高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題教案 新人教版

1、普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學 人教版 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座30）數(shù)列求和及數(shù)列實際問題一課標要求：1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法；2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關系，并能用有關等差、等比數(shù)列知識解決相應的實際問題。二命題走向數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數(shù)學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。有關命題趨勢：1數(shù)列是一種特殊

2、的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點；2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度；3數(shù)列與新的章節(jié)知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等；4有關數(shù)列的應用問題也一直備受關注。預測2007年高考對本將的考察為：1可能為一道考察關于數(shù)列的推導能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題；2也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學歸納法等有機結合。三要點

3、精講1數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an= 。（2）求通項常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫

4、裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。通項分解法：2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關系。由遞歸關系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項

5、的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。四典例解析題型1：裂項求和例1已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。解析：首先考慮，則=。點評：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法。例2求。解析：， 點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜的因式轉化的簡單一些。題型2：錯位相減法例3設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項和。解析：若a=0時，Sn=0；若a=1，則Sn=1+2+3+n=；若a1，a

6、0時，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=。例4已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。解析：，-得：，點評：設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。題型3：倒序相加例5求。 解析：。 又。 所以。點評：Sn表示從第一項依次到第n項的和，然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。例6設數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列，求和：解析：因為，。點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。題型4：其他方法例7求數(shù)列1，3+5，7+9+

7、11，13+15+17+19，前n項和。 解析：本題實質是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項中共有個奇數(shù)，故。例8求數(shù)列1，3，32，3n的各項的和。解析：其和為(133n)()=(3n13-n)。題型5：數(shù)列綜合問題例9（ 2006年浙江卷）已知函數(shù)x3+x2，數(shù)列 | xn | （xn 0）的第一項x11，以后各項按如下方式取定：曲線y在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn）兩點的直線平行（如圖）。求證：當n時：（I）；（II）。解析：（I）因為所以曲線在處的切線斜率因為過和兩點的直線斜率是所以.（II）因為函數(shù)當時單調遞增，而所以，即因此又因為令則因為所以因此故點評：數(shù)列與解析幾何

8、問題結合在一塊，數(shù)列的通項與線段的長度、點的坐標建立起聯(lián)系。例10（2006年遼寧卷）已知,其中,設,。(I) 寫出；(II) 證明:對任意的,恒有。解析：(I)由已知推得,從而有；(II) 證法1:當時，當x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在1,0上為減函數(shù)，所以對任意的，因此結論成立。證法2：當時, 當x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在-1,0上為減函數(shù)所以對任意的又因所以因此結論成立。證法3：當時, 當x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因為函數(shù)為偶函數(shù)所以在1,0上為減函數(shù)。所以對任意的由對上式兩邊求導得： 因此結論成立。點評：數(shù)列與函數(shù)、導數(shù)

9、結合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質來解釋問題。題型6：數(shù)列實際應用題例11某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。┙馕觯杭追桨甘堑缺葦?shù)列，乙方案是等差數(shù)列，甲方案獲利：（萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元），乙方案獲利：（萬元）；銀行本息和：（萬元）故乙方案純利：

10、（萬元）；綜上可知，甲方案更好。點評：這是一道比較簡單的數(shù)列應用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項公式并運用所學過的公式求解。例12（2005湖南20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*，且x10.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。 （）求xn+1與xn的關系式； （）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） （）設a2，b1，為

11、保證對任意x1（0,2），都有xn0，nN*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， nN*，從而由（*）式得：因為x10，所以ab。猜測：當且僅當ab，且時，每年年初魚群的總量保持不變。（）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0xn3b, nN*, 特別地，有0x13b. 即0b0。又因為xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+11 an-2時，an = an-1 an-2 an-11（n3）； 當an-1

12、an-2時，an = an-2 an-1 an-21（n3）,即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn=n=1，2，3，則0cncn-11（n=2，3，4）.由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項c10（n=1，2，3）矛盾.從而an必有零項。若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記an-1=A（A0），則自第n項開始，沒三個相鄰的項周期地取值O，A，A，即所以絕對等差數(shù)列an中有無窮多個為零的項。點評：通過設置“等差數(shù)列”這一概念加大學生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。例14（2005江蘇23）設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a26，a311，且其

13、中A,B為常數(shù)。（）求A與B的值；（）證明數(shù)列an為等差數(shù)列；（）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立分析：本題是一道數(shù)列綜合運用題，第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關系式，即求出A、B；第二問利用公式，推導得證數(shù)列an為等差數(shù)列。解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。由(5n8)Sn+1(5n+2)Sn=An+B知：。 解得A=20，B=8。（）方法1由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-

14、1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.-,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因為 an+1=Sn+1-Sn所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因為 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a2=a2-a1=5,所以數(shù)列為等差數(shù)列。方法2.由已知，S1=a1=1,又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,所以

15、數(shù)列是惟一確定的。設bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列，前n項和Tn=于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。（）由（）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要證了 只要證 5amn1+aman+2 因為 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要證 5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因為=20m+20n-37,所以命題得證。點評：本題主要考查了等差數(shù)列的有關知識，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關運算能力等。五思維總結1數(shù)列求和的常用方法（1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；（2）裂項相消法：適用于其中 是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等；（3）錯位相減法：適