四邊形中的動點題32

1、 四邊形中 的動點題 1、已知，矩形abcd中，ab4cm，bc8cm，ac的垂直平分線ef分別交ad、bc于點e、f，垂足為o（1）如圖1，連接af、ce求證四邊形afce為菱形，并求af的長；（2）如圖2，動點p、q分別從a、c兩點同時出發(fā)，沿afb和cde各邊勻速運動一周即點p自afba停止，點q自cdec停止在運動過程中，已知點p的速度為每秒5cm，點q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當(dāng)a、c、p、q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值若點p、q的運動路程分別為a、b(單位：cm，ab0)，已知a、c、p、q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式解：（1）證

2、明：四邊形abcd是矩形adbccad=acb，aef=cfeef垂直平分ac，垂足為ooa=ocaoecofoe=of四邊形afce為平行四邊形efac四邊形afce為菱形設(shè)菱形的邊長af=cf=xcm，則bf=(8-x)cm，在rtabf中，ab=4cm，由勾股定理得：解得x=5af=5cm（2）當(dāng)p點在af上時，q點在cd上，此時a、c、p、q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理：當(dāng)p點在ab上時，q點在de或ce上，也不能構(gòu)成平行四邊形只有當(dāng)p點在bf上、q點在ed上時，才能構(gòu)成平行四邊形，此時pc=qapc=5t，qa=12-4t5t=12-4t，解得t=以a、c、p、q四點為頂點的四邊形

3、是平行四邊形時，t=秒由題意得，以a、c、p、q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點p、q在互相平行的對應(yīng)邊上分三種情況：i）當(dāng)p點在af上、q點在ce上時，ap=cq，即a=12-b，得a+b=12；ii）當(dāng)p點在bf上、q點在de上時，aq=cp，即12-b=a，得a+b=12；iii）當(dāng)p點在ab上、q點在cd上時，ap=cq，即12-a=b，得a+b=12綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12（ab0）2、如圖，在rtabc中，b=90,bc=5，c=30點d從點c出發(fā)沿ca方向以每秒2個單位長的速度向點a勻速運動，同時點e從點a出發(fā)沿ab方向以每秒1個單位長的速度向點b勻速運

4、動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設(shè)點d、e運動的時間是t秒（t0）過點d作dfbc于點f，連接de、ef（1）求證：ae=df；（2）四邊形aefd能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由（3）當(dāng)t為何值時，def為直角三角形？請說明理由 1因為dfbc ，c=30所以df=dc/2因為d從點c出發(fā)沿ca方向以每秒2個單位長的速度向點a勻速運動，同時點e從點a出發(fā)沿ab方向以每秒1個單位長的速度向點b勻速運動所以ae=dc/2所以ae=df2因為dfbc，b=90所以ae/df因為ae=df所以四邊形aefd是平行四邊形要使四邊形aefd是菱形，只要滿足ae

5、=ad因為rtabc中，b=90，bc=53 ，c=30所以ac=10ae=t，ad=10-2t即 t=10-2t t=10/3所以t=10/3秒時，四邊形aefd是菱形3當(dāng)ed/bc時，def為直角三角形因為c=30所以ae/ad=1/2即： t/（10-2t）=1/2 t=5-t t=5/2當(dāng)edef時，def也為直角三角形因為四邊形aefd是平行四邊形所以ef/ad因為edef所以edad因為a=60所以ad/ae=1/2即：(10-2t)/t=1/2 20-4t=t t=4 如圖，在四邊形形abcd中，adbc，a=d,點e是線段ad上的一個動點（e與a、d不重合），g，f，h分別是b

6、e，bc，ce的中點（1）四邊形egfh是什么特殊四邊形？為什么？（2）當(dāng)點e運動到什么位置時，四邊形egfh是菱形？（3）若（2）中菱形egfh是正方形，請?zhí)剿骶€段ef與bc之間關(guān)系并證明 解：（1） 四邊形egfh是平行四邊形理由是：g、f、h分別是be、bc、ce的中點，gfeh，gf=eh四邊形egfh是平行四邊形（2）當(dāng)點e是ad的中點時，四邊形egfh是菱形證明：四邊形abcd是等腰梯形，ab=dc，a=d，在abe與dce中，abdcadaedeabedce（sas），be=ceg、h分別是be、ce的中點，eg=eh又由（1）知四邊形egfh是平行四邊形，四邊形egfh是菱形（

7、3）efbc，ef=0.5bc證明：四邊形egfh是正方形，eg=eh，bec=90g、h分別是be、ce的中點，根據(jù)中位線定理知道eb=ec，f是bc的中點，e為ad的中點，bec為等腰直角三角形，efbc，ef=0.5bc3、 數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形abcd是正方形，點e是邊bc的中點aef=90，且ef交正方形外角dcg的平分線cf于點f，求證：ae=ef經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取ab的中點m，連接me，則am=ec，易證ameecf，所以ae=ef在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點e是邊bc的中點”改為“點e是邊b

8、c上（除b，c外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“ae=ef”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點e是bc的延長線上（除c點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“ae=ef”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由解：（1）正確（1分）證明：在ab上取一點m，使am=ec，連接me（2分）bm=be，bme=45，ame=135，cf是外角平分線，dcf=45，ecf=135，ame=ecf，aeb+bae=90，aeb+cef=90，bae=cef，ameecf（asa），（5分

9、）ae=ef（6分）（2）正確（7分）證明：在ba的延長線上取一點n使an=ce，連接ne（8分）bn=be，n=nec=45，cf平分dcg，fce=45，n=ecf，四邊形abcd是正方形，adbe，dae=bea，即dae+90=bea+90，nae=cef，aneecf（asa）（10分）ae=ef（11分）如下圖，在矩形abcd中，ab=12 cm，bc=6 cm點p沿ab邊從點a開始向點b以2 cm/s的速度移動；點q沿da邊從點d開始向點a以1 cm/s的速度移動如果p、q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t6）那么（1） 當(dāng)t為何值時，qap為等腰直角三角形？（2）求四邊形

10、qapc的面積，（3）提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；解：（1）對于任何時刻t，ap=2t，dq=t，qa=6t當(dāng)qa=ap時，qap為等腰直角三角形，即：6t=2t，解得：t=2（s），所以，當(dāng)t=2s時，qap為等腰直角三角形（2）在qac中，qa=6t，qa邊上的高dc=12，sqac=qadc=（6t）12=366t在apc中，ap=2t，bc=6，sapc=apbc=2t6=6ts四邊形qapc=sqac+sapc=（366t）+6t=36（cm2）由計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在p、q兩點移動的過程中，四邊形qapc的面積始終保持不變（也可提出：p、q兩點到對角線ac的距離之和保持不變） 如圖，abc中，點o是邊ac上一個動點，過o作直線mnbc，設(shè)mn交bca的平分線于點e，交bca的外角平分線于點f。（1）探究：線段oe與of的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）當(dāng)點o在邊ac上運動時，四邊形bcfe會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；（3）當(dāng)點o運動到何處，且abc滿足什么條件時，四邊形aecf是正方形？并說明