直線的方向向量與直線的向量方程

1、3.23.2.1直線直線的方的方向向向向量與量與直線直線的向的向量方量方程程32.1直線的方向向量與直線的向量方程直線的方向向量與直線的向量方程問題問題1：當(dāng)：當(dāng)t確定時(shí)，點(diǎn)確定時(shí)，點(diǎn)p的位置是否被確定？的位置是否被確定？提示：確定提示：確定提示：提示：過點(diǎn)過點(diǎn)a且平行于向量且平行于向量a的一條直線的一條直線用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置 (1)給定一個(gè)定點(diǎn)給定一個(gè)定點(diǎn)a和一個(gè)向量和一個(gè)向量a，再任給，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù)t，以，以a為起點(diǎn)作向量為起點(diǎn)作向量 ta，這時(shí)點(diǎn)這時(shí)點(diǎn)p的位置被的位置被t的值完全確定當(dāng)?shù)闹低耆_定當(dāng)t在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)集集r中取遍所有值時(shí)

2、，點(diǎn)中取遍所有值時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是通過點(diǎn)的軌跡是通過點(diǎn)a且平行于且平行于 的一條直線的一條直線l，反之，在，反之，在l上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)p，一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使，使 ，則向量方程，則向量方程通常通常稱作直線稱作直線l以以 的參數(shù)方程的參數(shù)方程 稱為該直線的稱為該直線的方向向量方向向量向量向量at為參數(shù)為參數(shù)向量向量aap 若直線若直線l1的方向向量為的方向向量為v1，直線，直線l2的方向向量為的方向向量為v2，且且v1，v2. 問題問題1：若：若v1v2，則，則l1與與l2有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 提示：平行或重合提示：平行或重合 問題問題2：若直線：若直線l的方向向量的方向

3、向量v與與v1，v2共面，且共面，且v1、v2不共線，則直線不共線，則直線l與平面與平面平行嗎？平行嗎？ 提示：不一定，提示：不一定，l可能在可能在內(nèi)內(nèi) 問題問題3：若平面：若平面，則，則v1，v2與與什么關(guān)系？什么關(guān)系？ 提示：提示：v1，v2.v1v2v1且且v2vxv1yv2 問題問題1：兩條直線垂直，對(duì)應(yīng)的方向向量垂直嗎？：兩條直線垂直，對(duì)應(yīng)的方向向量垂直嗎？ 提示：垂直提示：垂直 問題問題2：兩條直線所成的角：兩條直線所成的角與兩直線的方向向量的夾角與兩直線的方向向量的夾角之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？ 提示：相等或互補(bǔ)提示：相等或互補(bǔ) 用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的

4、角用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角 設(shè)直線設(shè)直線l1和和l2所成的角為所成的角為，方向向量分別為，方向向量分別為v1和和v2，則則l1l2 ，cos v1v2|cosv1，v2| 1直線的方向向量不是唯一的，可以分為同向和直線的方向向量不是唯一的，可以分為同向和反向兩類解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量反向兩類解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量 2若直線若直線l1，l2的方向向量平行，則包括的方向向量平行，則包括l1與與l2平平行和行和l1與與l2重合兩種情況重合兩種情況 3求異面直線所成的角時(shí)要注意范圍求異面直線所成的角時(shí)要注意范圍 一點(diǎn)通一點(diǎn)通此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量

5、的此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量的相等解決，設(shè)出要求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件得關(guān)于要相等解決，設(shè)出要求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件得關(guān)于要求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解即可求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解即可1已知已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體oabc中，中，a(0，3，5)，b(1，2，0)，c(0，5，0)，直線，直線adbc，并且，并且ad交坐標(biāo)平面交坐標(biāo)平面xoz于點(diǎn)于點(diǎn)d，求點(diǎn)，求點(diǎn)d的坐標(biāo)的坐標(biāo) 例例2已知正方體已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為的棱長為2，e、f分別是分別是bb1、dd1的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證： (1)fc1平面平面ade； (2)平面平面ade平面平面b

6、1c1f. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥利用直線的方向向量以及線面平行，面面利用直線的方向向量以及線面平行，面面平行的條件證明平行的條件證明 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 (1)證兩條直線平行可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量證兩條直線平行可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量平行平行 (2)用向量法證明線面平行：一是證明直線的方向向用向量法證明線面平行：一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；二量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；二是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量且直線不在平面內(nèi)向量且直線不在平面內(nèi) (3)利用向量證明面面平

7、行，可轉(zhuǎn)化為證明線面平行利用向量證明面面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線面平行3在長方體在長方體abcda1b1c1d1中，中，ab4，ad3，aa1 2，p、q、r、s分別是分別是aa1、d1c1、ab、cc1的中點(diǎn)的中點(diǎn) 證明：證明：pqrs.5.如右圖，在平行六面體如右圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中中e、f、g分別是分別是a1d1、d1d、d1c1的中點(diǎn)的中點(diǎn)求證：平面求證：平面efg平面平面ab1c. 例例3在棱長為在棱長為a的正方體的正方體oabco1a1b1c1中，中，e、f分別是分別是ab、bc上的動(dòng)點(diǎn)，且上的動(dòng)點(diǎn)，且aebf，求證：，求證：a1fc1e.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 一點(diǎn)通

8、一點(diǎn)通利用向量法證明線線垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直利用向量法證明線線垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數(shù)量積為線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數(shù)量積為0.證證明的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地表示出點(diǎn)的明的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地表示出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求直線的方向向量坐標(biāo)進(jìn)而求直線的方向向量6正方體正方體abcda1b1c1d1中，中，e為為ac的中點(diǎn)，證明：的中點(diǎn)，證明：(1)bd1ac，(2)bd1eb1. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥先建立空間直角坐標(biāo)系，求出先建立空間直角坐標(biāo)系，求出a1c與與ad1的方向向量再求出方向向量的夾角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化的方向

9、向量再求出方向向量的夾角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為異面直線為異面直線a1c與與ad1所成的角所成的角精解詳析精解詳析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 一點(diǎn)通一點(diǎn)通利用向量求異面直線所成角的步驟為：利用向量求異面直線所成角的步驟為： (1)確定空間兩條直線的方向向量；確定空間兩條直線的方向向量； (2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值；求兩個(gè)向量夾角的余弦值； (3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩直線的時(shí)，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角夾角為向量夾角的補(bǔ)角8已知正四棱錐已知正四棱錐pabcd底面邊長為底面邊長為a，高，高po的長也為的長也為a，e，f分別是分別是pd，pa的中點(diǎn)，求異面直線