全微分及其應用(6)課件

1、全微分及其應用(6)全微分及其應用(6),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得一、全微分的定義一、全微分的定義全微分及其應用(6) 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設設),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點，則則稱稱這這兩兩點點的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在

2、點點 P對對應應于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念全微分及其應用(6) 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分

3、的定義全微分的定義全微分及其應用(6) 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).全微分及其應用(6)二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，則則該該

4、函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx的的偏偏導導數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 全微分及其應用(6)證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當當0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 全微分及其應用(6)一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導

5、數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff全微分及其應用(6)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.全微分及其應用(6)

6、說明說明：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導導數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx可可微微分分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 全微分及其應用(6),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導數(shù)的連續(xù)性）（依偏導數(shù)的連續(xù)性）且且當當0

7、, 0 yx時時，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),全微分及其應用(6)xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當當0 y時時，02 ,全微分及其應用(6)習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微

8、分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況全微分及其應用(6)例例 1 1 計計算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點點)1 , 2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分全微分及其應用(6)例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當，當4 x， y，4 dx， dy時的全微分時的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).

9、74(82 全微分及其應用(6)例例 3 3 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 全微分及其應用(6)例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點)0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點在點)0 , 0(可微可微.思思路路：按按有有關關定定義義討討論論；對對于于偏偏導導數(shù)數(shù)需需分分 )

10、0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討討論論.全微分及其應用(6)證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf全微分及其應用(6)當當)0 , 0(),( yx時時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當當點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0

11、,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.全微分及其應用(6)所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df全微分及其應用(6)多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導全微分及其應用(6)全微分在近似計算中的應用全微分在近似計算中的應用都

12、較小時，有近似等式都較小時，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個偏導數(shù)個偏導數(shù)的兩的兩在點在點當二元函數(shù)當二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 全微分及其應用(6)例例 5 5 計算計算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設函數(shù)設函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由

13、公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 全微分及其應用(6)、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系、多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)三、小結(jié)全微分及其應用(6) 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點在點),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxy

14、xfzyx ),(),(， 當當0)()(22 yx時是無窮小量；時是無窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當當0)()(22 yx時是無窮小量時是無窮小量.思考題思考題全微分及其應用(6)一、一、 填空題填空題: :1 1、 設設xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當當1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時時, ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則x

15、z對對的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.練練 習習 題題全微分及其應用(6)二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當當, 1 x 2 y時的全微分時的全微分. .三、三、 計算計算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設有一無蓋園柱形容器設有一無蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為m1 . 063 和

16、和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對誤差和相對誤差并求其絕對誤差和相對誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對對誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對對誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對對誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對對誤誤差差之之和和. .全微分及其應用(6)七、求函數(shù)七、求函數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏導數(shù)的偏導數(shù), ,并研究在點并研究在點)0 , 0(處偏導數(shù)的連續(xù)性及處偏導數(shù)的連續(xù)性及 函數(shù)函數(shù)),(yxf的可微性的可微性. .全微分及其應用(6)一、一、1 1、)(1,