何關(guān)系? 集合B是集合U中除去集合A之后余下來的集合。 (一). 全集、補(bǔ)集概念及性質(zhì):全集的定義:一般地,

12、如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么 就稱這個集合為全集,記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念。補(bǔ)集的定義:對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合,叫作集 合A相對于全集U的補(bǔ)集, 記作:,讀作:A在U中的補(bǔ)集,即 Venn圖表示:(陰影部分即為A在全集U中的補(bǔ)集) 說明:補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制討論:集合A與之間有什么關(guān)系?借助Venn圖分析 鞏固練習(xí)(口答):U=2,3,4,A=4,3,B=,則= ,= ;設(shè)Ux|x8,且xN,Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0,則 ; 設(shè)U三角形,A銳角三角形,則 。 典型例題【題型1】求補(bǔ)集【例1】設(shè)

13、全集, 求,【例2】設(shè)全集,求, ,。(結(jié)論:)【例3】設(shè)全集U為R,若 ,求。(答案:)【例4】設(shè)全集Ux|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求,并且判斷和集合B的關(guān)系。鞏固練習(xí)1.若S=2,3,4,A=4,3,則CSA=_;2.若S=三角形,B=銳角三角形,則CSB=_-;3.若S=1,2,4,8,A=,則CSA=_;4.若U=1,3,a2+2a+1,A=1,3,CUA=5,則a= ; 5.已知全集U=R,集合A=x|0x-15,求CUA=_;6.已知集合M4,7,8,且M中至多有一個偶數(shù),則這樣的集合為_提高內(nèi)容:7.A=2,3,a2+4a+2,B=0,7,a2+4

14、a-2,2-a,且AB =3,7,求B.8.已知M=1,N=1,2,設(shè)A=(x,y)|xM,yN,B=(x,y)|xN,yM,求AB,AB.高一數(shù)學(xué)必修1集合單元綜合練習(xí)()一、填空題(本大題包括14小題;每小題5分,滿分70分)1、U1,2,3,4,5,若AB2,(CUA)B4,(CUA)(CUB)1,5,則下列結(jié)論正確的是 .Error! No bookmark name given. 、3A且3B;、3A且3B; 、3A且3B;、3A且3B。2、設(shè)集合M=x1x2,N=xxk0,若MN,則k的取值范圍是 3、已知全集I=xxR,集合A=xx1或x3,集合B=xkxk1,kR,且(CIA)

15、B,則實數(shù)k的取值范圍是 4、已知全集,則為 5、設(shè),集合,則 6、設(shè)集合M=,則M N。(選填、)7、設(shè)集合, , 則AB= 8、設(shè)和是兩個集合,定義集合,如果,那么等于 9、已知集合,若,則實數(shù)的取值范圍是 10、設(shè)集合S=A0,A1,A2,A3,在S上定義運(yùn)算為:A1A=Ab,其中k為I+j被4除的余數(shù),I,j=0,1,2,3.滿足關(guān)系式=(xx)A2=A0的x(xS)的個數(shù)為 11、集合,的取值范圍是 .12、定義集合運(yùn)算:.設(shè),則集合 的所有元素之和為 13、設(shè)集合N的真子集的個數(shù)是 14、某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組,每名同學(xué)至多參加兩個小組,已知參加數(shù)學(xué)、物理

16、、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人,同時參加物理和化學(xué)小組的有4人,則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_ 人。二、解答題(本大題包括5小題;滿分90分)解答時要有答題過程!15、(13分)已知全集U=,若A=,求實數(shù)的a,b值。16、(14分)若集合S=,且ST=,P=ST,求集合P的所有子集17、(16分)已知集合A=,B=x|2x10,C=x | xa,全集為實數(shù)集R.(1) 求AB,(CRA)B;(2) 如果AC,求a的取值范圍。18、(18分)已知集合的元素全為實數(shù),且滿足:若,則。(1)若,求出中其它所有元素;(2)0是不是集合中的元素?請你設(shè)計一個實數(shù)

17、,再求出中的所有元素?(3)根據(jù)(1)(2),你能得出什么結(jié)論19、(14分)集合,滿足,求實數(shù)的值。高一數(shù)學(xué)必修1集合單元綜合練習(xí)()一、填空題(本大題包括14小題;每小題5分,滿分70分)1、集合a,b,c 的真子集共有 個2、以下六個關(guān)系式:,, , , 是空集中,錯誤的個數(shù)是 3、若,用列舉法表示B 4、集合A=x| x2+x-6=0, B=x| ax+1=0, 若BA,則a=_5、設(shè)全集U=,A=,CUA=,則= ,= 。6、集合,_.7、已知集合A=x|, 若AR=,則實數(shù)m的取值范圍是 8、50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學(xué)實驗做得正確得有31人,兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有 人.9、某班有學(xué)生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂,則班級中即愛好體育又愛好音樂的有 人.10、設(shè)集合U=(x,y)|y=3x1,A=(x,y)|=3,則CUA= .11、集合M=yy= x2 +1,x R,N=y y=5- x2,x R,則MN= 12、集合M=a| N,且aZ,用列舉法表示集合M= 13、已知集合至多有一個元素,則的取值范圍 ;若至少有一個元素,則的取值范圍

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